第4章二维变换PPT讲稿.ppt

第第4 4章二维变换章二维变换第1页，共74页，编辑于2022年，星期一本章主要内容窗口与视区坐标系、窗口与视区图形变换的数学基础二维几何变换基本变换、复合（组合）变换二维图形的生成程序实现第2页，共74页，编辑于2022年，星期一目前为止，掌握的基本技能基本绘图函数的使用：pDC-SetPixelCpen类（线型与线宽的设置）等直线、圆生成算法的实现多边形扫描转换与填充颜色的改变，线型与线宽的设置简单平面图形的设计*简单动画设计第3页，共74页，编辑于2022年，星期一例如奥运五环绘制与填充；字符的绘制与填充；第4页，共74页，编辑于2022年，星期一图形变换概述 图形变换是计算机图形学的基础内容。作用：1.二维图形的生成2.复杂的图形的生成（由简单图形变换）3.三维物体的二维表示包括：1.二维、三维图形的平移、旋转、变比、对称等变换；2.级联（复合）变换 相对于某点的比例变换、旋转变换相对于某点的比例变换、旋转变换 相对于某直线的对称变换相对于某直线的对称变换第5页，共74页，编辑于2022年，星期一图形变换概述 投影变换（三维）透视投影包括：-几何变换：改变几何形状和位置几何形状和位置 -非几何变换：改变图形的颜色、线型图形的颜色、线型等属性几何变换平行投影基本几何变换(二维、三维)第6页，共74页，编辑于2022年，星期一二维变换举例二维变换举例xyfq(x,y)(x,y)对称变换旋转变换旋转变换第7页，共74页，编辑于2022年，星期一平行投影变换：三视图、轴测图第8页，共74页，编辑于2022年，星期一透视变换：透视图第9页，共74页，编辑于2022年，星期一二维图形的显示流程图二维图形的显示流程图第10页，共74页，编辑于2022年，星期一4.1 坐标系、窗口与视区坐标系、窗口与视区4.1.1坐标系：建立了图形与数之间的对应联系。坐标系：建立了图形与数之间的对应联系。1.世界坐标系世界坐标系(World Coordinate System)计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观察者的位置计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。视线等，是其它坐标系的参照。2.模型坐标系模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系）物体的局部坐标系，物体的表示简单。物体的局部坐标系，物体的表示简单。世界坐标系世界坐标系xoy模型坐标系模型坐标系xoy第11页，共74页，编辑于2022年，星期一3.用户坐标系用户坐标系(UCS)：为了方便交互绘图操作，根据用户的观察需要而设定的坐标，为了方便交互绘图操作，根据用户的观察需要而设定的坐标，可以变换角度、方向等。可以变换角度、方向等。第12页，共74页，编辑于2022年，星期一4.设备坐标系设备坐标系 （左手法则左手法则）显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左上角。如屏幕坐标系：如屏幕坐标系：在显示器上指定窗口和视区，必须进行由在显示器上指定窗口和视区，必须进行由NDC到物理设备坐标变换。到物理设备坐标变换。第13页，共74页，编辑于2022年，星期一5.5.规格化设备坐标系（规格化设备坐标系（NDCNDC）为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备的方法为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备的方法来处理，其结果是按照一种虚拟设备的坐标规定来输出的。这种设备来处理，其结果是按照一种虚拟设备的坐标规定来输出的。这种设备坐标规定为坐标规定为0X10X1，0Y10Y1，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。在世界坐标系（在世界坐标系（WCWC）与设备坐标系（）与设备坐标系（DCDC）之间定义的一个与设备无关的规格化）之间定义的一个与设备无关的规格化设备坐标系（设备坐标系（按左手法则按左手法则）。