2022年沪科版八年级数学下册知识总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载沪科版八年级数学下册学问总结第十六单元 二次根式二次根式学问点：学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必需留意：由于负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式；学问点二：取值范畴1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当 a 0 时,没有意义；学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,也就是说,（）是一个非负数,即 0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；学问点四：二次根式（）的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式,（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：. 学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；留意：1、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数a 是正数仍是负数, 如是正数或 0,就等于 a本身,即表示一个实数；如 a 是负数,就等于a 的相反数 -a, 即；a2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；3、化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；学问点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而的平方的算术平方根；在中,而中 a 可以是正实数,0,负实数；但与都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而. 2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而学问点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、 3、 a（a0）、 x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、 9、 a 2、（ x+y）2、 x2+2xy+y2等（3）最终结果分母不含根号；满意最简二次根式的条件： （1）被开方数的因数是整数,学问点八：二次根式的乘法和除法因式是因式是整式； （2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式；1. 积的算数平方根的性质ab=a· b（a 0,b0）2. 乘法法就a· b=ab（a0, b0）二次根式的乘法运算法就,用语言表达为：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根；留意 ：两个二次根式相乘,假如两个被开方数有公因数或公因式,就直接用乘法法就,如没有公因数或公因式,就分别化为最简二次根式,再利用乘法法就；3. 除法法就a÷ b=a÷ b（ a0,b>0）第 1 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次根式的除法运算法就,用语言表达为：两个数的算数平方根的商,等于这两个数商的算数平方根；4. 有理化根式；假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式 学问点九：二次根式的加法和减法 1 同类二次根式, 也称有理化因式；一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式；2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式；3 二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并；学问点十：二次根式的混合运算1 确定运算次序 2 敏捷运用运算定律 3 正确使用乘法公式 4 大多数分母有理化要准时5 在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化 学问点十一：分母有理化 分母有理化有两种方法 I. 分母是单项式 如: a/ b=a× b/ b× b=ab/b II. 分母是多项式 要利用平方差公式 如 1/ a b=a b/ a b a b= a b/a b 留意： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式；勾股定律第十七单元勾股定理学问总结：一基础学问点：1：勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方；（即： a2+b 2c2）要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中,C90,就ca2b2,bc2a2,ac22 b）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理假如三角形的三边长：a、b、c,就有关系a2+b 2 c2,那么这个三角形是直角三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形” 来确定三角形的可能 外形,在运用这肯定理时应留意：（1）第一确定最大边,不妨设最长边长为：（2）验证 c 2与 a 2+b 2 是否具有相等关系,如c；c 2a 2+b 2,就 ABC是以 C为直角的直角三角形（如 c2>a 2+b 2,就 ABC是以 C为钝角的钝角三角形；如c 2<a 2+b 2,就ABC为锐角三角形） ；a22 c2 b ,（定理中 a ,b ,c 及a2b22 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a ,b ,c 满意那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系 区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关；4：互逆命题的概念 假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原 命题,那么另一个叫做它的逆命题；5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法一： 4SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41abb学习必备欢迎下载a2 2 c ,化简可证2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为bS41 2abc22abc2DS 梯形1 2ab ab21ab1c2,大正方形面积为Sab 2a22 abb2所以b2c2a2方 法三：DCba证BAaS梯形2SADESABE,化EFHG简 得acc22cbEcAbcaBbccaabCab方法一方法二方法三6：勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 a 2b 2c 中, a , b , c 为正整数时,称 2a , b , c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5； 6 ,8,10； 5 , 12,13； 7, 24,25 等2 2用含字母的代数式表示 n 组勾股数：n 1,2 , n n 1（n 2, n 为正整数）；2 2 2 2 2 22 n 1,2 n 2 ,2 n 2 n 1（ n 为正整数）m n ,2 mn m n （m n m , n 为正整数）二、 规律方法指导1勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目；3勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误；4. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b,c 有以下关系： a2+b 2 c2,.那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5. .应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“ 数形结合” 的懂得我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；（例：勾股定理与勾股定理逆定理）第十八单元 一元二次方程一元二次方程学问点：1. 一元二次方程的一般形式: a 0 时, ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式,讨论一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的 字母或特定式子的代数式 . a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是详细数,也可能是含待定2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求敏捷运用,其中直接开平方法虽然简洁,但是适用范畴较小；公式法虽然适用范畴大,但运算较繁,易发生运算错误；因式分解法适用范畴较大,且运算简便,是首选方法；配方法使用较少 . 3. 一元二次方程根的判别式: 当 ax2+bx+c=0 a 0 时, =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式. 请留意以下等价命题：第 3 页,共 8 页 0 <=> 有两个不等的实根； =0 <=> 有两个相等的实根； 0 <=> 无实根； 0 <=> 有两个实根（等或不等）. 4. 一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0 a 0 时,如 0,有以下公式： 1 x,12bb24 ac；2x1x2b,x1x2c.2aaa名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法0（也可以使用因式分解法）cxa2bb b0d2解为： xabbcxdx2a a0解为： xa解为： axbax2cxac解为：axaxb2c c（2）因式分解法 ：提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如：ax2bx0 , a b0xx axb0此类方程适合用供应因此,而且其中一个根为00 3x52x102 x90x3x30x23 x0x x303 2x152x12 x6x94x3244x212x902x3202 x4x120x6202x25x1202x3x40（3）配方法二次项的系数为“1” 的时候：直接将一次项的系数除于2 进行配方,如下所示：3 22104ac2 xPxq0xP2P2q0示例：x23x10x32222二次项的系数不为“1” 的时候：先提取二次项的系数,之后的方法同上：ax2bxc0 a0a x2bxc0 a xb2ab2c0a2a2 aaxb2b2cxb2b24a4ac2a4a2a2b2b2示例：12 x2x101x24 101x2212 2102222（4）公式法： 一元二次方程ax2bxc0 a0,用配方法将其变形为：x2a4a2当b24ac0时,右端是正数因此,方程有两个不相等的实根：x 1,2bb24ac2a 当b24ac0时,右端是零因此,方程有两个相等的实根：x 1,2b2a 当b 24ac0时,右端是负数因此,方程没有实根；备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2bxc0 a0,并确定出 a 、 b 、 c第 4 页,共 8 页求出b24 ac ,并判定方程解的情形；代公式：x1,2bb24ac（要留意符号）2a 5 当 ax2+bx+c=0 a 0 时,有以下等价命题： 以下等价关系要求会用公式x 1 x 2 b,xab = 0 且 0 a1 x2c a； =b 2-4ac 分析,不要求背记 （1）两根互为相反数 b = 0且 0；（2）两根互为倒数c =1 且 0 a a = c且 0；（3）只有一个零根c = 0 且 ab 0 c = 0且 b 0；a（4）有两个零根c = 0 且 ab= 0 c = 0且 b=0；a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（5）至少有一个零根 c =0 c=0 ；（6）两根异号 c 0 a 、c 异号；a a（7）两根异号,正根肯定值大于负根肯定值 c 0 且 b 0 a 、c 异号且 a、 b 异号；a a（8）两根异号,负根肯定值大于正根肯定值 c 0 且 b0 a 、c 异号且 a、 b 同号；a a（9）有两个正根 c 0,b 0 且 0 a 、c 同号, a 、b 异号且 0；a a（10）有两个负根 c 0,b 0 且 0 a 、 c 同号, a 、b 同号且 0. a a6求根法因式分解二次三项式公式：留意：当 0 时,二次三项式在实数范畴内不能分解 . ax 2+bx+c=ax-x 1x-x 2 或 ax 2+bx+c= a x b b 2 4 ac x b b 2 4 ac . 2 a 2 a7求一元二次方程的公式：x 2 - （x1+x2）x + x 1x 2 = 0. 留意：所求出方程的系数应化为整数 . 8平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为 x）： 1 第一年为 a , 其次年为 a1+x , 第三年为 a1+x 2. （2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年 或 第一年 +其次年 +第三年 =总和 . 9分式方程的解法两边同乘最简1 去分母法 验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母）,值 0 .公分母凑元,设元,（2）换元法 验增根代入原方程每个 分母,值 0 . 