2022年《三角函数模型的简单应用》的教学设计剖析.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1.6 三角函数模型的简洁应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型, 可以用来争论许多问题, 在刻画周期变化规律、猜测其将来等方面都发挥着非常重要的作用. 三角函数模型的简洁应用的设置目的, 在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习. 本节教材通过 4 个例题 , 循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用 , 在素材的选择上留意了广泛性、真实性和新奇性 , 同时又关注到三角函数性质 特殊是周期性 的应用 . 通过引导同学解决有肯定综合性和摸索水平的问题, 培育他们综合应用数学和其他学科的学问解决问题的才能 . 培育同学的建模、分析问题、 数形结合、 抽象概括等才能 . 由于实际问题经常涉及一些复杂数据 , 因此要勉励同学利用运算机或运算器处理数据 , 包括建立有关数据的散点图 , 依据散点图进行函数拟合等 . 二、教学目标1、学问与技能：把握三角函数模型应用基本步骤 :1 依据图象建立解析式 ; 2 依据解析式作出图象 ; 3将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型 . 2、过程与方法：挑选合理三角函数模型解决实际问题, 留意在复杂的背景中抽取基本的数学关系, 仍要调动相关学科学问来帮忙懂得问题； 切身感受数学建模的全过程,和作用及数学和日常生活和其它学科的联系；3、情态与价值：体验数学在解决实际问题中的价值培育同学数学应用意识 ; 提高同学利用信息技术处理一些实际运算的才能；三、教学重点与难点 教学重点 : 分析、整理、利用信息 , 从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型, 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. . 教学难点 : 将某些实际问题抽象为三角函数的模型, 并调动相关学科的学问来解决问题四、教学过程：三角函数模型的简洁应用 一、导入新课思路 1. 问题导入 既然大到宇宙天体的运动, 小到质点的运动以及现实世界中具有周细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载期性变化的现象无处不在 , 那么到底怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此绽开新课. , 特殊争论了三角函数的周期性.思路 2. 我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质在现实生活中 , 假如某种变化着的现象具有周期性, 那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修 1 第三章其次节 “ 函数模型及其应用”, 面临一个实际问题 , 应当如何挑选恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个详细例子 , 来争论这种三角函数模型的简洁应用 . 二、推动新课、新知探究、提出问题回忆从前所学 , 指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的 . 数学模型是什么 , 建立数学模型的方法是什么 . 上述的数学模型是怎样建立的 . 怎样处理搜集到的数据 . 活动 : 师生互动 , 唤起回忆 , 充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程 . 对课前已经做好复习的同学赐予夸奖 , 并勉励他们类比以前所学学问方法 , 连续探究新的数学模型 .对仍没有进入状态的同学 , 老师要帮忙回忆并快速激起相应的学问方法 . 在老师的引导下 , 学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是: 收集数据画散点图挑选函数模型求解函数模型检验用函数模型说明实际问题 . 这点很重要 , 同学只要有了这个认知基础 , 本节的简洁应用便可迎刃而解 . 新课标下的教学要求 , 不是老师给同学解决问题或带领同学解决问题 , 而是老师引领同学逐步登高 , 在合作探究中自己解决问题 , 探求新知 . 争论结果 : 描述现实世界中不同增长规律的函数模型 . 简洁地说 , 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时 , 所得出的关于实际问题的数学描述 . 数学模型的方法 , 是把实际问题加以抽象概括 , 建立相应的数学模型 , 利用这些模型来争论实际问题的一般数学方法 . 解决问题的一般程序是 : 1° 审题 : 逐字逐句的阅读题意, 审清晰题目条件、要求、懂得数学关系；2° 建模 : 分析题目变化趋势 , 挑选适当函数模型；3° 求解 : 对所建立的数学模型进行分析争论得到数学结论；细心整理归纳 精选学习资料 4° 仍原 : 把数学结论仍原为实际问题的解答. 