取值范围：）。取值范围：（0.00.0，0.00.0，0.00.0）（1.01.0，1.01.0，1.01.0）坐标变换坐标变换用户域用户域 窗口区窗口区第14页，共74页，编辑于2022年，星期一4.1.2坐标的转换用户Y 0 用户X观察坐标用户坐标观察坐标到用户坐标的变换矩阵（写出）：将观察坐标原点平移；旋转观察坐标与用户坐标重叠（X0,Y0）第15页，共74页，编辑于2022年，星期一1.窗口窗口在世界坐标系（在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域）中指定的矩形区域，用来指定要显示的图形用来指定要显示的图形。2.视区视区在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域，用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。3.窗口到视区的变换窗口到视区的变换 4.1 4.1 坐标系、窗口与视区（续）坐标系、窗口与视区（续）坐标系、窗口与视区（续）坐标系、窗口与视区（续）4.1.34.1.3什么是窗口、视区？什么是窗口、视区？什么是窗口、视区？什么是窗口、视区？第16页，共74页，编辑于2022年，星期一“取景器”=窗口视区视区视区视区1 1 视区视区视区视区2 2（viewportviewport）第17页，共74页，编辑于2022年，星期一4.1.4规格化变换 从窗口到视区的变换，称为从窗口到视区的变换，称为规格化变换规格化变换。(Normalization TransformationNormalization Transformation)xyoW(窗口区)xyoV(视图区)wxLwxRwyBwyTvxLvxRvyBvyT(wx,wy)(vx,vy)4.1 4.1 坐标系、窗口与视区（续）坐标系、窗口与视区（续）坐标系、窗口与视区（续）坐标系、窗口与视区（续）第18页，共74页，编辑于2022年，星期一窗口到视区（viewport）的转换 实例推导（WXR，WYT）（VXR，VYT）（VXL，VYB）（WXL，WYB）（Xw，Yw）（Xv，Yv）窗口区定义为（WXL，WXR，WYB，WYT），视区定义为（VXL，VXR，VYB，VYT）根据相似性原理，得出计算公式：第19页，共74页，编辑于2022年，星期一例5-1：设窗口区为window(0.0，1.0，0.0，1.0)（已规格化）（已规格化），视图区为viewport（100，400，100，400），有用户坐标点Xw,Yw为（0.5，0.3），求其对应的屏幕坐标Xv,Yv。解题步骤：（1）绘制其坐标示意图；（2）写出（推导）计算公式；（3）算出对应坐标值。第20页，共74页，编辑于2022年，星期一4.2 图形变换的数学基础矢量运算行列式矩阵单位矩阵逆矩阵转置矩阵矩阵运算上机编程：实现矩阵的输入与输出；上机编程：实现矩阵的输入与输出；实现两个矩阵相乘。实现两个矩阵相乘。特别注意：矩阵相乘不适合交换律第21页，共74页，编辑于2022年，星期一变换的数学基础变换的数学基础(1/4)矢量矢量矢量和矢量和 第22页，共74页，编辑于2022年，星期一变换的数学基础变换的数学基础(2/4)矢量的数乘矢量的数乘 矢量的点积矢量的点积性质性质第23页，共74页，编辑于2022年，星期一变换的数学基础变换的数学基础(3/4)矢量的长度矢量的长度 单位矢量单位矢量 矢量的夹角矢量的夹角矢量的叉积矢量的叉积 第24页，共74页，编辑于2022年，星期一变换的数学基础变换的数学基础(4/4)矩阵矩阵 阶矩阵阶矩阵n阶方阵阶方阵零矩阵零矩阵行向量与列向量行向量与列向量单位矩阵单位矩阵矩阵的加法矩阵的加法 矩阵的数乘矩阵的数乘 矩阵的乘法矩阵的乘法 矩阵的转置矩阵的转置 矩阵的逆矩阵的逆 第25页，共74页，编辑于2022年，星期一4.3 二维基本几何变换点的变换：恒等变换平移变换比例变换旋转变换对称变换错切变换点的基本几何变换的推广直线，多边形，曲线第26页，共74页，编辑于2022年，星期一图形几何变换按某种规律，改变图形的形状、大小、按某种规律，改变图形的形状、大小、位置等。