2022年数学分析教案第十三章函数列与函数项级数.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第十三章函数列与函数项级数教学目的： 1.使同学懂得怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来争论被它表示的函数的性质；教学重点难点： 本章的重点是函数列一样收敛的概念、概念、判别及应用；教学时数 ：20 学时§ 1 一样收敛性性质；难点是一样收敛的一函数列及极限函数： 对定义在区间 I 上的函数列,介绍概念：收敛点,收敛域（留意定义域与收敛域的区分）,极限函数等概念 .逐点收敛 或称为“ 点态收敛” 的“” 定义. 例 1 对定义在 内的等比函数列 , 用“” 定义验证其收敛域为 , 且例 2 .用“” 定义验证在 内 . 例 3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 学习必备欢迎下载. . . 设为区间上的全体有理数所成数列. 令. , . , .有, , . （ 留意.）二. 函数列的一样收敛性 : 问题: 如在数集 D 上 , . 试问 : 通项 的解析性质是否必遗传给极限函数 . 答案是否定的 . 上述例 1、例 3说明连续性未能遗传 ,而例 3说明可积性未能遗传 . 例 3说明虽然可积性得到遗传 , 但. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特殊是表达非初等函数的一种手段 . 对这种函数 , 就是其表达式 .于是 ,由通项函数的解析性质争论极限函数的解析性质就显得非常重要. 那末 , 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢 . 一个充分条件就是所谓“ 一样收敛” . 一样收敛是把逐点收敛加强为所谓“ 整体收敛” 的结果. 定义 一样收敛 一样收敛的几何意义 . 即Th1 一样收敛的 Cauchy 准就 函数列在数集 D 上一样收敛 , . 介绍另一种形式. 证 利用式易见逐点收敛 . 设, ,有. 令, 对D 成立, , ,D. 推论 1 在 D 上, ,推论 2 设在数集 D 上, . 如存在数列D , 名师归纳总结 使, 就函数列在数集 D 上非一样收敛 . 为函数第 3 页,共 17 页应用系 2 判定函数列在数集 D 上非一样收敛时 , 常选- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在数集 D 上的最值点 . 验证函数一样收敛性 :例 4. 证明函数列在 R 内一样收敛 . 例 5. 证明在 R 内, 但不一样收敛 . 证明显有,在点处取得极大值,. 由系 2 , 不一样收敛 . 例 6. 证明在内, . 证易见而在内成立 . 由系 1 , 证明 : 例 7 对定义在区间上的函数列P3839 例 3, 参图 13-4. , 但在上不一样收敛 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证时, 只要学习必备欢迎下载. 因此 , 在上有, 就有因此 , 该函数列在. , .于是, 在上有. 但由于, , 上不一样收敛 . 例 8 . 考查函数列在以下区间上的一样收敛性 : ; . 三. 函数项级数及其一样收敛性 : 1 函数项级数及其和函数： , 前 项部分和函数列,收敛点,收敛域 , 和函数 , 余项. 例 9 定义在 内的函数项级数 称为几何级数 的部分和函数列为 , 收敛域为 . 2.一样收敛性 : 定义一样收敛性 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - Th2 学习必备欢迎下载 Cauchy 准就 级数在区间 D 上一样收敛 , , 对D 成立. 推论级数在区间 D 上一样收敛 , , . Th3 级数在区间 D 上一样收敛 , . 例 10 证明级数在 R 内一样收敛 . 证令=, 就时对 R 成立. 例 11几何级数在区间上一样收敛；但在内非一样收敛 . 证在区间上 , 有, . 一样收敛; 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 而在区间学习必备欢迎下载, 有内 , 取, . 非一样收敛 . 亦可由通项在区间内非一样收敛于零 ,非一样收敛 . 几何级数虽然在区间内非一样收敛, 但在包含于内的任何闭区间上却一样收敛 . 我们称这种情形为“ 闭一样收敛” . 因此 , 我们说几何级数 在区间 内闭一样收敛 . 四. 函数项级数一样收敛判别法 : 1.M - 判别法 : D 有|定义在区间 D 上, 是Th 4 Weierstrass 判别法 设级数收敛的正项级数 .如当充分大时 , 对, 就在 D 上一样收敛 . 证 然后用 Cauchy 准就 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 亦称此判别法为优级数判别法学习必备欢迎下载是级. 称满意该定理条件的正项级数数 的一个 优级数 . 于是 Th 4 可以表达为 : 如级数 在区间 D 上存在优级数 , 就级数 在区间 D 上一样收敛 . 应用时 , 常可试取.但应留意 , 级数 在区间 D 上不存在优级数 , 级数 在区间 D 上非一样收敛 . 留意区分用这种掌握方法判别函数列和函数项级数一样收敛性的区分所在. 例 12判定函数项级数和在 R 内的一样收敛性 . 例 13 设是区间上的单调函数 . 试证明 : 如级数与都肯定收敛 , 就级数在区间上肯定并一样收敛 . 名师归纳总结 简证 , 留为作业 . . . 对每个, 数列第 8 页,共 17 页2. Abel 判别法 : 在区间上收敛 ; > Th 5 设 > 级数单调 ; > 函数列在上一样有界 , 即在区间, 使对和, 有就级数上一样收敛 . 