余弦定理优质课精选PPT.ppt
关于余弦定理优质课第1页，讲稿共26张，创作于星期一1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题：已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角复习回顾：第2页，讲稿共26张，创作于星期一3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角4 4、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的形，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化转化复习回顾：2 2、A+B+C=A+B+C=第3页，讲稿共26张，创作于星期一 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置在地面上选一适当的位置A A，量出，量出A A到山脚到山脚B B、C C的距离，再利用经的距离，再利用经纬仪测出纬仪测出A A对山脚对山脚BCBC（即线段（即线段BCBC）的张角，最后通过计算求出山脚的）的张角，最后通过计算求出山脚的长度长度BCBC已知：AB、AC、角(两条边、一个夹角)实际问题实际问题第4页，讲稿共26张，创作于星期一实际问题数学化:在ABC中，已知边AC，BC及C,求AB.分析转化分析转化第5页，讲稿共26张，创作于星期一 任意一个三角形，已知两边和夹角，求第任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边三边.c=?若若ABC为任意三角形，已知为任意三角形，已知BC=a，AC=b及及C，求，求AB边长边长c.即一般化问题一般化问题第6页，讲稿共26张，创作于星期一证明：证明：向量法向量法若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：求证：bcABCa第7页，讲稿共26张，创作于星期一bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点垂点垂直于直于CB的直线为的直线为y轴，建立如图所示的轴，建立如图所示的坐标系，则坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：三点的坐标分别为：xy坐标法坐标法第8页，讲稿共26张，创作于星期一第9页，讲稿共26张，创作于星期一 三角形三角形任任何一边的平方等于其何一边的平方等于其他两边平方的和减去他两边平方的和减去这这两边与它们两边与它们夹夹角角的余弦的积的两倍的余弦的积的两倍.余弦定理余弦定理余余 弦弦 定定 理理第10页，讲稿共26张，创作于星期一问题问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？定理之间的关系？剖剖 析析 定定 理理勾股定理是余弦定理的特例，余弦定勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广理是勾股定理的推广.第11页，讲稿共26张，创作于星期一问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一元素，知三求一.（方程思想）（方程思想）剖剖 析析 定定 理理第12页，讲稿共26张，创作于星期一（3 3）已知）已知a a、b b、c c（三边），可以求（三边），可以求什么？什么？问题问题2：公式的结构特征怎样？公式的结构特征怎样？剖剖 析析 定定 理理第13页，讲稿共26张，创作于星期一（1）已知三边求三个）已知三边求三个角；角；问题问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什余弦定理在解三角形中的作用是什么？么？（2）已知两边和它）已知两边和它们的夹角，求第三边们的夹角，求第三边和其他两个角和其他两个角.剖剖 析析 定定 理理第14页，讲稿共26张，创作于星期一例例1 在在ABC中，已知中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1 cm）.解：解：方法一：方法一：根据余弦定理，根据余弦定理，a=b+c-2bccosA =60+34-26034cos41o 1 676.82，a41(cm).第15页，讲稿共26张，创作于星期一接上页接上页 由正弦定理得，由正弦定理得，因为因为c不是三角形中最大的边，所以不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利是锐角，利用计算器可得用计算器可得C33，B=180o-(A+C)180o-(41o+33o)=106.例例1 在在ABC中，已知中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41，解三角形（角度精确到，解三角形（角度精确到1，边长精确到，边长精确到1 cm）.第16页，讲稿共26张，创作于星期一 根据余弦定理，根据余弦定理，a a=b=b+c+c-2bccosA-2bccosA =60 =60+34+34-26034cos41-26034cos41o o1 676.821 676.82，a41(cm).a41(cm).由余弦定理得由余弦定理得所以利用计算器可得所以利用计算器可得C33C33，B=180B=180o o-(A+C)180-(A+C)180o o-(41-(41o o+33+33o o)=106.)=106.方法二：方法二：第17页，讲稿共26张，创作于星期一注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.思考思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？第18页，讲稿共26张，创作于星期一例例 2、在、在ABC中，已知中，已知a7，b10，c6，求，求A、B和和C.解：解：b2c2a22bc cosA 0.725，A44a2b2c22ab cosC 0.8071，C36 B180(AC)100.sinC 0.5954,C 36或或144(舍舍).).c sinA a()第19页，讲稿共26张，创作于星期一例例3、已知、已知ABC中，中，a=8,b=7,B600,求求c及及SABC整理得：整理得：c2-8c+15=0解得：解得：c1=3,c2=5第20页，讲稿共26张，创作于星期一已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法一边和二角一边和二角(如如a,B,C)a,B,C)两边和夹角两边和夹角(如如a,b,C)a,b,C)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(如如a,b,A)a,b,A)三边三边(a,b,c)(a,b,c)由由A+B+C=180A+B+C=180求角求角A,A,由正弦定理由正弦定理求出求出b b与与c.c.解三角形的四种基本类型解三角形的四种基本类型正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边由余弦定理求出第三边c c，再由正弦定理求出，再由正弦定理求出剩下的角剩下的角.正弦定理正弦定理由正弦定理求出角由正弦定理求出角B,B,再求角再求角C,C,最后求出最后求出c c边边.可有两解可有两解,一解或无解一解或无解.余弦定理余弦定理先由余弦定理求出其中两个角先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为再利用内角和为180180求出第三个角求出第三个角.第21页，讲稿共26张，创作于星期一练习练习CA第22页，讲稿共26张，创作于星期一练习练习第23页，讲稿共26张，创作于星期一ABC中,（1）a4，b3，C60，则c_；14.6（2）a=2,b=3,c=4,则C=_.104.5（3）a2，b4，C135，则A_.练习练习第24页，讲稿共26张，创作于星期一1.1.余弦定理余弦定理 推论推论2.2.余弦定理的作用余弦定理的作用（1 1）已知三边，求三个角；）已知三边，求三个角；（2 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角它两角课堂小结课堂小结第25页，讲稿共26张，创作于星期一2022/10/12感谢大家观看第26页，讲稿共26张，创作于星期一