位置等。建立物体的 WC变换到 VC在VC空间 进行裁剪投影到 NDC变换到 DC在图形设备上输出二二.图形变换的过程图形变换的过程第27页，共74页，编辑于2022年，星期一二维图形的显示流程图二维图形的显示流程图第28页，共74页，编辑于2022年，星期一基本几何变换（二维）基本几何变换（二维）xyfq(x,y)(x,y)对称变换平移变换旋转变换旋转变换其它：比例变换、错切变换等；以及三维基本变换第29页，共74页，编辑于2022年，星期一图形几何变换基本原理：按某种规律，改变图形的形状、大小、位置等关键：关键：坐标的改变坐标的改变方法：坐标系不动，图形变动后坐标值变化；坐标系变化后，图形在新坐标系中的新值。第30页，共74页，编辑于2022年，星期一P(x,y)P(x,y)PXYXYXY方法A坐标系不动，图形变动后坐标值变化方法B坐标系变化后图形在新坐标系中的新值(l,m)lm第31页，共74页，编辑于2022年，星期一本课程：变换方法的选择选择A：坐标系不动，图形变动后坐标值变化坐标系不动，图形变动后坐标值变化 P P第32页，共74页，编辑于2022年，星期一4.3.1 4.3.1 图形变换的特点图形变换的特点 图形变换就是改变图形的几何关系，即改变图形顶点的坐标，但图形的拓扑关系不变。最基本的图形变换可以分别用矩阵形式表示为：平移变换：PPTm TmMx My Mx、My分别为X方向和Y方向的平移量。PPTm 等价于 x y=x y+Mx My第33页，共74页，编辑于2022年，星期一4.3.1 4.3.1 图形变换的特点（续）图形变换的特点（续）比例变换 PPTs Sx 0 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。旋转变换 PPTr cos sin -sin cos 0时为逆时针旋转 0时为顺时针旋转Ts Tr问题：都是二维几何变换，如何用统一问题：都是二维几何变换，如何用统一的向量的向量(矩阵矩阵)表示？表示？第34页，共74页，编辑于2022年，星期一4.3.2 齐次坐标用n+1维向量表示n维向量优越性提供了用矩阵运算把二维三维甚至高维空间的点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法。可以表示无穷远的点第35页，共74页，编辑于2022年，星期一什么是齐次坐标表示？齐次坐标表示？用一个有n+1个分量的向量去表示一个有n个分量的向量的方法。例如：二维点二维点P P（x,y）（x,yx,y为笛卡儿直角坐标）为笛卡儿直角坐标）齐次坐标表示为:(h hx，h hy，h h)h h是任一不为0的比例系数。当h=1h=1时，称为规格化齐次坐标规格化齐次坐标。反之，给定一个点的齐次坐标表示:(x，y，h h)，该点的二维笛卡儿直角坐标：(x/h h，y/h h)。例如：有一个二维点的坐标（25，40）其齐次坐标为？4.3.2 齐次坐标第36页，共74页，编辑于2022年，星期一为什么需要齐次坐标？为什么需要齐次坐标？多个变换作用于多个目标多个变换作用于多个目标变换合成变换合成变换合成的问题变换合成的问题引入齐次坐标引入齐次坐标 变换的表示法统一变换的表示法统一第37页，共74页，编辑于2022年，星期一 三维点三维点P P（x,y,zx,y,z）：）：同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)，它在四维空间中对应的向量即齐次坐标为(xh，yh，zh，h)，其中h0。反之，？齐次坐标的概念可以推广到齐次坐标的概念可以推广到n n维空间的向量。维空间的向量。齐次坐标的表示不是唯一的，（如何让它唯一？）记住，当h=1时，称为规格化齐次坐标规格化齐次坐标常用常用。4.3.2齐次坐标第38页，共74页，编辑于2022年，星期一齐次坐标（用n+1维向量表示n维向量）优越性提供了用矩阵运算把二维三维甚至高维空间的点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的方法。可方便地用变换矩阵实现对图形的变换；可以表达无穷远点（透视变换）。