第 2 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -画出散点图 , 分析它的变化趋势学习必备欢迎下载. , 确定合适的函数模型三、应用示例例 1 如图 1, 某地一天从614 时的温度变化曲线近似满意函数y=sin x+ +b. 图 1 1 求这一天的最大温差 ; 2 写出这段曲线的函数解析式 . 活动 : 这道例题是 20XX 年全国卷的一道高考题 , 探究时老师与同学一起争论 . 本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题 . 老师可引导同学摸索 , 本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给同学自己争论解决 . 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型. 其中第 1 小题实际上就是求函数图象的解析式 , 然后再求函数的最值差. 老师应引导同学观看摸索: “ 求这一天的最大温差” 实际指的是 “ 求 6 是到 14 时这段时间的最大温差”, 可依据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式. 让同学体会不同的函数模型在解决详细问题时的不同作用. 第 2 小题只 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 要用待定系数法求出解析式中的未知参数, 即可确定其解析式. 其中求 是利用半周期14-6,通过建立方程得解. 解:1 由图可知 , 这段时间的最大温差是20 . 2 从图中可以看出, 从 614 时的图象是函数y=Asin x+ +b 的半个周期的图象, A=1 30-10=10,b= 21 30+10=20. 21 ·22=14-6, =. . 将 x=6,y=10 代入上式 , 解得 = 83. 4综上 , 所求解析式为y=10sin. x+ 83+20,x 6,14. 4点评 : 本例中所给出的一段图象实际上只取614 即可 , 这恰好是半个周期, 提示同学注意抓关键 . 本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情形, 因此应当特细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -别留意自变量的变化范畴学习必备欢迎下载, 这点往往被同学忽视掉. （互动探究）图5 表示的是电流I 与时间 t 的函数关系图 5 I=Asin x+ >0,| |< 在一个周期内的图象 . 21 依据图象写出 I=Asin x+ 的解析式 ; 2 为了使 I=Asin x+ 中的 t 在任意一段 1 s 的时间内电流 I 能同时取得最大值100和最小值 , 那么正整数 的最小值为多少 . 解:1 由图知 A=300,第一个零点为 1 ,0, 其次个零点为 1 ,0, 300 150 · 1 + =0, ·1 + = . 解得 =100 , = , I=300sin100 t+ . 300 150 3 32 依题意有 T1 , 即21 , 200 . 故min=629. 100 100例 2 做出函数 y=|sinx| 的图象并观看其周期例 3 如图 2, 设地球表面某地正午太阳高度角为 , 为此时太阳直射纬度, 为该地的纬度值, 那么这三个量之间的关系是 =90° -| - |. 当地夏半年 取正值 , 冬半年 取负值 . 假如在北京地区纬度数约为北纬40° 的一幢高为h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少. 活动 : 如图 2 本例所用地理学问、物理学问较多, 综合性比较强 , 需调动相关学科的知识来帮忙懂得问题, 这是本节的一个难点. 在探讨时要让同学充分熟识实际背景, 懂得各个量的含义以及它们之间的数量关系. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载第一由题意要知道太阳高度角的定义 : 设地球表面某地纬度值为 , 正午太阳高度角为 , 此时太阳直射纬度为 , 那么这三个量之间的关系是 =90° -| - |. 当地夏半年 取正值 , 冬半年 取负值 . 依据地理学问 , 能够被太阳直射到的地区为南、北回来线之间的地带, 图形如图3, 由画图易知太阳高度角 、楼高 h0 与此时楼房在地面的投影长 h 之间有如下关系 : h 0=htan . 由地理学问知 , 在北京地区 , 太阳直射北回来线时物体的影子最短 , 直射南回来线时物体的影子最长 . 因此 , 为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡 的情形 . 图 3 , 应当考虑太阳直射南回来线时解: 如图 3,A 、B、 C分别为太阳直射北回来线、赤道、南回来线时楼顶在地面上的投影点. 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 应取太阳直射南回来线的情形考虑,此时的太阳直射纬度23° 26. 依题意两楼的间距应不小于MC. 依据太阳高度角的定义, 有 C 90° |40 ° 23° 26| 26° 34, 所以 MCh 0C=tanh 034 '2.000h 0, tan26即在盖楼时 , 为使后楼不被前楼遮挡, 要留出相当于楼高两倍的间距. 