递推数列通项公式的求法副本优秀课件.ppt
递推数列通项公式的递推数列通项公式的求法求法 副本副本第1页，本讲稿共34页1、等差数列的递推公式：复习等差复习等差(等比等比)数列的递推公式数列的递推公式2、等比数列的递推公式：第2页，本讲稿共34页类型类型1 1 定义法定义法等差数列等差数列等比数列等比数列练习：练习：第3页，本讲稿共34页类型类型2求法：累加法求法：累加法例例若数列有形如an1anf(n)的解析式，而f(1)f(2)f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.第4页，本讲稿共34页1.已知已知an中中,an+1=an+n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+n (nN*)得得a2 a1 =1a3 a2 =2a4 a3 =3anan1=n 1an=(anan1)+(an1an2)+(a2 a1)+a1 =(n 1)+(n 2)2)+2+1+1 演练：累加法演练：累加法(递推公式形如形如an+1=an+f(n)型型的数列)n个等式相加得a1 =1an+1 an=n (nN*)第5页，本讲稿共34页练习：练习：第6页，本讲稿共34页累加法累加法 第7页，本讲稿共34页类型类型3求法：累乘法求法：累乘法例例若数列有形如anf(n)an1的解析关系，而f(1)f(2)f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.第8页，本讲稿共34页演练：演练：累乘法累乘法 (形如形如an+1=f(n)an型型)2.已知已知an是首项为是首项为1的正项数列的正项数列,且且(n+1)an+12+an+1annan2=0,求求an的通项公式的通项公式解解:(n+1)an+12+an+1annan2=0(an+1+an)(n+1)an+1 nan=0 an+1+an0 (n1)an=.注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得(n+1)an+1=nan第9页，本讲稿共34页累乘法累乘法第10页，本讲稿共34页例例类型类型4练习：练习：第11页，本讲稿共34页 已知数列an中，a11，an1 an1，求an.解析：解法一：数列bn为等比数列，又a132，第12页，本讲稿共34页第13页，本讲稿共34页点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bnan3.(2)对数列递推式an1panq，我们通常将其化为 p ，设bnanA，构造数列bn为等比数列第14页，本讲稿共34页4已知数列an的首项a1 ，an1 ，nN*.求an的通项公式解析：第15页，本讲稿共34页递推式如anpan1rqn(n2，pqr0，p，q，r为常数)型的通项的求法具体思路：1.等式两边同除以qn，类型类型5第16页，本讲稿共34页第17页，本讲稿共34页 已知数列an满足an4an12n(n2，nN*)，且a12.求an.解析：解法一：an4an12n,第18页，本讲稿共34页解法二：an4an12n，令an2n4(an12n1)，(n2)，得an4an12n，与已知递推式比较得1，an2n4 ，又a12214，an2n是首项为4，公比为4的等比数列an2n44n1，an4n2n22n2n.第19页，本讲稿共34页变式探究变式探究5(2011年盐城模拟)在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*)，其中0.求数列an的通项公式解析：由an1ann1(2)2n(nN*)，0，得an1ann12n12n，所以数列an的通项公式为an(n1)n2n.第20页，本讲稿共34页类型六、递推式如anpan1qnr(n2，pq0，p，q为常数)型数列的通项求法具体思路：等价转化为anxnyp(an1x(n1)y)，再化为anpan1(p1)xn(p1)y，比较对应系数，解出x，y，进而转化为例3的数列 (2011年济宁模拟)已知数列an中，a1 ，点(n,2an1an)在直线yx上，其中n1,2,3，.求数列an的通项解析：点(n,2an1an)在直线yx上，2an1ann.第21页，本讲稿共34页令an1x(n1)y (annxy)，可化为2an1anxn2xy0与比较系数得x1，y2.可化为an1(n1)2 (ann2)，第22页，本讲稿共34页变式探究变式探究6(2010年丰台区模拟)在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)设bnann，求数列 的通项；(2)求数列an的前n项和Sn.解析：(1)由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.bnann，bn1an1(n1)，bn14bn.又b1a111，所以数列 是首项为1，且公比为4的等比数列bn4n1.第23页，本讲稿共34页(2)由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n.第24页，本讲稿共34页类型七、递推式如an1panqan1(pq0)型的数列通项的求法具体思路：等价转化为an1xany(anxan1)，利用其与an1panqan1恒等，求出x，y，得到一等比数列an1xan，得an1xanf(n)，进而化为例5的数列 在数列an中，a12，a23，an23an12an，求an.解析：由条件an23an12an，得an2an12(an1an)，又因a2a1321，所以数列an1an是以1为首项，2为公比的等比数列，an1an2n1.再用多式累加法可得：ana1 2n11.第25页，本讲稿共34页变式探究变式探究7(2011年漳州模拟)已知数列 an 满足a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列 是等比数列；(2)求数列 an 的通项公式；(3)若数列 满足 (an1)bn(nN*)，证明 是等差数列解析：(1)证明：an23an12an，an2an12(an1an)，a11，a23，第26页，本讲稿共34页 是以a2a12为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)得an1an2n(nN*)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1(nN*)(3)证明：(an1)bn，4(b1b2bn)n2nbn，2(b1b2bn)nnbn，2(b1b2bnbn1)(n1)(n1)bn1.，得2(bn11)(n1)bn1nbn，即(n1)bn1nbn20.第27页，本讲稿共34页nbn2(n1)bn120.，得nbn22nbn1nbn0，即bn22bn1bn0，bn2bn1bn1bn(nN*)，是等差数列第28页，本讲稿共34页类型八、倒数法求通项(1)对于递推式如an1panqan1an(p，q为常数，pq0)型的数列，求其通项公式具体思路：两端除以an1an得：p q，若p1，则构成以首项为 ，公差为q的等差数列 ；若p1,转化为例3求解第29页，本讲稿共34页 (2011年保定摸底)已知数列an满足a11，n2时，an1an2an1an，求通项公式an.解析：an1an2an1an，第30页，本讲稿共34页变式探究变式探究答案：an第31页，本讲稿共34页(2)若数列an有形如an1 的关系，求其通项的具体思路是：取倒数后得 ，即化为例3的数列，求出 ，再求得an.设数列an满足a12，an1 (nN*)，求an.解析：由an1取倒数，第32页，本讲稿共34页变式探究变式探究9数列an中，a11，an1 ，求an.解析：第33页，本讲稿共34页10已知数列an满足a11，an1 ，求an.解析：第34页，本讲稿共34页