1P43 2.Dirichlet 判别法 : - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Th 6 设> 级数学习必备欢迎下载在区间上一样的部分和函数列有界 ;> 对于每一个, 数列单调 ; > 在区间上函数列一样收敛于零 . 就级数在区间上一样收敛 . 例 14判定函数项级数在区间上的一样收敛性 . 解记. 就有 > 级数收敛; > 对每个, ；> 对和成立 . 由 Abel 判别法 , 在区间上一样收敛 . 区间例 15设数列单调收敛于零 . 试证明 : 级数在上一样收敛 . 证在上有. 可见级数的部分和函数列在区间上一样有界 . 取名师归纳总结 , . 就有级数的部分和函数列在区间第 9 页,共 17 页上一样有界 , 而函数列对每一个单调且一- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载在区间上一样收致收敛于零 .由 Dirichlet 判别法 ,级数敛. 其实 , 在数列单调收敛于零的条件下 , 级数且在不包含例 1设的任何区间上都一样收敛. ,习题课, . . 如对每个自然数有|对成立 , 就函数列在上一样收敛于函数. 上非一样收敛 . 例 2证明函数列在区间例 3, . 争论函数列 的一样收敛性 . 解0, . | 0|. 可求得. 函数列 在区间上非一样收敛 . 例 4设函数在区间上连续 . 定义. 试名师归纳总结 证明函数列 在区间上一样收敛于零 . 第 10 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证法一由学习必备欢迎下载上|有界 . 设在区间. |; ; | 留意到对|, . . 0, , . 证法二. 在点有界 . 设在区间上|. 把函数绽开成具 Lagrange 型余项的阶 Taylor 公式 , 留意到, 就有 , 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载, , . 所以 , 0, , . 例 5设, . 且, ,. 令. . 试证明 : 如对和, 有, 就函数列在区间上一样收敛 . 时, 有. 于是对任何自然数证对取, 使和, 有. 名师归纳总结 由 Cauchy 收敛准就, 函数列 在区间上一样收敛 . . 第 12 页,共 17 页例 6 设在数集上函数列 一样收敛于函数. 如每个在数集上有界 , 就函数列 在数集上一样有界 . 证 先证函数在数集上有界 设在上有|对,由函数列 在数集上一样收敛 ,当时 , 对,有|, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |< 学习必备欢迎下载. 即函数在数集上有界. 次证函数列 在数集 上一样有界 时, 对 ,有| | | |< , | | . 取 易见对 和 有| | . 即函数列 在数集 上一样有界 . 例 7 设 为定义在区间 上的函数列 , 且对每个 , 函数在点 右连续 , 但数列 发散 . 试证明 : 对 , 函数列 在区间 内都不一样收敛 . 证 反设 , 使 在区间 内一样收敛 . 就对, 有名师归纳总结 列,即对成立 . 为 Cauchy第 13 页,共 17 页.收敛 . 与已知条件冲突 . 一. § 2 一样收敛函数列和函数项级数的性质一样收敛函数列极限函数的解析性质: 1.连续性 : - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Th 1 设在上学习必备欢迎下载在上连续 , ,且对,函数在上连续 . 时, , 在点连续 . 即证 : 对, 证 要证 : 对, 当|. . 估量上式右端三项 . 由一样收敛, 第一、三两项可以任意小 ; 而由函数有在点连续, 其次项也可以任意小 . 在推论 设在上. 如在上间断 ,就函数列 上一样收敛和全部在上连续不能同时成立 . 註Th1 说明 : 对于各项都连续且一样收敛的函数列, . 即极限次序可换 . 名师归纳总结 2. 可积性 : 上函数列 一样收敛, 且每个在第 14 页,共 17 页Th 2如在区间上连续 . 就有. 上连证设在上, 由 Th1 , 函数在区间续,因此可积 . 我们要证. 留意到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载在上成, 可见只要立. 在Th2 的条件可减弱为 : 用条件“在上 R 可积” 代替条件“上连续” .关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是 : Th 设是定义在区间在上的函数列 . 如在上收敛且一样可积, 就其极限函数上 R可积 , 且有. 3. 可微性 : 对Th 3 设函数列 定义在区间上, 在某个点收敛 . , 在上连续可导 , 且由导函数构成的函数列 在上一样收敛 , 就函数列 在区间上收敛 , 且有. 对证设,+ . , . , 留意到函数连续和+, 就有（ 对其次项交换极限与积分次序）名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - + 学习必备欢迎下载. +估量 |+| + |,可证得. 即. 亦即求导运算与极限运算次序可换.例 1 P38 例 1 说明定理的条件是充分的 , 但不必要 . 例 2 P39 例 2 说明定理的条件是充分的 , 但不必要 . Ex P42 9,11 P43 4 . 二. 一样收敛函数项级数和函数的解析性质 : 把上述 Th13 表为函数项级数的语言, 即得关于和函数解析性质的相应结果 . 例 3 P40 例 3 例 4 证明函数 在区间 内连续 . 证 先证在区间内闭一样收敛 .对,有,；又,在一样收敛 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 次证对, 学习必备欢迎下载, 由上在点连续 对段争论 , 在区间上一样收敛 ; 又函数连续 , 在区间上连续 , 在点连续 . 由点的任意性 , 在区间内连续 . , . 运算积分. 例 5名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页