2022年概率与统计解答题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆概率与统计1 本小题满分 12 分 从某企业生产的某种产品中抽取100 件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如下列图的频率分布直方图,质量指标值落在区间55,65 , 65,75 , 75,85 内的频 频率 组距 0.030 率之比为 4:2:1（）求这些产品质量指标值落在区间 75,85 内的频率；（）如将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3 件,记这 3 件产品中0.019 0.012 质量指标值位于区间45,75 内的产品件数为X ,求 X 的分布列与数学期望0.004 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值1. （此题满分 12 分）解：（）设区间 75,85 内的频率为 x ,就区间 55,65,65,75内的频率分别为 4x 和 2x 依题意得 0.004 0.012 0.019 0.03 10 4 x 2 x x 1, 3 分解得 x 0.05所以区间 75,85内的频率为0.05 5 分（）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验,所以 X 听从二项分布 B n p ,其中 n 3由（）得,区间 45,75 内的频率为 0.3 0.2+0.1=0.6 ,将频率视为概率得 p 0.6 7 分由于 X 的全部可能取值为 0,1,2,3,0 0 3 1 1 2且 P X 0 C 3 0.6 0.4 0.064,P X 1 C 3 0.6 0.4 0.288,2 2 1 3 3 0P X 2 C 3 0.6 0.4 0.432,P X 3 C 3 0.6 0.4 0.216所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 10 分所以 X 的数学期望为 EX 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 1.8（或直接依据二项分布的均值公式得到 EX np 3 0.6 1.8） 12 分2、（本小题满分 12 分）为了讨论某学科成果是否与同学性别有关,采纳分层抽样的方法,从高三年级抽取了 30 名男生和 20 名女生的该学科成果,得到如下所示男生成果的频率分布直方图和女生成果的茎名师归纳总结 叶图,规定80 分以上为优分 含 80 分第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（）（i）请依据图示,将 2× 2 列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计（ii ）据此列联表判定,能否在犯错误概率不超过50 10%的前提下认为 “ 该学科成果与性别有关”？3 名同学的成果, 求至少 2 名学（） 将频率视作概率, 从高三年级该学科成果中任意抽取生的成果为优分的概率附：K2P K2kn 0.100 0.050 0.010 0.001 kb 2.706 3.841 6.635 10.828 adbc 2 abdcdac 2.本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础学问,考查运算求解才能、数据处理才能、应用意识,考查必定与或然思想、化归与转化思想满分 12 分解：（）依据图示,将 2× 2 列联表补充完整如下：优分 非优分 总计男生 9 21 30 女生 11 9 20 总计 20 30 50 ··· ·············· ····· ·························· ····· ············· ········· ····· ····· ············· ···· 2 分假设 H ：该学科成果与性别无关,2 2K 的观测值 2k n ad bc 509 9 11 213.125, a b c d a c b d 20 30 20 30由于 3.125 2.706 ,所以能在犯错误概率不超过 10%的前提下认为该学科成果与性别有关 ·· ·············· ······························· ····· ············· ········· ····· ····· ············· ···· 6 分（）由于有较大的把握认为该学科成果与性别有关,因此需要将男女生成果的优分频率 f 20 0.4 视作概率······················ ············· ········· ····· ····· ····· ········ ···· 7 分50设从高三年级中任意抽取 3 名同学的该学科成果中,优分人数为 X ,就 X 听从二项分布 B 3,0.4,······· ·················· ····· ··· ····· ····· ·············· ····· ··· ····· ······················ 9 分所求概率 P P X 2 P X 3 C 3 20.4 20.6 C 3 30.4 30.352··· ·············· ····· ·························· ····· ············· ········· ····· ····· ············· ··· 12 分3. （本小题满分 12 分）微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用某网络运营商对甲、乙两个品牌各5 种型号的手机在相同环境下,对它们抢到的红包个数进行统计,得到如下数据：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆手机品牌型号甲品牌（个）4 3 8 6 12 乙品牌（个）5 7 9 4 3 （）假如抢到红包个数超过5 个的手机型号为“ 优”,否就“ 非优”,请据此判定是否有 85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关？