第39页，共74页，编辑于2022年，星期一4.3.34.3.3齐次坐标齐次坐标二维图形变换矩阵二维图形变换矩阵 一般形式：a b p c d q l m s P =P T2D 二维变换矩阵中：a b c d l m 是对图形进行平移变换。S 是整体比例变换。p,q 用于投影变换（三维投影变换时使用用于投影变换（三维投影变换时使用非仿射变换）非仿射变换）x y 1 =x y 1 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。x=ax+cy+l y =bx+dy+m（二维仿射变换（二维仿射变换:p=q=0）第40页，共74页，编辑于2022年，星期一二维图形变换二维图形变换(只考虑只考虑仿射变换仿射变换:p=q=0)采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式：a b 0 c d 0 l m 1 P =P T2D 二维变换矩阵中：a b c d l m 是对图形进行平移变换 x y 1 =x y 1 变换后的顶点坐标变换前的顶点坐标二维变换矩阵是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。第41页，共74页，编辑于2022年，星期一齐次坐标齐次坐标二维图形变换矩阵二维图形变换矩阵 一般形式：a b p c d q l m s P =P T2D（二维仿射变换（二维仿射变换:p=q=0）二维变换矩阵中：a b c d l m 是对图形进行平移变换。S 是整体比例变换。（非仿射变换）（非仿射变换）p,q 用于投影变换（三维点时使用）用于投影变换（三维点时使用）x y 1 =x y 1 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。第42页，共74页，编辑于2022年，星期一一、平移变换一、平移变换 只只改改变变图图形形的的位位置置，不不改改变变图图形形的的大大小小和和形状形状二维：将图形对象从一个位置二维：将图形对象从一个位置(x,y)移到移到另一个位置另一个位置(x，y)的变换。的变换。P=P T1 0 0 0 1 0 l m 1 T =平移矩阵1 0 0 0 1 0 -l -m 1 T-1 =第43页，共74页，编辑于2022年，星期一平移变换平移变换（续）（续）(x,y)(x,y)(dx,dy)xyd yydxxy x+=+=请写出它的变换矩阵：请写出它的变换矩阵：第44页，共74页，编辑于2022年，星期一二、旋转变换二、旋转变换注意注意旋转方向旋转角度旋转中心旋转是刚体变换-推导：方法：点方法：点P(x,y)的极坐标表示的极坐标表示xqP(x,y)P(x,y)y第45页，共74页，编辑于2022年，星期一旋转变换（续）旋转变换（续）绕绕坐坐标标原原点点旋旋转转角角度度 （逆逆时时针针为为正正，顺顺时时针针为负）为负）P=P Rcosq sinq 0 -sinq cosq 0 0 0 1R(q)=（旋转变换矩阵）cosq -sinq 0 sinq cosq 0 0 0 1R-1(q)=第46页，共74页，编辑于2022年，星期一三、对称变换三、对称变换关于关于x轴的对称变换轴的对称变换关于关于y轴的对称变换轴的对称变换 第47页，共74页，编辑于2022年，星期一对称变换（续）对称变换（续）关于原点的对称变换关于原点的对称变换关于关于y=x的对称变换的对称变换 关于关于y=-x的对称变换的对称变换第48页，共74页，编辑于2022年，星期一四、比例变换四、比例变换（比例变换矩阵）P=PSsx 0 0 0 sy 0 0 0 1S(sx,sy)=1/sx 0 0 0 1/sy 0 0 0 1S-1(sx,sy)=第49页，共74页，编辑于2022年，星期一比例变换示例比例变换示例(x,y)(x,y)xy第50页，共74页，编辑于2022年，星期一比例变换（续）比例变换（续）比例比例因子因子 if sx,sy 1,物体被拉伸 if 0 sx,sy 1,物体被压缩 if sx,sy 0,物体被倒影均匀均匀/非均匀非均匀比例变换比例变换if sx=sy,均匀均匀比例变换比例变换if sx