2022年数列解题技巧归纳总结打印.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列解题技巧归纳总结基础学问：1数列、项的概念：按肯定次序排列的一列数,叫做数列,其中的每一个数叫做数列的项2数列的项的性质： 有序性； 确定性；可重复性3数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项,其中右下角标表示项的位置序号,因此数列的一般形式可以写成a1,a2,a3, ,an,（ ）,简记作 an 其中 an 是该数列的第n 项,列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4数列的一般性质：单调性；周期性5 数列的分类 ：按项的数量分：有穷数列、 无穷数列；、常数列、摇摆数列、其他；按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范畴分：有界数列、无界数列 6 数列的通项公式：假如数列 an 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式 a n =f（n）（nN+或其有限子集 1 ,2,3, , n ） 来表示,那么这个公式叫做这个数列的 通项公式数列的项是指数列中一个确定的数,是函数值,而序号是指数列中项的位置,是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图,点的横坐标是项的序号值,纵坐标是各项的值不是全部的数列都有通项公式,数列的通项公式在形式上未必唯独 7 数列的递推公式：假如已知数列 an 的第一项（或前几项） ,且任一项 an与它的前一项 an-1（或前几项 an- 1,an-2, ）间关系可以用一个公式 an=f（a n 1）（n=2,3, ） （或 an=f（a n 1 , a n 2） n=3,4,5, , ）来表示,那么这个公式叫做这个数列的 递推公式n8数列的求和公式：设 Sn 表示数列 an 和前 n 项和,即 Sn= a=a1+a2+ +an,假如 Sn 与项数 n 之间的函数i 1关系可以用一个公式 Sn= f （n）（n=1,2,3, ）来表示,那么这个公式叫做这个数列的 求和公式9 通项公式与求和公式的关系：S n 1通项公式 an与求和公式 Sn的关系可表示为：a nS n S n 1 n 2等差数列与等比数列：文等差数列等比数列一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与字它的前一项的差是同一个常数,那么这个数列它的前一项的比是同一个常数,那么这个数列定就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差；就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比；义符an1a ndann1q q0号a定义名师归纳总结 分递增数列：d0递增数列：a 10,q1 或a 10 0q1第 1 页,共 10 页递减数列：d0类常数数列：d0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a 10,q1 或a 10 0q1递减数列：名师归纳总结 通ana 1n1 dpnqamnm d摇摆数列：q0常数数列：q1a na qn1a qn m（q0）项其中pd qa 1d前S nn a 12a nna 1n n21 dpn2qnS na 11qn q1n1q项其中pd,qa 1dna 1q1和22中a b c 成等差的充要条件:2baca b c成等比的必要不充分条件：b2ac项主等和性： 等差数列a n等积性： 等比数列a n如 mnpq 就amanapaq如 mnpq 就ama napaq推论：如mn2p 就aman2ap推论：如mn2p 就a ma nap2要性a n ka n k2a nan ka n ka n2质其a 1ana2an1a3an2a 1ana2an1a 3an2即：首尾颠倒相加,就和相等即：首尾颠倒相乘,就积相等1、等比数列中连续项的和,组成的新数列是1、等差数列中连续m 项的和,组成的新数列等比数列； 即：s m,s 2ms m,s 3ms 2m,等比,是等差数列；即：s m,s 2ms m,s 3ms 2m,等差,公差为公比为qm；它2 m d 就有s 3m3s 2ms m 2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列；2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是如：a a a7,a 10,（下标成等差数列）一个等差数列；如：a a a7,a 10,（下标成等差数列）3、a n,b n等比,就a 2n,a 2n1,ka n3 、a n,b n等 差 , 就a 2n,a 2n1,也等比；其中k04、等比数列的通项公式类似于n 的指数函数,ka nb ,pa nqb n也等差；即：ann cq ,其中ca 14、等差数列a n的通项公式是n 的一次函数,q即：andnc d0 等比数列的前n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数,即：nscqnc q1第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 等差数列a n学习必备欢迎下载的前 n 项和公式是一个没有常5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列；数项的 n 的二次函数,性即：S nAn2Bn d0 5、项数为奇数 