2022年求二次函数的解析式及二次函数的应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求二次函数的解析式及二次函数的应用 2022.6.8 一、求二次函数的解析式：最常用的方法是 待定系数法 ,依据题目的特点,挑选恰当的形式,一般,有如下几种情形：（1）已知抛物线上三点的坐标,一般选用 一般式 ；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用 顶点式 ；（3）已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用 两点式 ；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用 顶点式 ；二、 二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：懂得题意；建立数学模型；解决题目提出的问题；（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解；求最值时,要留意求得答案要符合实际问题；三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax 2+bx+ca 0,a 、b 、c 为常数 ,顶点坐标为 , 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出 a、b 、c 的值；2、顶点式 ：y=ax-h 2+ka 0,a 、h 、k 为常数 ,顶点坐标为对称轴为直线 x=h ,顶点的位置特点和图像的开口方向与函数 y=ax2的图像相同,当 x=h 时, y 最值 =k ；有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；例：已知二次函数 y 的顶点 1,2 和另一任意点 3,10 ,求 y 的解析式；解：设 y=ax-1 2+2 ,把 3,10 代入上式,解得 y=2x-1 2+2 ；留意 ：与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0 时, h 越大,图像的对称轴离 y 轴越远,且在 x 轴正方向上,不能因 h 前是负号就简洁地认为是向左平移；详细可分为下面几种情形：名师归纳总结 当 h>0 时, y=ax-h2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到；第 1 页,共 12 页当 h<0 时, y=ax-h2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动 |h| 个单位得到；当 h>0 ,k>0 时,将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位,再向上移动k 个单位,就可以得到 y=ax-h2+k 的图象；当 h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位,再向下移动|k| 个单位可得到y=ax-h2+k 的图象；当 h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动 |h| 个单位,再向上移动k 个单位可得到y=ax-h2+k 的图象；当 h<0 ,k<0 时,将抛物线y=ax2向左平行移动 |h| 个单位,再向下移动|k| 个单位可得到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y=ax-h2+k 的图象；学习必备欢迎下载3、交点式 ：y=ax-x 1x-x 2 a 0 仅限于与 x 轴即 y=0 有交点时的抛物线,即 b2-4ac 0 . 已知抛物线与 x 轴即 y=0 有交点 A（x 1,0）和 B（ x2,0）,我们可设 y=ax-x 1x-x 2,然后把第三点代入 x、 y 中便可求出 a；由一般式变为交点式的步骤：二次函数x1+x 2=b, x1*x 2=c 由韦达定理得 , aay=ax2+bx+c b c=ax2+ x+ a a=ax 2-x 1+x 2x+x 1*x 2 =ax-x 1x-x 2. 重要概念 ：a, b,c 为常数, a 0,且 a 打算函数的开口方向；a<0 时,开口方向向下；a>0 时,开口方向向上；a 的肯定值可以打算开口大小；a 的肯定值越大开口就越小,a 的肯定值越小开口就越大；能敏捷运用这三种方式求二次函数的解析式；能娴熟地运用二次函数在几何领域中的应用；四、 二次函数说明式的求法：就一般式 y=ax2 bx c（其中 a,b ,c 为常数,且a 0）而言,其中含有三个待定的系数 a ,b ,c求二次函数的一般式时,必需要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的 次函数解析式；1.巧取交点式法 ：a , b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二学问归纳 ：二次函数 交点式 ：yax x 1x x2 （a 0 ）x 1,x 2分别是抛物线与 x 轴两个交点的横坐标；已知抛物线与 x 轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便； 典型例题一： 告知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,和第三个点, 可求出函数的交点式；例：已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为-2 和 1 ,且通过点（ 2, 8）,求二次函数的解析式；点拨 ：解：设函数的解析式为 yax x 1x x2,已知抛物线与 x 轴交点的横坐标为-2 和1 , y ax+2x-1,过点（ 2 ,8 ）,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8a2+22-1；学习必备欢迎下载解得 a=2 ,抛物线的解析式为：y2x+2x-1,即 y2x2+2x-4 ； 典型例题二 ：告知抛物线与 求解；x 轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性例：已知二次函数的顶点坐标为（3 ,-2 ）,并且图象与x 轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式；点拨 ：在已知抛物线与 x 轴两交点的距离和顶点坐标的情形下,问题比较简洁解决由顶点坐标为（3,-2 ）的条件,易知其对称轴为 x3 ,再利用抛物线的对称性,可知图象与 x 轴两交点的 坐标分别为（ 1,0）和（ 5,0 ）；此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式；2. 