sy,非均匀非均匀比例变换比例变换第51页，共74页，编辑于2022年，星期一五、错切变换五、错切变换例：以例：以y轴为依赖轴的错切变换轴为依赖轴的错切变换 y坐标不变坐标不变请写出请写出兰色多边形兰色多边形到到黑色多边形黑色多边形的变的变换矩阵换矩阵：第52页，共74页，编辑于2022年，星期一点的基本几何变换的推广点的变换：直线的变换多边形的变换曲线的变换（由每一点的变换，重新画线完成）（二维仿射变换 x=ax+cy+l y =bx+dy+m ）P=P*T（重要）（重要）第53页，共74页，编辑于2022年，星期一例如错切变换中：例如错切变换中：兰色多边形兰色多边形到到黑色多边形黑色多边形用程序实现的步骤：1.给定多边形的顶点坐标（矩阵表示）；2.绘制该多边形；3.进行错切变换（乘上一个错切变换矩阵）；4.绘制新的多边形；5.擦去旧的多边形；6.结束。第54页，共74页，编辑于2022年，星期一 算法的实现（TC 环境）void main()int gmode,gdriver=DETECT;int plygon143=100,100,1,300,100,1,300,300,1,100,300,1;/多边形初始化多边形初始化int plygon243=0;float cuoqie333=1,0,0,1,1,0,0,0,1;int shape120,shape220,i,j,k=0;initgraph(&gdriver,&gmode,.bgi);/为画多边形设置顶点坐标序列（成对）为画多边形设置顶点坐标序列（成对）for(i=0;i4;i+)for(j=0;j2;j+)shape1k=plygon1ij;k+;/最后一点回到第最后一点回到第0点（封闭多边形）点（封闭多边形）shape1k=plygon100;shape1k+1=plygon101;drawpoly(5,shape1);/绘制多边形，给出的参数为绘制多边形，给出的参数为 顶点数加顶点数加1getch();setcolor(getbkcolor();drawpoly(5,shape1);/用背景色重绘，擦除原来的多边形用背景色重绘，擦除原来的多边形 getch();第55页，共74页，编辑于2022年，星期一plygon143=100,100,1,300,100,1,300,300,1,100,300,1cuoqie333=1,0,0,1,1,0,0,0,1plygon243=？第56页，共74页，编辑于2022年，星期一错切算法的实现（续）/乘上错切变换矩阵（乘上错切变换矩阵（3*3）matxN3(plygon1,cuoqie3,plygon2,4);/设置错切多边形顶点序列设置错切多边形顶点序列k=0;for(i=0;i4;i+)for(j=0;j2;j+)shape2k=plygon2ij;k+;shape2k=plygon200;shape2k+1=plygon201;setcolor(WHITE);drawpoly(5,shape2);/绘制错切多边形绘制错切多边形getch();closegraph();/计算计算N*3的变换矩阵的变换矩阵,b为错切变换矩为错切变换矩阵阵/N 为顶点数为顶点数void matxN3(int a3,int b33,int c3,int N)int i,j,m;for(m=0;mN;m+)for(i=0;i3;i+)for(j=0;j3;j+)cmi+=amj*bji;return;第57页，共74页，编辑于2022年，星期一问题与解决方法问题问题1：实际上，图形变换经常是实数类型，如旋转：实际上，图形变换经常是实数类型，如旋转变换等，如何将本算法改为能处理实数的？变换等，如何将本算法改为能处理实数的？问题问题2：上述程序是：上述程序是C语言程序，可以在语言程序，可以在TurboC中中运行，如何改为能在运行，如何改为能在Visual C+中运行的程序？中运行的程序？问题问题3：改变多边形形状，错切后又如何？：改变多边形形状，错切后又如何？