2 n1 的等差数列有：s 奇nn1s 奇s 偶ana 中s 偶s 2n12n1 an项数为偶数 2n 的等差数列有：质证 明 方 法设 元 技 巧联 系数列的项s 奇a n1, s 偶s 奇nds 偶a ns 2nn anan16、anm amn 就am n0s ns m就s m n0nm s nm s mn 就s m nmn证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：an1and 常数1、定义法：an1q 常数a n2、中项法：an1an12ann22、中项法：an1an1（2 a n）n2,an0三数等差：ad a ad三数等比：a a aq q或a aq aq2四数等差：a3 , d ad ad a3d四数等比：a aq aq2,aq31、如数列a n是等差数列, 就数列Ca n是等比数列, 公比为Cd,其中 C 是常数, d 是a n的公差；2、如数列a n是等比数列,且an0,就数列log aa n是等差数列,公差为log a q ,其中 a是常数且a0,a1, q是a n的公比；a 与前 n 项和S 的关系：a ns 1s n1n1s nn2数列求和的常用方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、拆项分组法：即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和；2、错项相减法：适用于差比数列（假如 a n 等差,b n 等比,那么 a b n n 叫做差比数列）即把每一项都乘以 b n 的公比 q ,向后错一项, 再对应同次项相减, 转化为等比数列求和；3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和；适用于数列11和1an1a n1（其中a n等差）1a na na n可裂项为：11 da1,111 da na nan1a na na nn1等差数列前 n 项和的最值问题：1、如等差数列a n的首项a 10,公差d0,就前 n 项和S 有最大值；（）如已知通项a na ,就S 最大a n10；a n0q的非零自然数时S 最大；（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近2p,就前 n 项和S 有最小值2、如等差数列的首项a 10,公差d0（）如已知通项；a ,就S 最小a n10a n0（）如已知S npn2qn ,就当 n 取最靠近q的非零自然数时S 最小；2p数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式；名师归纳总结 已知S （即a 1a 2anf n ）求a , 用作差法 ：a nS 1S n,n S n1 1 ,n2；第 4 页,共 10 页已知a a2anf n 求a ,用作商法：anf1, nf n 12；,nf n1已知条件中既有S 仍有a ,有时先求S ,再求a ；有时也可直接求a ；如a n1a nf n 求a 用累加法 ：a na nan1a n1an2a 2a 1a n2；已知an1f n 求a ,用累乘法 ：a na n1an1a2a 1n2；ananan2a 1已知递推关系求a ,用构造法 （构造等差、等比数列）；特殊地 ,（1）形如ankan1b 、anka n1n b （k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 化为公比为 k 的等比数列 后,再求学习必备kan欢迎下载的递推数列都可以除以n k 得到一个等差数a ；形如an1kn列后,再求a ；an1an1b的递推数列都可以用倒数法求通项；（2）形如ka n（3）形如an1a nk的递推数列都可以用对数法求通项；（7）（理科） 数学归纳法 ；（8）当遇到an1an1d或a n1q时, 分奇数项偶数项争论,结果可能是分段a n1一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观看法；（2）由递推公式求通项；对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题；1 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d,q 为常数）例 1、已知 a n 满意 an+1=an+2,而且 a1=1；求 an；例 1、解an+1-a n=2 为常数a n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知 a n 满意 a n 1 1 a ,而 a 1 2,求 a =？2（2）递推式为 an+1=an+f （n）例 3、已知 an中a 11,an1an24 n11,求a .121 122解： 由已知可知an1an2n1n1 1 211 2 nn令 n=1, 2, ,（n-1 ）,代入得（ n-1 ）个等式累加,即（a2-a 1）+（a3-a 2）+ +（an-a n-1）ana 11 12114n3an+1=an+f （n）以 n=1,2, ,2n4n2说明只要和 f （1）+f （2）+ +f （n-1 ）是可求的,就可以由（n-1 ）代入,可得n-1 个等式累加而求an；3 递推式为 an+1=pan+q（p,q 为常数）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4、 an中,a 11,对于 n1（n N）有学习必备3a n1欢迎下载a . a n2,求解法一：由已知递推式得an+1=3an+2,an=3an-1+2；两式相减： an+1-a n=3（an-a n-1）因此数列 an+1-an 是公比为 