巧用顶点式：顶点式 y=ax h2+k （a 0 ）,其中（ h, k）是抛物线的顶点；当已知抛物线顶点坐标或对称轴, 或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题特别简洁,由于其中只有一个未知数a；在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题；在应用题中,涉及到桥拱、隧 道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式便利 典型例题一 ：告知顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式；例：已知抛物线的顶点坐标为（点拨 ：解顶点坐标为（-1 ,-2 ）,-1 ,-2 ）,且通过点（ 1, 10 ）,求此二次函数的解析式；故设二次函数解析式为 y=ax+1 2-2 （a 0）；把点（ 1 ,10 ）代入上式,得 10=a ·1+1 2-2 ；a=3 ；二次函数的解析式为 y=3x+1 2 -2 ,即 y=3x 2 +6x+1 ； 典型例题二 ：告知最大值或最小值,实际上也是告知了顶点坐标,同样也可以求出顶点式；假如 a>0 ,那么当 时, y 有最小值且 y 最小=；假如 a<0 ,那么,当 时, y 有最大值,且 y 最大 =；例：已知二次函数当 x4时有最小值 3,且它的图象与 x 轴两交点间的距离为 6 ,求这个二次函数的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点拨：析解 二次函数当x4时有最小值 3,顶点坐标为（4,-3 ）,对称轴为直线x4,抛物线开口向上；由于图象与x 轴两交点间的距离为6,依据图象的对称性就可以得到图象与x 轴两交点的坐标是（ 1,0）和（ 7,0 ）；抛物线的顶点为（4,-3 ）且过点（ 1, 0）；故可设函数解析式为 yax 42 3；将（ 1,0）代入得 0a1 423, 解得 a13 y 13x 42-3 ,即 y13x283x 73 ； 典型例题三 ：告知对称轴,相当于告知了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出；例如 ：已知二次函数的图象经过点A（3,-2 ）和 B（1,0）,且对称轴是直线x 3求这个二次函数的解析式 . 已知关于 x 的二次函数图象的对称轴是直线 x=1 ,图象交 y 轴于点（ 0 ,2 ）,且过点（ -1 ,0）,求这个二次函数的解析式 . 已知抛物线的对称轴为直线 x=2 ,且通过点（ 1 ,4）和点（ 5,0）,求此抛物线的解析式 . 二次函数的图象的对称轴 x=-4 ,且过原点,它的顶点到 x 轴的距离为 4,求此函数的解析式 典型例题四 ：利用函数的顶点式,解图像的平移等问题特别便利；例：把抛物线 y=ax2+bx+c 的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2 个单位 , 所得图像的解析式是 y=x 2-3x+5, 就函数的解析式为 _；点拨 ：解： 先将 y=x2-3x+5 化为 y=x-3 2+5-9 , 即 y=x-3 2+ 11；2 4 2 4它是由抛物线 y=ax2+bx+c 的图像向右平移 3 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的,原抛物线的解析式是 y=x-3+32+ 11+2=x+ 32+ 19=x2+3x+7 ；2 4 2 4作业典型题 2022.6.8 1、如图,在一块三角形区域 ABC中, C=90° ,边 AC=8,BC=6,现要在 ABC 内建造一个矩形水池 DEFG,如图的设计方案是使 DE在 AB上（1）求 ABC中 AB边上的高 h；（2）设 DG=x,当 x 取何值时,水池 DEFG的面积最大？（3）实际施工时,发觉在 AB上距 B 点 1.85 的 M处有一棵大树,问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？假如在,为爱护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水池能躲开大树名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分 析 ：（1）由三角形 ABC的面积可求出 AB边上的高；（2）由相像三角形对应高的比等于相像比,可用含 x 的代数式表示 GF,得到水池的面积 y 关于 x 的二次函数,由二次函数的性质,可求面积最大时 x 的值；（3）依据相像形可算出 BE 小于 1.85 ,大树在最大水池的边上,为了躲开,以 C 为点在三边上各去一点矩形二边与三角形二直角边重合答：解：如图, （1）过点 C作 CIAB,交 GF于 H,在 ABC中用勾股定理得：AB=10,S ABC= 1 AC.BC= 1 AB.CI,2 21 × 6× 8= 1 × 10× CI,2 2CI=4.8 ； ABC中 AB边上的高 h=4.8 （2）水池是矩形,GF AB, CGF CAB,CH, CI 分别是 CGF和 CAB对应边上的高,CH / CI =GF / AB ,4 . 8 x GF =,4 8. 10GF=10-25x,1210- 25x 0,120 x24,5设水池的面积为 y,就y=x（ 10- 25x ）=-25 x 2+10x,12 12当 x=-10 =2.4 时,水池的面积最大；25212（3）FEAB,CIAB,FE CI, BFE BCI,FE： CI=BE：BI,又FE=2.4, CI=4.8 ,名师归纳总结 在 Rt BCI 中用勾股定理可得BI=3.6 ,第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BE= FE * BI =CIBE=1.8 1.85 ,2.4.3 .6=1.8 ,学习必备欢迎下载48这棵大树在最大水池的边上为了爱护这棵大树,设计方案如图：2、如图,二次函数 y=-mx 2+4m的顶点坐标为（ 0,2）,矩形 ABCD的顶点 BC在 x 轴上, A、D 在抛物线上,矩形 ABCD在抛物线与 x 轴所围成的图形内（1）求二次函数的解析式；（2）设点 A 的坐标为（ x, y）,试求矩形ABCD的周长 P 关于自变量x 的函数解析式,并求出自变量 x 的取值范畴；（3）是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9？试证明你的结论（4）求出当 x 为何值时 P有最大值？分析：（1）由顶点坐标（0,2）可直接代入y=-mx2+4m ,求得 m=1 / 2 ,即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形 ABCD 为矩形可知 AD x 轴,长为 2x 的据对值, AB 的长为 A 点的 总坐标,由 x 与 y 的关系,可求得 p 关于自变量 x 的解析式,由于矩形 ABCD 在抛物线里面,所以 x 小于 0,大于抛物线与 x 负半轴的交点；（3）由（ 2）得到的 p 关于 x 的解析式,可令 p=9,求 x 的方程,看 x 是否有解,有解就 存在,无解就不存在,明显不存在这样的 p（4）此题就是将 p 关于 x 的解析式看成抛物线的解析式,求其顶点即可解答：解：（1）二次函数y=-mx2+4m的顶点坐标为（0,2）,4m=2,即 m=1 / 2 ,x,y）,四边形ABCD为矩形, BC在 x 轴上,抛物线的解析式为：y=-1 x 22+2；（2）A 点在 x 轴的负方向上坐标为（AD x 轴,又由抛物线关于 y 轴对称,所以 D、C点关于 y 轴分别与 A、B 对称A 在 x 轴的负半轴上,x 0,所以 AD的长为 -2x ,AB长为 y,所以周长 p=2y+（-4x ） =2（-1 x 22+2）-4x=- （x+2）2+8四边形 ABCD为矩形,y 0,即 x-2 所以 p=- （x+2）2+8,其中 -2 x0（3）不存在,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：假设存在这样的p,即：学习必备欢迎下载9=- （ x+2）2+8,解此方程得： x 无解,所以不存在这样的p（4）由 p=- （x+2）2+8,且 -2 x 0故 p 没有最大值3、如图,一次函数y=-4x-4的图象与 x 轴、y 轴分别交于A、C两点,抛物线y=4 x2+bx+c 的 3图象经过 A、C两点,且与x 轴交于点 B；（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；（3）作直线 MN平行于 x 轴,分别交线段AC、BC于点 M、N,问在 x 轴上是否存在点 P,使得 PMN是等腰直角三角形？假如存在,求出全部满意条 件 的 P 点 的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 , 请 说 明 理 由 ；解：（1）对于一次函数 y=-4x-4,令 x=0 ,得 y=-4 ,故点 C 的坐标为（ 0,-4 ）,令 y=0 ,得 x=-1 ,故点 A 的坐标为（ -1 ,0 ）,把 A、C 两点坐标代入y=x2+bx+c得解得名师归纳总结 y=4x2-8x-4 ；第 7 页,共 12 页33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）顶点为 D（1,-16 ）,3A、B 两点关于对称轴 x=1 对称,点 B 的坐标为（ 3 ,0）,设直线 DC 交 x 轴于点 E,如图 1,由 D（1,-16 ）C （0, -4 ）,3图1 易求直线CD 的解析式为y=-4x-4 易求 E（-3 ,0）,3S四边形ABDC =SEDB-SECA=12 ；（3）存在,MN x 轴, CMN CAB ,（a）当 MP=MN或 NP=MN时,设MN=a ,如图2 即,a=2 , 当 PMN=90° 时,MP OC, AMP ACO 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,学习必备欢迎下载即,OP=0.5 ,P1的坐标为（ -0.5 ,0）, 当 PNM=90° 时,NP OC , BNP BCO ,即,OP=1.5 ,P2的坐标为（ 1.5,0）（b）当 MPN=90° , PM=PN时,如图 3,过点 P 作 PQ MN ,垂足为 Q ,就 PQ=QM=QN,设 PQ=d ,就 QM=QN=d,MN=2d 就=（已证）即d=,过点 N 作 NG x 轴,垂足为 G,就 PQ=GN=QN=PG=NG OC , BNG BCO ,即,BG=1 ,名师归纳总结 OP=OB-BG-PG=3-1-,第 9 页,共 12 页P3的坐标为（, 0）,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上（ a）、（b ）,存在满意条件的点学习必备欢迎下载P1（ -0.5 ,0）、P2（ 1.5,0）、P3（,0 ）；P 有3个,坐标分别是4、某宾馆客房部有60个房间供游客居住, 当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满 当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间闲暇对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出 20元的各种费用设每个房间每天的定价增加 x 元求：（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费 z（元）关于 x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时, w有最大值？