2022年棋盘中的数学六年级奥数.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果第十一讲 棋盘中的数学（二）棋盘掩盖的问题有这样一道竞赛题：例 1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成,就下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全掩盖？（A）3× 4 （B）3× 5 （C）4× 4 （D）4× 5 （E）6× 3 解： 通过试验,很简洁看到,应挑选答案（B）这类问题,简洁更加一般化,即用2× 1 的方格骨牌去掩盖一个m×n 的方格棋盘的问题定理 1： m× n 棋盘能被 2× 1 骨牌掩盖的充分且必要的条件是 m、n 中至少有一个是偶数证明：充分性：即已知m,n 中至少有一个偶数,求证：m× n 棋盘可被 2× 1 骨牌掩盖不失一般性,设棋盘可被 kn 个 2× 1 骨牌掩盖m2k,就 m× n2k× nk×必要性：即已知 m× n 棋盘可以被 2× 1 骨牌掩盖求证： m,n 中至少有一个偶数如m× n 棋盘可被 2× 1 骨牌掩盖,就必掩盖偶数个方格,即 mn是个偶数,因此 m、n 中至少有一个是偶数例 2 下图中的 8× 8 棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格,问 能否用 31 个 2× 1 的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果分析 刚一想, 31 个 2× 1 骨牌恰有 62 个小方格,棋盘去掉两个角 后也是 62 个格,似乎很有可能盖住但只要简洁一试,便发觉不行 能认真分析,发觉假如把棋盘格黑、白相间染色后,2× 1 骨牌一次只 能盖住一个黑格与一个白格只要发觉这个基本领实立刻可以找到解答解： 我们将残角棋盘黑、白相间染色（如图）,62 个格中有黑格32 个,白格 30 个另外,假如用2× 1 骨牌 31 张恰能盖住这个残角棋盘,我们发觉,每个骨牌必定盖住一个黑格,一个白格,31 个骨牌将盖住 31 个黑格及 31 个白格这与 32 个黑格数, 30 个白格数的事实相矛盾所以,无论如何用这31 张 2× 1 的骨牌盖不住这个残角棋盘例 3 在下图（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）四个图形中：解： 图形（ 1）和（ 2）中各有 11 个方格, 11 不是 3 的倍数,因此 不能用这两种图形拼成图形来拼只有图形（ 4）可以用这两种三个方格的图形来拼,详细拼法有多种,下图仅举出一种为例说明：排除图（ 1）与（ 2）的方法是很重要的由于一个图形可以名师归纳总结 用这是“ 必要条件排除法” 但要留意,一个图形小方格数是第 2 页,共 5 页3 的倍数,也不说明的就是这种情形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果是 3n当 3n 时,设 n3k,就 2× n2× 3kk（2× 3）2× n3× x 就 32n,但（ 2,3） 1,3n摸索方法比如,如 个 2× n 棋3n 且 2m时, m× n 棋盘可分成如干例 5 一种嬉戏机的“ 方块” 嬉戏中共有如下页图所示的七种图形,每种图形都由 4 个面积为 1 的小方格组成现用7 个这样的图形拼成一个 7× 4 的长方形（可以重复使用某些图形）那么,最多可以用上面七 种图形中的几种？分析 用七个图形,共4× 728 个方格,要是能拼成 4 × 7 的棋盘,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 多练出技巧 巧思出硕果这时采纳了小“ 方块” 中的两种这样试下去,我们会发觉,由七种方块中的 6 种可以拼成 4× 7 棋盘格,如下图所示但要将七种“ 方块” 每个都只用一次,要拼成4× 7 棋盘,试几次会发觉拼不出来因此我们会想到,是不是不行能呢？下面我们证明这一点证明：用 6 种“ 方块” 构成 4× 7 棋盘已如上图所示下面我们证明不能用七种“ 方块” 各一块构成4× 7 的长方形棋盘将长方形的 28 个小方格如右图黑、白相间进行染色,就黑、白格各为 个白格 1 个黑格,而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各 2个因此, 7 种方块图形占据的黑白格数必都是奇数,不会等于 14综上所述,要拼成 4× 7 的方格,最多能用上七种“ 方块” 中的 6 种图形例 6 由 1× 1、 2 × 2、3× 3 的小正方形拼成一个 23× 23 的大正方形,在全部可能的拼法中,利用 你的结论1× 1 的正方形最少个数是多少？试证明解： 用 1× 1 的正方形至少一个第一步：中心放一个1× 1 的正方形,剩下的4 个 11× 12 的矩形,是可以用 6 个 2× 2 正方形和 12 个 3× 3 正方形拼成的,如下图所示其次步：不用 1× 1 而只用 2× 2 与 3× 3 的正方形是拼不成的将 23× 23 的大正方形的 1,4,7,10,13,16,19,22 各行染红色,其余各行染蓝色如下图任意2× 2 或 3× 3 正方形都将包含偶数个蓝色小格,但蓝格总数是 23× 15,是个奇数,冲突所以不用 1× 1 的小正方形是拼不成 23× 23 棋盘的名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上所述,要拼成多练出技巧巧思出硕果1× 1 的小正方形23× 23 棋盘,至少要用一个解： 如右图用黑白二色相间涂染 个白格8× 8 棋盘,总计有 32 个黑格及 32当我们把“ 田” 放入棋盘时,肯定盖住两个小黑格及两个小白格盖住奇数个（ 3 个,或 1 个）白格骨牌共盖住：奇数 2奇数个白格这与 格的总数相冲突8× 8 棋盘上共有 32 个白关于棋盘的掩盖问题我们简洁介绍到这里,并且只是个别的例题,作为入门的先导罢了！名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