（）假如不考虑其它因素,要从甲品牌的5 种型号中选出3 种型号的手机进行大规模宣扬销售求在型号被选中的条件下,型号也被选中的概率；以 X 表示选中的手机型号中抢到的红包超过5 个的型号种数,求随机变量X 的分布列及数学期望E X 下面临界值表供参考：名师归纳总结 P K2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001 第 3 页,共 9 页k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式：K2abn adbc2dcdac b3 解：（）依据题意列出22 列联表如下：手机品牌红包个数优非优合计甲品牌（个）3 2 5 乙品牌（个）2 3 5 合计5 5 10 2 分K210 49210250.42.072,55552525所以没有 85%的理由认为抢到红包个数与手机品牌有关 4 分（）令大事C 为“ 型号 I 被选中” ；大事D 为“ 型号 II 被选中” ,就P CC23,P CDC13, 43C35C31055所以P D CP CD1 6 分P C2随机变量X 的全部可能取值为1,2,3 , 7 分P X11 C 3C23；P X21 C C23；233 C 5103 C 55P X3C31 10 分3C3105- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆故 X 的分布列为X13 101 3312 3 12 分P33110510E X21.85104.（本小题满分12 分）某校为明白本校同学的课后玩电脑嬉戏时长情形,随机抽取了100 名同学进行调查 下面是依据调查结果绘制的同学每天玩电脑嬉戏的时长的频率分布直方图（）依据频率分布直方图估量抽取样本的平均数 间的中点值作代表） ；x 和众数 m （同一组中的数据用该组区（）已知样本中玩电脑嬉戏时长在50,60的同学中,男生比女生多1 人,现从中选3 人进行回访,记选出的男生人数为,求的分布列与期望E4解：（）m35x50 1.150 . 18250 . 22350 . 25450 . 2555.00529 . 23 人,女生 2（）样本中玩电脑嬉戏时长在50, 60的同学为0.05100人,其中男生3 3 C 33C 51人,就的可能取值为1, 2,363,P P1 1 2 C 3 C 23,P2 2 C 31 C 23 C 510C3 510510的分布列为名师归纳总结 P11 2332 93 第 4 页,共 9 页33110510所以E31105105- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆5. 本小题满分 12 分 为明白某校高三毕业班报考体育专业同学的体重（单位：千克） 情形,将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图已知图中从左至右前 3 个小组的频率之比为 1：2：3,其中第 2 小组的频数为 12（I ）求该校报考体育专业同学的总人数 n；（）已知 A,B,C,a 是该校报考体育专业的 4 名同学, A,B,C 的体重小于 55 千克, a 的体重不小于70 千克且 A,B 各有 5 分体育加分, C,a 各有 10 分体育加分 . 现从该校报考体育专业的同学中按分层抽样分别抽取体重小于 55 千克和不小于 70 千克的同学共 6 名,然后再从这 6 人中抽取体重小于 55 千克的同学 2 人,体重不小于 70 千克的同学 1 人组成 3 人训练组,训练组中 3 人的体育总加分记为,求 的分布列和数学期望 . 解：（ I ）设该校报考体育专业的人数为 n,前三小组的频率分别为 p1,p2,p3,就由题意可知,p2=2p1p3=3p1p1+p2+p3+0.0357+0.0125 × 5=1解得 p1=0.125 ,p2=0.25 ,p3=0.375 又由于 p2=0.25=12 n,故 n=48 4 分48× 0.125=6,记他们（II ）由题意,报考体育专业的同学中,体重小于55 千克的人数为分别为 A,B,C,D,E, F,名师归纳总结 体重不小于70 千克的人数为48× 0.0125× 5=3,记他们分别为a,b,c, 5 分第 5 页,共 9 页0,5,10,15,20, 25 . 由分层抽样的等概率性可知,取值的概率等于从分层抽样前体重小于55 千克的 6 人中抽取 2 人,体重不小于70 千克的 3 人中抽取 1 人组成 3 人训练组取值的概率, 6 分P0=2 C 31 C 22, P5= 1 1C C 31 C 24,2 C 61 C 3152 C 61 C 315P10= 2 C 21 1C C 31 C 22 C 31 C 111,P15= 1 1C C 2 11 C 21 1C C 31 C 12,2 C 61 C 32 C 61 C 3452 C 61 C 32 C 61 C 39- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆P20= C 2 2C 1 1C C 13 1C 1 14, P15= C C 2 11 1C 1 12 9 分2 C 61 C 32 C 61 C 3452 C 61 C 345的分布列：P 0 510 15 20 25 241124215154594545的数学期望E =0 2 +5 4 +10 11 +15 2 +20 4 +25 2 =10 12 分15 15 45 9 45 456. （本小题满分 12 分）心理学家发觉视觉和空间才能与性别有关,某数学爱好小组为了验证这个结论,从爱好小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30 女 20）,给全部同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由挑选一道题进行解答. 