最大值是多少？解：（ 1）由题意得：y=60-x 1015210（2） z=（200+x）（ 60-x ）=-101 x 102+40x+12000（3 分）（3） w=（200+x）（ 60-x ）-20 × （ 60-10x ）（2 分）10=-1 x 102+42x+10800 =-1 （x-210 ）2+15210 10当 x=210 时, w有最大值此时,x+200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410 元时,w有最大值, 且最大值是元5、枇杷是莆田名果之一,某果园有100 棵枇杷树每棵平均产量为40 千克,现预备多种一些枇杷树以提高产量,但是假如多种树,那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会削减,依据实践体会, 每多种一棵树, 投产后果园中全部的枇杷树平均每棵就会削减产量 0.25千克,问：增种多少棵枇杷树,投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线 的顶点坐标是解：设增种 x 棵树,果园的总产量为 y 千克,依题意得： y=（100 + x ）40 - 0.25x 名师归纳总结 =4000 - 25x + 40 x - 0.25x2第 10 页,共 12 页= - 0.25 x2 + 15x + 4000 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 a= - 0.25<0,学习必备欢迎下载所以当,y 有最大值答:最多总产量是 4225 千克5、经调查讨论,某工厂生产的一种产品的总利润 y（元）与销售价格 x（元 / 件）的关系式为y=-4x2+1360x-93200 ,其中 100x 245 （1）销售价格 x 是为多少元时,可以使总利润达到 22400 元？（2）总利润可不行能达到 22500 元？解：（ 1）由题意,把 y=22400 代入 y=-4x2+1360x-93200 ,方程为写成： x2-340x+28900=0 ,解得 x 1=x2 =170；（2）把 y=22500 代入 y=-4x2+1360x-93200 得,x2-340x+28925=0 ,a=1, b=-340 ,c=28925,b2-4ac= （-340 ）2-4× 1× 28925= -100 0,方程没有实数根故总利润可不行能达到22500 元2400 元售出,平均每天能售出8 台,为了协作国家6、某电器商场将进价为2000 元的彩电以“ 家电下乡” 政策的实施,商场打算实行适当的降价措施调查说明：这种彩电的售价每降低 50 元,平均每天可多售出4 台y 元,请写出y 与 x 之间的函（1）假设每台彩电降价x 元,商场每天销售这种彩电的利润是数表达式；（不要求写自变量的取值范畴）（2）每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？解：（ 1）依据题意,得y=2400-2000-x8+4×x ,即 y=-502 x 252+24x+3200；5000 元（ 2）对于 y=-2 x 252+24x+3200,当 x=-=15224）150时,（2 25y 最大值=2400-2000-1508+4×150 =250 × 20=5000；50所以,每台彩电降价 150 元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是7、某批发市场批发甲、乙两种水果,依据以往体会和市场行情,估计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润 y甲（万元）与进货量 x（吨）近似满意函数关系售利润 y 乙（万元）与进货量 x（吨）近似满意函数关系：y 乙=-0.1x进货量 x 为 1 吨时,销售利润 y乙为 1.4 万元y 甲=0.3x ；乙种水果的销 2+bx（其中 b 为常数）,且（1）如求 y 乙（万元）与 x（吨）之间的函数关系式并运算说明：乙种水果进货多少的时候 销售利润 y 乙（万元）才能最大？最大利润是多少？（2）甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润y乙（万元）,需要进货多少吨？（3）假如该批发市场预备进甲、乙两种水果共10 吨,请你通过运算说明如何进货（这两种名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载水果各进多少吨）才能获得销售利润之和最大,最大利润是多少？解：（1）由题意得：进货量x 为 1 吨时,销售利润y 乙为 1.4 万元,-1+b=1.4 ,解得： b=2.4 ,2-24x ）=-0.1 （x-12 ）2+14.4 ；y乙（万元）,y乙=-0.1x2+2.4x=-0.1（x（2）当甲种水果的销售利润y甲（万元）要达到乙种水果最大的销售利润就 0.3x=14.4 ,解得： x=28,答：需要进货28 吨；2+2.4x ）,（3） W=y甲+y乙=0.3 （10-x ）+（-0.1xW=-0.1x2+2.1x+3 ,W=-0.1（t-10.5）2+6.6 t=6 时, W有最大值为： 6.6 10-6=4 （吨）答：甲、乙两种水果的进货量分别为 6.6 万元4 吨和 6 吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页