2022年河北省近五年中考数学压轴题综述3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最终一道压轴题的命制,从1996 年至 2001 年的近五年来出现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题,并且由运动的几何图形来看,类型各异,颇具特色；一、单点运动型 例 1 1999 年河北省中考压轴题 如图 1-1 ,正方形 OABC的顶点 O在坐标原点,且 OA边与 AB边所在直线的解析式分别为：y=x 和 y=-x+；D、E 分别为边 OC和 AB的中点, P为 OA边上一动点 点 P与点 O不重合 ,连结 DE和 CP,其交点为 Q；1 求证：点 Q为 COP的外心；2 求正方形 OABC的边长；3 当Q 与 AB相外切时,求点 P的坐标；解：1 D、 E 分别为正方形 OABC中 OC、AB的中点,DE OA；Q 也是 CP的中点；又CP是 Rt COP的斜边,点 Q为 COP的外心；2 由方程组解得点 A的坐标为 4 ,3 ；过点 A作 AFox 轴,垂足为点 F；OF=4,AF=3；由勾股定理,得OA=5；3 如图 1-2 ,当 COP的外接圆Q 与 AB相切时,圆心 Q在直线 DE上,且 DEAB,E 为Q与 AB相切的切点；又AE和 APO分别是Q 的切线与割线AE 2=AP· AOOA=5,AE=2=AP· 5,AP=当Q 与 AB相切时, OP=5-作 PHox,垂足为 H；PH AF,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - OH=,PH=点 P的坐标为 3 , 二、双点互动型 例 2 1997 年河北省中考压轴题 已知：如图 2-1 ,在直角梯形 ABCD中,AD BC,B=90° ,AB=8厘米, AD=24厘米, BC=26厘米, AB为O 的直径；动点 P从点 A开头沿 AD边向点 D以 1 厘米/ 秒的速度运动,动点 Q从点 C开头沿 CB边向点 B以 3 厘米/ 秒的速度运动； P、Q分别 从点 A、C同时动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动；设运动时间为 t 秒；分别为何值时,四边形 PQCD为平行四边形、等腰梯形？求： 1t 2t 分别为何值时,直线 PQ与O 相切、相交、相离？解：1 AD BC,只要 QC=PD,四边形 PQCD为平行四边形；此时,有 3t=24-t ,解,得 t=6 ；即当 t=6 秒时,四边形 PQCD为平行四边形；同理,只要 PQ=CD,PD QC,四边形 PQCD为等腰梯形；过 P、D分别作 BC的垂线交 BC于 E、F 两点 如图 2-2 ,就由等腰梯形的性质可知：EF=PD,QE=FC=2；2= 3t24-t 解得 t=7 t=7 秒时,四边形 PQCD为等腰梯形；2 设运动 t 秒时,直线 PQ与O 相切于点 G如图 2-3 ,过 P作 PHBC,垂足为 H；就 PH=AB,BH=AP,即 PH=8,HQ=26-3t-t=26-4t ；名师归纳总结 由切线长定理,得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t；第 2 页,共 9 页由勾股定理,得PQ 2=PH 2+HQ 2,即26-2t2=8 2+26-4t2化简整理,得 3t2-26t+16=0 解,得 t 1=,t 2=8 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 t= 秒或 t=8 秒时,直线 PQ与O 相切；t=0 秒 时, PQ与O 相交；当 t= =8 秒 时, Q点运动到 B 点,P点尚未运动到 D点,但也停止运动,此时 PQ也与O 相交；当 t= 或 t=8 时,直线 PQ与O相切；当 0t 或 8t 8 时,直线 PQ与O 相交；当t 8 时,直线 PQ与O 相离；三、直线平移型例 3 2000 年河北省中考压轴题 在如图 3-1 所示的直角坐标系中,点 C在 y 轴的正半轴上,四边形 OABC为平行四边形, OA=2,AOC=60° ,以 OA为直径P 经过点 C,点 D在 y 轴上,DM为始终与 y 轴垂直且与 AB边相交的动直线,设DM与 AB边的交点为 M点 M在线段 AB上,但与 A、B两点不重合 ,点 N是 DM与 BC的交点设 OD=t；1 求点 A和 B的坐标；2 设 BMN的外接圆G 的半径为 R,请你用 t 表示 R及点 G的坐标；3 当G 与P 相切时,求直角梯形 OAMD的面积；解： 1 连结 AC；OA为P 的直径, ACO=90°又OA=2,AOC=60° , OC=1, AC=点 A的坐标为 ,1 又 OABC为平行四边形, AB OC,点 B的坐标为 ,2 2 DMy 轴,且 AB OC,DMAB；NMB=90°G 的圆心 G为 BN的中点；又 B=AOC=60° , BM= BN=R；而点 B的纵坐标为 2,点 M的纵坐标 =点 D的纵坐标 =t ,BM=2-t ,R=2-t 过点 G作 GH y 轴,交 x 轴于点 H,交 DM于点 F；过点 G作 GK x 轴,交 AB于点 K如 图 3-2 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据垂径定理,得到： FM= MN,KM= BM；设点 G的坐标为 x, y NM= 2-t x=DM-MN= -2-t= t ,y=OD+ BM=t+ 2-t=1+ t ；点 G的坐标为 t ,1+ t ；3 连结 GP,过点 P 作 PE x 轴,交 GH于点 E；由 PEGE,依据勾股定理得：GP=当G 与P 外切时, PG=R+1,=3-t ；是原方程的根；解得 t=,经检验 t=此时, OD=t= ,AM=1-MB=,DM=AC=此时, OD=t= ,AM=1-MB=,DM=AC= ,直角梯形 OAMD的面积为：S=,DM=；四、点线共动型例 4 2001 年河北省中考压轴题 如图 4-1 ,在菱形 ABCD中,AB=10,BAD=60° ；点 M从点 A以每秒 1 个单位长的速度沿着AD边向点 D移动；设点 M移动的时间为 t 秒0 t 10；1 点 N为 BC边上任意一点； 在点 M移动过程中, 线段 MN是否肯定可以将菱形分割成面 积相等的两部分？