点评 : 本例是争论楼高与楼在地面的投影长的关系问题, 是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简洁函数模型, 然后依据所得的函数模型解决问题. 要直接依据图2 来建立函 第 5 页,共 10 页 数模型 , 同学会有肯定困难, 而解决这一困难的关键是联系相关学问, 画出图3, 然后由图形建立函数模型 , 问题得以求解 . 这道题的结论有肯定的实际应用价值. 教学中 , 老师可以在这细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -道题的基础上再提出一些问题学习必备欢迎下载. , 如下例的变式训练, 激发同学进一步探究变式训练 某市的纬度是北纬 23° , 小王想在某住宅小区买房 , 该小区的楼高 7 层, 每层 3 米, 楼与楼 之间相距 15 米. 要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡 , 他应挑选哪几层的 房？图 4 解: 如图 4, 由例 3 知 , 北楼被南楼遮挡的高度为h=15tan 90° -23 ° +23° 26 =15tan43 ° 34 14.26, 由于每层楼高为3 米, 依据以上数据 , , 在肯定的时候发生涨落的现象叫潮. 一般地 ,所以他应选3 层以上 . 例 4 货船进出港时间问题: 海水受日月的引力早潮叫潮 , 晚潮叫汐 . 在通常情形下 , 船在涨潮时驶进航道 , 靠近码头 ; 卸货后 , 在落潮时返回海洋 . 下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表 : 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 /5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 米1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 , 给出整点时的水深的近似数值 精确到 0.001. 2 一条货船的吃水深度船底与水面的距离 为 4 米, 安全条例规定至少要有1.5 米的安. 第 6 页,共 10 页 全间隙 船底与洋底的距离, 该船何时能进入港口.在港口能呆多久. 3 如某船的吃水深度为4 米, 安全间隙为1.5 米, 该船在 2:00 开头卸货 , 吃水深度以每小时 0.3 米的速度削减 , 那么该船在什么时间必需停止卸货, 将船驶向较深的水域. 活动 : 引导同学观看上述问题表格中的数据, 会发觉什么规律.比如重复显现的几个数据并进一步引导同学作出散点图. 让同学自己完成散点图, 提示同学留意认真精确观看散点图,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载.如图 6. 老师引导同学依据散点的位置排列, 摸索可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律依据散点图中的最高点、最低点和平稳点 , 同学很简洁确定挑选三角函数模型 . 港口的水深与时间的关系可以用形如 y=Asin x+ +h 的函数来刻画 . 其中 x 是时间 ,y 是水深 , 我们可以依据数据确定相应的 A, , ,h 的值即可 . 这时留意引导同学与“ 五点法”相联系 . 要求同学独立操作完成 , 老师指导点拨 , 并订正可能显现的错误 , 直至无误地求出解析式 , 进而依据所得的函数模型 , 求出整点时的水深 . 图 6 依据同学所求得的函数模型 , 指导同学利用运算器进行运算求解 . 留意引导同学正确理解题意 , 一天中有两个时间段可以进港 . 这时点拨同学摸索 : 你所求出的进港时间是否符合时间情形？假如不符合 , 应怎样修改？让同学养成检验的良好习惯 . 在本例 3 中, 应保持港口的水深不小于船的安全水深, 那么如何刻画船的安全水深呢？引导同学摸索 , 怎样把此问题翻译成函数模型. 求货船停止卸货, 将船驶向深水域的含义又是什么 .老师引导同学将实际问题的意义转化为数学说明, 同时提示同学留意货船的安全水深、港口的水深同时在变 , 停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候 . 进一步引导同学摸索 : 依据问题的实际意义 , 货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让同学摸索、争论后再由老师组织同学进行评判 . 通过争论或争辩 , 最终得出一样结论: 在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的 , 由于这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨 . 解:1 以时间为横坐标 , 水深为纵坐标 , 在直角坐标系中画出散点图 图 6. 依据图象 , 可以考虑用函数 y=Asin x+ +h 刻画水深与时间之间的对应关系 . 从数据和图象可以得出 : A2.5,h 5,T 12, 0, 细心整理归纳 精选学习资料 由 T212, 得 6. 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载6x+5 近似描述 . 