3 的等比数列,其首项为a2-a1=（3× 1+2）-1=4 n-1an+1-a n=4· 3an+1=3an+2 3an+2-a n=4·3n-1 即 a n=2·3 n-1-1 解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列, 于是有：a2-a 1=4,a3-a 2=4· 3,a4-a 3=4· 3 2, ,an-a n-1=4· 3 n-2,把 n-1 个等式累加得：an=2· 3n-1-1 4 递推式为 an+1=p a n+q n （p,q 为常数）bn1bn2b nbn1由上题的解法,得：bn32 2nanb n31n2 1n332n23 5 递推式为an2pan1qan思路：设a n2pan1qa , 可以变形为：an2an1a n1a n,想于是 an+1- an 是公比为 的等比数列,就转化为前面的类型；求 a ；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6 递推式为 Sn与 an 的关系式关系；（2）试用 n 表示 an；上式两边同乘以S n1S na nan11 n 2 21 a n2112 1na n 1 a n a n 1 1n 1a n 122 n+1得 2 n+1an+1=2 nan+2 就2 nan 是公差为 2 的等差数列；n 22 nan= 2+ （n-1 ）·2=2n 2数列求和问题的方法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前13 5 2n-1=n2n 项和公式求和,另外记住以下公式对求和来说是有益的；【例 8】 求数列 1,（3+5）,（7+9+10）,（ 13+15+17+19）, 前 n 项的和；名师归纳总结 解此题实际是求各奇数的和,在数列的前n 项中,共有1+2+ +n=1n n1个奇数,第 7 页,共 10 页2最终一个奇数为：1+1 nn+1-1 2× 2=n 2+n-1 因此所求数列的前n 项的和为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和；2）【例 9】求和 S=1· （n2-1 ）+ 2 · （n 2-22）+3· （n2-32） + +n（n 2-n解 S=n2（1+2+3+ +n）- （ 1 3+23+3 3+ +n 3）（3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列,实行把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和；例 10、求和：S n3 C1 n6C2 n6C23nCn n3nCn例 10、解S n0C03 C1nnnn Sn=3n· 2n-1 （4）、错位相减法假如一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的,可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比,然后错位相减求和n-1 前 n 项的和例 11、求数列 1,3x,5x2, ,2n-1x解设 Sn=1+3+5x2+ +2n-1xn-12x=0时, Sn=13 当 x 0 且 x 1 时,在式两边同乘以x 得 xSn=x+3x2+5x3+ +2n-1xn, -,得 1-xSn=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1-2n-1xn5 裂项法：把通项公式整理成两项 式多项 差的形式,然后前后相消；常见裂项方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12、求和1112n学习必备欢迎下载11 53 75 912n3注：在消项时肯定留意消去了哪些项,仍剩下哪些项,一般地剩下的正项与负项一样多；在把握常见题型的解法的同时,也要留意数学思想在解决数列问题时的应用；二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决；【例 13】等差数列 an的首项 a10,前 n 项的和为 Sn,如 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时 Sn 最大？此函数以 n 为自变量的二次函数；a10 Sl=Sk（l k）, d0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】设等比数列 an 前 n 项和为 Sn,如 S3+S6=2S9,求数列的公比 q；分析 此题考查等比数列的基础学问及推理才能；解依题意可知 q 1；假如 q=1,就 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1；由此应推出 q 1 a1=0 与等比数列不符；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 学习必备欢迎下载 q 0 此题仍可以作如下摸索：S6=S3+q 3S3=（1+q 3）S3 ；S9=S3+q 3S6=S3（1+q 3+q 6）,由 S3+S6=2S9 可得 2+q 3=2（1+q 3+q 6）, 2q 6+q 3=03换元思想【例 15】已知 a,b,c 是不为 1 的正数, x,y,zR+,且求证： a,b, c 顺次成等比数列；证明 依题意令 a x=b y=c z=k x=1ogak,y=log bk,z=log ck b 2=ac a,b, c 成等比数列（ a,b,c 均不为 0）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页