例如： x+1/x+3x/x+1-2=0 换元 .10、最简公分母的求法（1）、将分母系数化为整数后取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（2）、凡单独显现的字母或多项式 , 连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）、同底数幂取次数最高的 , 这样得到的因式的积就是分式方程的最简公分母；（4）、分母是多项式的要先进行因式分解；列一元二次方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题：读懂题目 , 审清题意 , 明确哪些是已知量 , 哪些是未知量 , 以及它们之间的关系（2）设元：就是设未知数 , 依据题意 , 挑选适当的未知量 , 并用字母（ X表示出来 , 设元又分直接设元和间接设元（3）列方程：依据题目中给出的等量关系, 列出符合题意的一元二次方程（4）解方程：求出所列方程的解（5）验根：检验未知数的值是否符合题意（6）写出答案11几个常见转化：1 x2 1x2 2x1x222x1x2； x1x22x1x224x1x2；x21x122；第 5 页,共 8 页x2x或x21x122；x1x21x1x22x1x224x1x2x1x2；x2xx1x22x1x224 x1x2x1x2x x ,1 x 1x 1x 2,x 1x22x 1x 2x 12x 22x 1x22224x x ,x 2x x 2（ 12）2|x 1x 2|x 1x 224x x ,x x 222 x x 2x x2x 1x2x2x 1x12x22x1x224x x2等x1x2x x2x x2第十九章四边形一、关系结构图：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、学问点讲解：1平行四边形的性质（重点）：ADOBC（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；ABCD是平行四边形（3）两组对角分别相等；（4）对角线相互平分；（5）邻角互补.2. 平行四边形的判定（难点）：.3.矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性;DOCDC由于 ABCD是矩形（2）四个角都是直角;ABAB（3）对角线相等. 4是轴对称图形,它有两条对称轴4 矩形的判定：矩形的判定方法：1 有一个角是直角的平行四边形；2 有三个角是直角的四边形；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 对角线相等的平行四边形；4 对角线相等且相互平分的四边形四边形 ABCD是矩形 . 5. 菱形的性质：ABCD是菱形 . CDACDC（1）具有平行四边形的所有通性；O由于 ABCD是菱形（2）四个边都相等；（3）对角线垂直且平分对角.B6. 菱形的判定：（1）平行四边形一组邻边等（2）四个边都相等四边形四边形（3）对角线垂直的平行四边形D7. 正方形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性；ABAOBABCD是正方形（2）四个边都相等,四个角都是直角；（3）对角线相等垂直且平分对角.8. 正方形的判定：名称定义（1）平行四边形一组邻边等一个直角四边形 ABCD是正方形 . 面积（2）菱形一个直角（3）矩形一组邻边等判定性质平两组对边分别平行的对边平行；对边相等；对角相定义；S=aha 为一边长, h行四边形叫做平行四边等两组对边分别相等的四边形；为这条边上的高 四形；邻角互补；对角线相互平分；一组对边平行且相等的四边形；S=aba 为一边长, b边是中心对称图形两组对角分别相等的四边形；形对角线相互平分的四边形；有一个角是直角的平除具有平行四边形的性质外,仍有：有三个角是直角的四边形是矩形；矩行四边形叫做矩形四个角都是直角；对角线相等；对角线相等的平行四边形是矩形；为另一边长 形有一组邻边相等的平既是中心对称图形又是轴对称图形；定义； S=aha 为一边长,h除具有平行四边形的性质外,仍有四条边相等的四边形是菱形；菱行四边形叫做菱形；四边形相等；对角线垂直的平行四边形是菱形；为这条边上的高 ；有一组邻边相等且有对角线相互垂直,且每一条对角线平定义； b 、c 为两条对角线形分一组对角；的既是中心对称图形又是轴对称图形；长 有一组邻边相等的矩形是正方形；具有平行四边形、矩形、菱形的性质：a 为边正一个角是直角的平行四个角是直角,四条边相等；有一个角是直角的菱形是正方形；长 ；方四边形叫做正方形对角线相等,相互垂直平分,每一条定义；形对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形； b 为对角线长 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载正 n 边形的内角的和等于： （n 2 ）× 180° n 大于等于 3 且 n 为整数）；任意多边形的外角和等于 360°如 n 是多边形的边数,就对角线条数公式是：1/2n n 3从 n 边形的一个顶点动身作对角线 , 就做（ n-3 ）条 , 这（ n-3 ）条对角线把 n 边形分成了（ n-2 ）三角形 . 一、基本概念：四边形,四边形的内角,四边形的外角,多边形,平行线间的距离,平行四边形,矩形,菱形,正方形,中心对称,中心对称图形,梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位线,梯形中位线 . 二 定理：中心对称的有关定理1关于中心对称的两个图形是全等形 . 2关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 . 3假如两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称 . 中心对称： 把一个图形围着某一个点旋转 180° ,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称,这个点叫做对称中心中心对称图形把一个图形绕它的某一个点旋转180° ,假如旋转后的图形能够和原先的图形相互重合,那么这个图形叫做中心对称图形中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系,这两个图形关于一点对称,其中一个上全部点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,中心对称图形是指一个图形本身成中心对称,表示某个图形的特性,它上面全部点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上如图 1 中 ABC和 ABC 关于 O点对称, 就是中心对称而如图 2 中的 ABCD为中心对称图形,对称中心为 O中心对称和中心对称图形是可以相互转化的如将中心对称的两个图形看成一个整体,那么这个图形就是中心对称图形,如把一个中心对称图形,用过对称中心的任一条直线分成两部分,就这两部分就关于这点成中心对称其次十章 数据的初步分析学问点 1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特点数,只是描述的角度不同,其中平均数的应用最为广泛；学问点 2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差,能反映这组数据的变化范畴,我们就把这样的差叫做极差；极差 =最大值最小值,一般来说,极差小,就说明数据的波动幅度小；学问点 3：生活中与极差有关的例子在生活中,我们常常用极差来描述一组数据的离散程度,比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差；一家公司成员中最高收入与最低收入的差；学问点 4：平均差的定义 在一组数据 x 1, x 2, , xn 中各数据与它们的平均数 的差的肯定值的平均数即T= 叫做这组数据的“ 平均差”；“ 平均差” 能刻画一组数据的离散程度,“ 平均差” 越大,说明数据的离散程度越大；学问点 5：方差的定义 在一组数据 x1,x2, , xn 中,各数据与它们的平均数差的平方,它们的平均数,即S 2= 来描述这组数据的离散程度,并把 S 2叫做这组数据的方差；学问点 6：标准差方差的算术平方根,即用S=来描述这一组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差；学问点 7：方差与平均数的性质如 x1, x2, xn 的方差是 S 2,平均数是,就有2,平均数是a第 8 页,共 8 页x1+b, x2+b xn+b 的方差为 S 2,平均数是+b ax1, ax2, axn 的方差为 a 2sax1+b, ax 2+b, axn+b 的方差为 a2s2,平均数是a+b名师归纳总结 - - - - - - -