所以这个港口的水深与时间的关系可用y2.5sin时由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值: 7:00 8:00 9:00 10:011:00:00 1:00 2:00 3:04:00 5:00 6:00 刻0 5.003.752.832.500 0 水5.006.257.167.5 7.166.252.833.75深0 0 5 5 0 0 4 5 0 5 4 时刻12:013:014:015:016:017:018:019:020:021:022:023:0水深0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.006.257.167.5 7.166.255.003.752.832.502.833.750 0 5 5 0 0 4 5 0 5 4 2 货船需要的安全水深为4+1.5 5.5 米, 所以当 y5.5 时就可以进港 . 令 2.5sin6x+5=5.5,sin6x=0.2. 由运算器可得MODE MODE 2 SHIFT sin-10.2 = 0.201 357 920.201 4. 内, 函数 y2.5sin6x+5 的图象与直线y5.5 有两个交点A、B, 第 8 页,共 10 页 如图 7, 在区间 0,12细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图 7 因此 x0.201 4, 或 x0.201 4. 6 6解得 xA0.384 8,x B5.615 2. 由函数的周期性易得 :xC12+0.384 8 12.384 8,x D 12+5.615 2 17.615 2. 因此 , 货船可以在 0 时 30 分左右进港 , 早晨 5 时 30 分左右出港 ; 或在中午 12 时 30 分左右进港 , 下午 17 时 30 分左右出港 . 每次可以在港口停留 5 小时左右 . 图 8 3 设在时刻 x 货船的安全水深为 y, 那么 y=5.5-0.3x-2x2. 在同一坐标系内作出这两个函数的图象 , 可以看到在 67 时之间两个函数图象有一个交点 如图 8. 通过运算也可以得到这个结果 . 在 6 时的水深约为 5 米, 此时货船的安全水深约为 4.3米;6.5 时的水深约为 4.2 米, 此时货船的安全水深约为 4.1 米;7 时的水深约为 3.8 米, 而货船的安全水深约为 4 米. 因此为了安全 , 货船最好在 6.5 时之前停止卸货 , 将船驶向较深的水域. 点评 : 本例是争论港口海水深度随时间呈周期性变化的问题, 题目只给出了时间与水深的关系表 , 要想由此表直接得到函数模型是很困难的 . 对第 2 问的解答 , 老师引导同学利用运算器进行运算求解 . 同时需要强调 , 建立数学模型解决实际问题 , 所得的模型是近似的 , 并且得到的解也是近似的 . 这就需要依据实际背景对问题的解进行详细的分析 . 如本例中 , 一天中有两个时间段可以进港 , 老师应引导同学依据问题的实际意义 , 对答案的合理性作出说明 . 四、课堂小结1. 本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用, 即依据图象建立解析式, 依据解析式作出图象 , 将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型 型解决实际问题的基本步骤吗？. 你能概括出建立三角函数模细心整理归纳 精选学习资料 2. 实际问题的背景往往比较复杂, 而且需要综合应用多学科的学问才能解决它. 因此 , 在 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -应用数学学问解决实际问题时学习必备欢迎下载, 仍要调动相, 应当留意从复杂的背景中抽取基本的数学关系关学科学问来帮忙懂得问题 . 课后作业：1. 课本 P65 练习 1,2,3. 2. 搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型 . 解: 如以下两例 : 人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化 体温、睡眠节奏、饥饿程度等；, 如人体脉搏、呼吸、排泄、蜕皮 tuipi昆虫纲和甲壳纲等节肢动物, 以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - 层, 虽有爱护身体的作用, 但限制动物的生长、发育. 因此 , 在胚后发育过程中, 必需进行1 次或数次脱去旧表皮, 再长出宽大的新表皮后, 才变成成虫 , 这种现象称为蜕皮；蜕下的“ 旧表皮” 称为“ 蜕”, 只有这样 , 虫体才能得以连续充分生长、发育. 蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的预备和蜕皮过程是连续进行的. 此外 , 脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显, 如蜥蜴和蛇具有双层角质层, 其外层在定期蜕皮时脱掉, 蛇的外层角质层连同眼球外面透亮的皮肤,约每 2 个月为一个周期可完整地脱落1 次, 称为蛇蜕 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -