计算机图形学第讲图形变换.ppt

计算机图形学第讲图形变换现在学习的是第1页，共48页本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换常见的二维图形几何变换n平移变换平移变换n比例变换比例变换n旋转变换旋转变换n对称变换对称变换n错切变换错切变换l变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l图形的复合变换图形的复合变换现在学习的是第2页，共48页图形变换图形变换l指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形n坐标系不动而图形变动（几何变换）坐标系不动而图形变动（几何变换）n图形不动而坐标系变动（坐标变换）图形不动而坐标系变动（坐标变换）l几何变换通常是以点变换为基础，即对图形对象的每几何变换通常是以点变换为基础，即对图形对象的每个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新图形图形l图形的拓扑关系不变图形的拓扑关系不变现在学习的是第3页，共48页本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换现在学习的是第4页，共48页齐次坐标表示法齐次坐标表示法l将一个原本是将一个原本是n维的向量用一个维的向量用一个n+1维向量表示维向量表示l一个向量的齐次表示不是唯一的一个向量的齐次表示不是唯一的l当齐次坐标的当齐次坐标的h为为1时，称为规范化齐次方程时，称为规范化齐次方程 有有n n个分量的向量个分量的向量有有n+1n+1个分量的向量个分量的向量现在学习的是第5页，共48页齐次坐标表示法齐次坐标表示法l二维齐次坐标在三维空间中二维齐次坐标在三维空间中现在学习的是第6页，共48页齐次坐标技术的优点齐次坐标技术的优点l齐次坐标可以表达无穷远点齐次坐标可以表达无穷远点n对于对于h=0的齐次坐标表示无穷远点，如的齐次坐标表示无穷远点，如(a,b,0)表示表示ay=bx直线上的直线上的无穷远点无穷远点l采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式n图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的单一形式乘的单一形式u将平移转换成矩阵乘法运算将平移转换成矩阵乘法运算现在学习的是第7页，共48页本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换常见的二维图形几何变换n平移变换平移变换n比例变换比例变换n旋转变换旋转变换n对称变换对称变换n错切变换错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换现在学习的是第8页，共48页二维图形几何变换的齐次表示法二维图形几何变换的齐次表示法某一点P(x,y)列向量齐次表示法一个图形的点集齐次表示法矩阵图形几何变换表示：图形几何变换表示：现在学习的是第9页，共48页几种常见的二维图形几何变换几种常见的二维图形几何变换l平移变换平移变换l缩放变换缩放变换l旋转变换旋转变换l对称变换对称变换l错切变换错切变换现在学习的是第10页，共48页平移变换（平移变换（Translation）l指不产生变形而移动物体的刚性变换指不产生变形而移动物体的刚性变换Tx平行于平行于x轴的方向上的移动量轴的方向上的移动量Ty平行于平行于y轴的方向上的移动量轴的方向上的移动量y平移变换x现在学习的是第11页，共48页平移变换的齐次坐标表示平移变换的齐次坐标表示l平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法n线性几何变换线性几何变换-矩阵乘法矩阵乘法l从而与其余四种几何变换运算方式相统一从而与其余四种几何变换运算方式相统一平移矩阵：平移矩阵：简写为：简写为：现在学习的是第12页，共48页缩放变换（缩放变换（Scaling）l指图形相对于坐标原点，按比例系数指图形相对于坐标原点，按比例系数(Sx,Sy)放大或缩小放大或缩小的变换的变换Sx平行于平行于x轴的方向上的缩放量轴的方向上的缩放量Sy平行于平行于y轴的方向上的缩放量轴的方向上的缩放量yx相对于原点的比例变换相对于原点的比例变换现在学习的是第13页，共48页缩放变换的齐次坐标表示缩放变换的齐次坐标表示比例矩阵：比例矩阵：简写为：简写为：现在学习的是第14页，共48页缩放变换的性质缩放变换的性质l当当Sx=Sy时，变换前的图形与变换后的图形相似时，变换前的图形与变换后的图形相似n当当Sx=Sy=1时，图形不变，称为恒等变换时，图形不变，称为恒等变换n当当Sx=Sy1时，图形将均匀放大，并远离坐标原点时，图形将均匀放大，并远离坐标原点n当当0 Sx=Sy1时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点l当当SxSy时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）l当当Sx0时或时或Sy0时，图形不仅大小发生变化，而且将相时，图形不仅大小发生变化，而且将相对于对于y轴、轴、x轴或原点作对称变换轴或原点作对称变换现在学习的是第15页，共48页yxyxyxyx现在学习的是第16页，共48页整体比例变换整体比例变换l整体比例变换，比例系数为整体比例变换，比例系数为1/Sn当当01时，图形等比例缩小时，图形等比例缩小n当当S0时，为等比例变换再加上对原点的对称变换时，为等比例变换再加上对原点的对称变换整体比例矩阵：整体比例矩阵：现在学习的是第17页，共48页旋转变换旋转变换x两式合并可得：两式合并可得：yl指将图形围绕圆心逆时针转动一个指将图形围绕圆心逆时针转动一个角度的变换（规定逆时针角度的变换（规定逆时针转动方向为正）转动方向为正）旋转变换现在学习的是第18页，共48页旋转变换旋转变换l新坐标轴方向新坐标轴方向nx轴轴:ny轴轴:lP在新坐标轴上的投影在新坐标轴上的投影=P点旋转后坐标点旋转后坐标xyxy现在学习的是第19页，共48页旋转变换的齐次坐标表示旋转变换的齐次坐标表示旋转矩阵：旋转矩阵：简写为：简写为：现在学习的是第20页，共48页对称变换对称变换l指相对坐标轴、原点、指相对坐标轴、原点、线的对称变换（反射变换）线的对称变换（反射变换）l相对于相对于y轴对称：轴对称：oyxyoxl相对于相对于x轴对称：轴对称：现在学习的是第21页，共48页n相对于原点对称（即中心对称）相对于原点对称（即中心对称）yoxyoxn相对于直线相对于直线y=x对称对称对称变换对称变换现在学习的是第22页，共48页xyoy=-xn相对于直线相对于直线y=-x对称对称l简写为：简写为：现在学习的是第23页，共48页错切变换（错切变换（Shearing）l指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移变换）变换）n沿沿x轴方向关于轴方向关于y轴错切，即变换前后轴错切，即变换前后y坐标不变，坐标不变，x坐标呈线性坐标呈线性变化变化将图形上关于将图形上关于y轴的平行线沿轴的平行线沿x方向推成方向推成角的倾斜线，而保持角的倾斜线，而保持y坐标不变。坐标不变。现在学习的是第24页，共48页xyx现在学习的是第25页，共48页n沿沿 y 轴方向关于轴方向关于 x 轴错切，即变换前后轴错切，即变换前后x坐标不变，坐标不变，y坐标呈坐标呈线性变化。线性变化。yyxl简写为：简写为：现在学习的是第26页，共48页本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l图形的复合变换现在学习的是第27页，共48页变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l变换矩阵可用变换矩阵可用33矩阵来描述矩阵来描述n左上角的左上角的22子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；n右上角的右上角的12子块可实现平移变换；子块可实现平移变换；n左下角的左下角的21子块可实现投影变换；子块可实现投影变换；n右下角的右下角的11子块可实现整体比例变换。子块可实现整体比例变换。现在学习的是第28页，共48页变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区 比例变换、旋转变换比例变换、旋转变换 对称变换、错切变换对称变换、错切变换 平移变换平移变换现在学习的是第29页，共48页变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区 投影变换投影变换 整体比例变换整体比例变换现在学习的是第30页，共48页本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换图形的复合变换现在学习的是第31页，共48页复合变换复合变换l对于任何一个比较复杂的变换对于任何一个比较复杂的变换n可以转换成若干个连续进行的基本变换可以转换成若干个连续进行的基本变换n这些基本几何变换的组合称为复合变换这些基本几何变换的组合称为复合变换n复合：复合：u矩阵乘法矩阵乘法现在学习的是第32页，共48页复合变换复合变换l设图形经过设图形经过n次基本几何变换，其变换矩阵分别为次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1,T2,Tn 顶点顶点p经经T1变换后：变换后：p=T1 p 经经T2变换后：变换后：p=T2 p=T2 T1 p 经经Tn变换后：变换后：p(n)=Tn p(n-1)=TnTn-1T2T1plT=TnTn-1T2T1就为复合变换矩阵就为复合变换矩阵现在学习的是第33页，共48页复合变换复合变换l对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相乘，形对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相乘，形成总的复合变换矩阵成总的复合变换矩阵T，再将变换前的坐标与，再将变换前的坐标与T相乘，得相乘，得到变换后的最终坐标到变换后的最终坐标p(n)=Tn p(n-1)=TnTn-1T2T1p=(TnTn-1T2T1)p=Tpl一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严格按照一定的交换顺序格按照一定的交换顺序现在学习的是第34页，共48页复合变换复合变换l连续平移变换连续平移变换l连续比例变换连续比例变换l连续旋转变换连续旋转变换l相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换l以平面内任一直线为对称轴进行对称变换以平面内任一直线为对称轴进行对称变换现在学习的是第35页，共48页连续平移变换连续平移变换l设点设点p(x,y)经过第一次平移变换经过第一次平移变换T1(Tx1,Ty1)和第二次平移变和第二次平移变换换T2(Tx2,Ty2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次平移变换经过第一次平移变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次平移变换经第二次平移变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)现在学习的是第36页，共48页l得到连续平移变换的复合矩阵得到连续平移变换的复合矩阵T为：为：即连续的平移变换是平移量的相加即连续的平移变换是平移量的相加连续平移变换连续平移变换现在学习的是第37页，共48页连续比例变换连续比例变换l设点设点P(x,y)经过第一次比例变换经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比例变和第二次比例变换换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次比例变换经过第一次比例变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次比例变换经第二次比例变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)现在学习的是第38页，共48页l得到连续比例变换的复合矩阵得到连续比例变换的复合矩阵T为：为：即连续的比例变换是比例系数的相乘即连续的比例变换是比例系数的相乘连续比例变换连续比例变换现在学习的是第39页，共48页连续旋转变换连续旋转变换l设点设点P(x,y)经过第一次旋转变换经过第一次旋转变换T1(旋转角度为旋转角度为1 1)和第二和第二次旋转变换次旋转变换T2(旋转角度为旋转角度为2 2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次旋转变换经过第一次旋转变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次旋转变换经第二次旋转变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)现在学习的是第40页，共48页l得到连续旋转变换的复合矩阵得到连续旋转变换的复合矩阵T为：为：现在学习的是第41页，共48页相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换l相对任一参考点的缩放变换相对任一参考点的缩放变换n平移变换，即将该参考点移到坐标原点处平移变换，即将该参考点移到坐标原点处n作相对于原点的缩放变换作相对于原点的缩放变换n平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置l相对任一参考点的旋转变换相对任一参考点的旋转变换n平移变换，即将该参考点移到坐标原点处平移变换，即将该参考点移到坐标原点处n作相对于原点的旋转变换作相对于原点的旋转变换n平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置现在学习的是第42页，共48页Oxy相对于任意点(x0,y0)的比例变换(x0,y0)(0,0)相对任一参考点的缩放变换相对任一参考点的缩放变换平移平移比例现在学习的是第43页，共48页相对任一参考点的旋转变换相对任一参考点的旋转变换Oxy相对于任意点(x0,y0)的旋转变换(x0,y0)(0,0)平移平移旋转现在学习的是第44页，共48页例：求点例：求点P(x,y)相对任一点相对任一点M(x0,y0)作缩放变换的变换矩阵。作缩放变换的变换矩阵。其中缩放系数为其中缩放系数为(Sx,Sy)解：平移得平移矩阵解：平移得平移矩阵T1为：为：进行比例变换得缩放变换矩阵进行比例变换得缩放变换矩阵T2为：为：反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵T3为：为：相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换现在学习的是第45页，共48页 因此，复合变换矩阵应为：因此，复合变换矩阵应为：注意：注意：相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换现在学习的是第46页，共48页以任一直线为对称轴进行对称变换以任一直线为对称轴进行对称变换l相对于平面内的任意条直线进行对称变换相对于平面内的任意条直线进行对称变换n平移，使对称轴直线经过坐标原点平移，使对称轴直线经过坐标原点n绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如X轴）重轴）重合合n关于某个坐标轴（如关于某个坐标轴（如X轴）进行对称变换轴）进行对称变换n绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向n平移，使对称轴直线回到原来的位置平移，使对称轴直线回到原来的位置现在学习的是第47页，共48页oxy以任一直线为对称轴进行对称变换以任一直线为对称轴进行对称变换现在学习的是第48页，共48页