解决方法（提问、讨论）解决方法（提问、讨论）解决方法（提问、讨论）解决方法（提问、讨论）第58页，共74页，编辑于2022年，星期一4.4 二维复合变换（级联变换）任何一复杂的几何变换可以看成基本几何变换的组合：P=PT=P T1 T2 Tn复合平移复合平移复合比例复合比例复合旋转复合旋转其他常见复合变换，例：其他常见复合变换，例：相对于某个参考点的几何变换（比例、旋转等）相对于某个参考点的几何变换（比例、旋转等）相对于某直线的几何变换（对称等）相对于某直线的几何变换（对称等）第59页，共74页，编辑于2022年，星期一相对于某个参考点的几何变换（比例、旋转等）相对于某个参考点的几何变换（比例、旋转等）例：求某点P相对于固定点F（xF,yY）旋转一个角度 的变换矩阵T。FPPFP1.平移到原点3.反平移2.旋转第60页，共74页，编辑于2022年，星期一步骤将固定点移到坐标原点上（P点随固定点移动）；P点对原点进行二维旋转变换；反平移固定点到原位（P点随固定点反平移）。例：求例：求P(5,4)绕绕F(3,2)逆时针旋转逆时针旋转45度的变换矩阵，度的变换矩阵，以及变换后以及变换后P点的新坐标点的新坐标P。进一步：将一个多边形关于一般位置点的旋转变换。进一步：将一个多边形关于一般位置点的旋转变换。第61页，共74页，编辑于2022年，星期一AACCBB要求：分步骤实现该变换。第62页，共74页，编辑于2022年，星期一关于任意轴的对称变换关于任意轴的对称变换 第63页，共74页，编辑于2022年，星期一相对于某直线的几何变换（如对称）相对于某直线的几何变换（如对称）步骤平移该对称直线到原点；旋转角度到与坐标轴（X轴或Y轴）重合；对变换对象进行对称变换；反向旋转到原来方向；反平移到原来位置。第64页，共74页，编辑于2022年，星期一YXO例：已知点P（8，12），直线L的方程为：x-2y+6=0，请推导并计算P相对于L作对称变换的矩阵T，并求出该点坐标值。P第65页，共74页，编辑于2022年，星期一课堂练习（一）回答下列问题：1.什么是齐次坐标？齐次坐标有什么优越性？2.如何将一个点表示为齐次坐标？计算规范化的齐次坐标？为什么要用规范化的齐次坐标？3.什么是二维仿射变换？有哪些不变性？写出它的变换形式（用矩阵表示）第66页，共74页，编辑于2022年，星期一课堂练习（二）证明题1.证明两个连续的旋转变换（或变比例变换）的矩阵运算具有互换性。如，两个二维旋转变换R(1)，R（2），具有下式 R(1)R（2）=R(1+2）。2.证明二维点相对于X轴作对称，紧跟着相对于y=-x直线作对称变换，完全等价于该点相对于坐标原点作旋转变换（旋转角度是多少？）3.试推导将二维平面上任意直线段P1（x1,y1）与P1（x1,y1），转换成与X轴重合的变换矩阵（线段P1P2与X轴的夹角小于45度）。第67页，共74页，编辑于2022年，星期一课堂练习（三）推导题1.求一个多边形（如三角形）绕着一个一般点旋转角的变换矩阵，并写出其实现的算法（擦除原来的图形）第68页，共74页，编辑于2022年，星期一课堂练习（三）2.求P点相对于L：ax+by+c=0，作对称变换后得到的P。例如：已知点P（8，12），直线L的方程为：x-2y+6=0，请推导并计算该点相对于作对称变换的矩阵T，使点P的对称点 P=PT，并求出该点坐标值。3.将第2题推广到多边形，并实现多边形相对于一般直线的对称变换（包括保留、擦除原来图形两种情况）第69页，共74页，编辑于2022年，星期一XPPP第70页，共74页，编辑于2022年，星期一引发的问题：三维图形的基本问题引发的问题：三维图形的基本问题1.三维物体在二维屏三维物体在二维屏幕上如何显示？幕上如何显示？2.如何表示三维物体如何表示三维物体？3.如何反映遮挡关系如何反映遮挡关系？4.如何产生真实感图如何产生真实感图形形显示器屏幕、绘图纸等是二维的显示，对象是三维的。解决方法-投影投影第71页，共74页，编辑于2022年，星期一例如：物体的透视效果例如：物体的透视效果 xyzz轴灭点x轴灭点轴灭点第72页，共74页，编辑于2022年，星期一本章小结如何将窗口区向视图区转换？什么是齐次坐标？为什么要用齐次坐标？如何规范化？二维图形的平移、旋转、变比、对称等变换；复合（级联）二维变换矩阵的推导变换矩阵的推导与二维变换的实现；熟练掌握：实现两个矩阵相乘（三维）。第73页，共74页，编辑于2022年，星期一第74页，共74页，编辑于2022年，星期一