并说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -2 点 N从点 B与点 M动身的时刻相同 以每秒 2 个单位长的速度沿着BC边向点 C移动,在什么时刻,梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；3 点 N从点 B与点 M动身的时刻相同 以每秒 aa2 个单位长的速度沿着射线BC方向第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可以超越 C点 移动,过点 M作 MP AB,交 BC于点 P；当 MPN ABC时,设 MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为 S,求出用 t 表示 S 的关系式,并求出 S=0时 a 的值；解： 1MN 肯定能在某一时刻将菱形ABCD分割成面积相等的两部分；对于中心对称图形,过中心的任始终线均能将图形分割成面积相等的两部分；而且菱形 是中心对称图形 如图 4-2 所示 ；在点 M由 A到 D的移动过程中,肯定存在一个时刻,使得线段 MN过菱形的中心；2 过 B作 BEAD,垂足为 E如图 4-3 ；在 Rt ABE中,BE=10sin60° =5AM=t,BN=2t,S梯形 ABNM=t+2t× 5=t ；2t 10,t 5当 t=5 时, S 梯形 ABNM最大；最大面积为：× 5=；3 ABC是腰长为 10 的等腰三角形；当 ABC ABC时 如图 4-4 MP=10,PN=BC=10,且 MP=PN；NC=PN-PC=BC-PC=PB BP=AM=t,PC=10-t ,NC=t 过 P作 PGDC,垂足为 G；在 Rt PGC中,PG=PCsin60° =10-t；设 MN交 DC于 F,DC MP,且 MP=PN,NFC=NMP=MNP,FC=NC=t；重叠部分 MPCF是梯形,S= t+10 ×t10-t=-t2+25当 S=0,即-2+25=0 时,解得 t 1=10,t 2=-10 舍去 BN=at,且 BN=PN+PB=10+t,at=10+t ；将 t=10 代入 at=10+t ,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 a=2；五、点圆齐动型例 5 1998 年河北省中考压轴题 如图 5-1 所示,一艘轮船以 20 浬/ 时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以 40 浬/ 时的速度由南向北移动,距台风中心 20 浬的圆形区域 包括边界 都属台风区；当轮船到 A 处时,测得台风中心移到位于点 A 正南方向B 处,且 AB=100浬；1 如这艘轮船自 A处按原速度连续航行, 在途中会不会遇到台风？如会,试求轮船最初遇到台风的时间；如不会,请说明理由；2 现轮船自 A处立刻提高航速,向位于东偏北30° 方向,相距 60 浬的 D港驶去；为使台风到来之前,到达 D港,问船速至少应提高多少 提高的船速取整数,3.6 ？解：1 设途中会遇到台风,且最初遇到台风的时间为 t 小时,此时,轮船位于 C处,台风中心移到 E处,连结 CE如图 5-2 ；就有 AC=20t,AE=AB-BE=100-40t,EC=20在 Rt AEC中,AC 2+AE 2=EC 2,；20t2+100-40t2=202；整理,得 t2-4t+3=0 = -42- 4× 1× 3=4 0,途中会遇到台风；解,得 t 1=1,t 2=3；最初遇到台风的时间为 1 小时；2 设台风抵达 D港时间为 t 小时,此时台风中心至 结 DM；在 Rt ADF中,AD=60,FAD=60° ,DF=30,FA=30；2,又302+130-40t2=20整理,得 4t2-26t+39=0 ；解之,得 t 1=,t 2=台风抵达 D港的时间为小时；M点；过 D作 DFAB,垂足为 F,连名师归纳总结 轮船从 A处用小时到 D港的速度为 60÷25.5 ；第 6 页,共 9 页因此,为使台风抵达D港之前轮船到 D港,轮船至少应提速6 浬/ 时；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景,并非纯属巧合；大致主要缘由是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维才能的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动中求静的辨证统一思想,又成为表达数学中辩证法的很好素材；由此可见,无论从今类题目的命题形式、仍是考查意图上,把它放在最终一道压轴题的位置,都是恰如其分的；05 河北 .如图 12,在直角梯形 ABCD 中, AD BC, C90° , BC16,DC12,AD 21；动点 P 从点 D 动身,沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C 动身,在线段 CB 上以每秒1 个单位长的速度向点 B 运动,点 P,Q 分别从点 D,C 同时出发,当点 Q 运动到点 B 时,点 P 随之停止运动；设运动的时间 A P D 为 t（秒）；（1）设 BPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式；（2）当 t 为何值时,以B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三B Q C 图 12 角形？（3）当线段PQ 与线段 AB 相交于点O,且 2AO OB 时,求BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t,使得 PQBD ？如存在,求出t 的值；如不存在,请说明理由；06 河北 .如图 13,在 Rt ABC 中, C 90° , AC12,BC 16,动点 P 从点 A 动身沿 AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动,动点 Q 从点 C 动身沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动P,Q 分别从点 A,C 同时动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动在运动过程中,PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是PDQ 设运动时间为 t（秒）（1）设四边形 PCQD 的面积为 y,求 y 与 t 的函数关系式；（2）t 为何值时,四边形 PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻 t,使得 PD AB？如存在,求出 t 的值；如不存在,请说明理由；（4）通过观看、画图或折纸等方法,猜想是否存在时刻 t,使得 PDAB？如存在,请估量 t 的值在括号中的哪个时间段内（0t1；1 t2；2t3；3t4）；如不存在,请简要说明理由A P D C Q B 图 13 07 河北 . 如图 16,在等腰梯形ABCD中, AD BC,AB=DC=50,C 匀速运动；点AD=75,BC=135点 P 从点 B 动身沿折线段BA- AD- DC以每秒 5 个单位长的速度向点Q从点 C动身沿线段 CB方向以每秒 3 个单位长的速度匀速运动,过点 Q向上作射线 QKBC,交折线段 CD- DA- AB于点 E点P、Q同时开头运动,当点P 与点 C 重合时停止运动,点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t 秒（ t0）（1）当点 P 到达终点 C时,求 t 的值,并指出此时 BQ的长；（2）当点 P 运动到 AD上时, t 为何值能使 PQ DC ？（3）设射线 QK扫过梯形 ABCD的面积为 S,分别求出点E 运动到 CD、DA上时, S 与 t 的函数关系式；（不名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 必写出 t 的取值范畴）（4） PQE能否成为直角三角形？如能,写出t 的取值范畴；如不能,请说明理由B P A K D C E Q 图 16 08 河北 . 如图 15,在 RtABC 中,C 90,AB 50,AC 30,D, ,F 分别是 AC,AB,BC的中点 点 P 从点 D 动身沿折线 DE EF FC CD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动,过点 Q 作射线 QK AB ,交折线 BC CA 于点 G 点P,Q 同时动身,当点 P 绕行一周回到点 D 时停止运动,点 Q 也随之停止设点 P,Q 运动的时间是 t 秒（t 0）（1） D,F 两点间的距离是；（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？如能,求出 t 的值如不能,说明理由；（3）当点 P 运动到折线 EF FC 上,且点 P 又恰好落在射线 QK 上时,求 t 的值；（4）连结 PG ,当 PGAB 时,请直接写出 t 的值C K D F P G A E Q B 图 15 09 河北 如图 16,在 Rt ABC 中, C=90°,AC = 3,AB = 5点 P 从点 C 动身沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后马上以原先的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 动身沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动相伴着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP于点 E点 P、Q 同时动身,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t秒（ t0）B （1）当 t = 2 时, AP = ,点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求 APQ 的面积 S与t 的函数关系式； （不必写出 t 的取值范畴）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成 E 为直角梯形？如能,求 t 的值如不能,请说明理由；Q （4）当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值D A P C 图 16 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10 河北 .如图 16,在直角梯形ABCD 中, AD BC,B90,AD = 6,BC = 8,AB33,点 M 是 BC的中点点 P 从点 M 动身沿 MB 以每秒 1 个单位长的速 度向点 B 匀速运动,到达点 B 后马上以原速度沿BM 返回；点 Q 从点 M 动身以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动在点 P,Q 的运动过程中,以 PQ 为边作等边三角形 EPQ ,使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧点 P,Q 同时动身,当点 P 返回到点 M 时停止运动,点 Q 也随之停止设点 P,Q 运动的时间是 t 秒t0（1）设 PQ 的长为 y,在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中,写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t的取值范畴） （2）当 BP = 1 时,求EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积（3）随着时间 t 的变化, 线段 AD 会有一部分被EPQ 掩盖, 被掩盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答：该最大值能否连续一个时段？如能,直接 由写出 t 的取值范畴；如不能,请说明理A D E B P M Q C 图 16 A D B M C （备用图）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页