选题情形如下表： （单位：人）男同学几何题代数题总计22 8 30 女同学8 12 20 总计30 20 50 1 能否据此判定有97.5%的把握认为视觉和空间才能与性别有关？（2）经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5 至 7 分钟,女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6 至 8 分钟, 现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率 . 名师归纳总结 （3）现从挑选做几何题的8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情形进行全程讨论,记甲、第 6 页,共 9 页乙两女生被抽到的人数为X , 求 X 得分布列及数学期望EX. 附： . K2abn adbc2bdcdacP k2k 00.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.706 3.841 5.024 6.635 10.828 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆6【解析】2（1）由表中数据得 K的观测值 2K 2 50 22 12 8 830 20 30 20所以依据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间才能与性别有关505.5565.0249） 3 分（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟,就基本领件满意的区域为5x76y8（如下列图）y11xO设大事 A 为“ 乙比甲先做完此道题”就满意的区域为 x y 5 分由几何概型P A 1 1 122 2 18 即乙比甲先解答完的概率为 18 7 分2（3）由题可知在挑选做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C 8 28 种,其中2 1 1甲、乙两人没有一个人被抽到有 C 6 15 种；恰有一人被抽到有 C 2 C 6=12 种；两人都被抽到有 C 2 21 种 X可能取值为 0,1,2 ,15 12 3 1P X 0,P X 1,P X 2 10 分28 28 7 28X 的分布列为：X 0 1 2 P 15 12 128 28 2815 12 1 1E X 0 +1 +228 28 28 2 12 分7. （本小题满分 12 分）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物我国 PM2.5 标准采纳世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5 日均值在 35 微克 / 立方米以下空气质量为一级；在 35 微克 / 立方米 75 微克 / 立方米之间空气质量为二级；在 75 微克 / 立方米以上空气质量 为超标某试点城市环保局从该市市区20XX年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示（十位为茎,个位为叶）（1）从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（2）从这 15 天的数据中任取三天数据,记表示抽到PM2.5 监测数据超标的天数,求的分布列；就一年（按360 天运算） 中平（3）以这 15 天的 PM2.5 日均值来估量一年的空气质量情形,均有多少天的空气质量达到一级或二级7、解： （1）记“ 恰有一天空气质量达到一级” 为大事A ,0,1,2,3,其P A 1 2C C 1045 4 分3 C 1591（2）依据条件, 听从超几何分布：其中N=15,M=5,n=3, 的可能值为分布列为：Pkk 3C C 10kk0,1,2,3 6 分3 C 150 1 2 3 P 244520291919191 8 分（3）依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为2P102,153一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ,就B360, 10 分3E3602240,3一年中平均有240 天的空气质量达到一级或二级 12 分8、（本小题满分12 分）某中学对初二年级的同学进行体质监测,已知初二一班共有同学 成果用茎叶图表示如下： （单位： cm ）30 人,测试立定跳远的男生成果在 175cm以上（包括 175cm）定义为“ 合格” ,成果在 175cm 以下（不包括 175cm ）定义为“ 不合格”；女生成果在 165cm以上（包括 165cm）定义为“ 合格” ,成果在 165cm 以下（不包括 165cm ）名师归纳总结 定义为“ 不合格”；第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（1）求女生立定跳远成果的中位数；（2）如在男生中用分层抽样的方法抽取6 个人,求抽取成果“ 合格” 的同学人数；（3）如从全班成果“ 合格” 的同学中选取 2 个人参与复试,用 X 表示其中男生的人数,试写出 X的分布列,并求 X的数学期望；8. 解：（）女生立定跳远成果的中位数 165 168 166 5 . cm 3 分2（） 男生中成果“ 合格” 有 8 人,“ 不合格” 有 4 人,用分层抽样的方法,其中成果“ 合格” 的同学应抽取 6 8 4 人 6 分12（III）依题意,X 的取值为 0,1,2 ,就P X 0 C C 8 02 10 2 5,P X 1 C C 8 12 10 1 80,P X 2 C C 8 22 10 0 28,C 18 17 C 18 153 C 18 153因此,X的分布列如下：名师归纳总结 X0 1 2 分第 9 页,共 9 页P 5802817153153 10EX051802281368 12 分171531531539- - - - - - -