非线性系统 (3)优秀课件.ppt

非线性系统第1页，本讲稿共44页点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作过介绍。线点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作过介绍。线性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。当然不要忘记，这种分性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。当然不要忘记，这种分析计算的结果只是在限制条件下才是有效的。如果析计算的结果只是在限制条件下才是有效的。如果系统的非线性因素既不系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处理的条件，能忽略，又不符合线性化处理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。对非线性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，讨论了。对非线性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，而且往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面法，用而且往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提供一些基本的概念于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提供一些基本的概念和方法，和方法，对非线性系统的分析主要使用对非线性系统的分析主要使用xoBoxxoBox分析软件的非线性仿分析软件的非线性仿真功能。真功能。系系统统的的非非线线性性一一般般会会对对系系统统的的工工作作产产生生不不利利的的影影响响，但但在在某某些些情情况况下下，人人为为地地使使系系统统非非线线性性也也可可以以使使控控制制系系统统结结构构简简化化而而又又改改善善系系统统的的某某些些性性能能。因此正确运用非线性系统的概念，在系统没计中也是至关重要的。因此正确运用非线性系统的概念，在系统没计中也是至关重要的。第2页，本讲稿共44页 二、典型非线性特性二、典型非线性特性 常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。1 1死区死区(不灵敏区不灵敏区)特性特性 死区特性的输入输出关系如图死区特性的输入输出关系如图7 71 1所示，所示，输入在低于某值时无输出。输入在低于某值时无输出。例如测速发电例如测速发电机的输出电压与输入转速应成正比，但由机的输出电压与输入转速应成正比，但由于有电刷压降的存在，只有在转速超过某于有电刷压降的存在，只有在转速超过某一值后，才会有电压的输出，形成了一定一值后，才会有电压的输出，形成了一定的转速、电压关系的死区。二极管正向开的转速、电压关系的死区。二极管正向开放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。死死区区的的存存在在会会使使系系统统的的稳稳态态误误差差增增大大，在在调调速速系系统统中中使使低低速速运运动的不平滑性增大。动的不平滑性增大。2 2饱和特性饱和特性 饱和特性的输入输出关系如图饱和特性的输入输出关系如图7 72 2，有时为简化，可把它近似为理想饱和特，有时为简化，可把它近似为理想饱和特性，即由两条直线来表示。也就是说，性，即由两条直线来表示。也就是说，当输入当输入低于某值时，输出与输入成正比，而低于某值时，输出与输入成正比，而第3页，本讲稿共44页当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。例如电机的磁例如电机的磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能影响系统饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能影响系统的稳定性。但饱和特性也可以起保护等有利的作用。的稳定性。但饱和特性也可以起保护等有利的作用。3 3间间隙隙(回回环环)特特性性 间间隙隙特特性性的的输输入入输输出出关关系系如如图图7-37-3所所示示。输输出出在在输输入入增增加加、减减少少时时与与输输入入成成不不同同的的直直线线关关系系，当当输输入入x x在在不不断断增增大大时时，输输出出y y与与输输入入x x的的关关系系由由图图7-37-3中中箭箭头头向向右右的的线线段段确确定定，当当输输入入x x在在不不断断减减小小时时，输输出出y y与输入与输入x x的关系由图的关系由图7-37-3中箭头中箭头向左的线段确定。即向左的线段确定。即输出不仅与输入量的大小有关，而且还与输入输出不仅与输入量的大小有关，而且还与输入量的变化状态有关。量的变化状态有关。例如齿轮传动中的间隙，这是由于制造精度所例如齿轮传动中的间隙，这是由于制造精度所限和为保证转动灵活而不卡死所必需的，它使齿轮传动时在由正向限和为保证转动灵活而不卡死所必需的，它使齿轮传动时在由正向变反向时，必须经转动了间隙间距后，才会有力矩传递的作用，在变反向时，必须经转动了间隙间距后，才会有力矩传递的作用，在铁心中，由于磁滞的存在，磁化曲线也具有这种特性。铁心中，由于磁滞的存在，磁化曲线也具有这种特性。第4页，本讲稿共44页 4 4继继电电特特性性 一一般般的的继继电电特特性性的的输输入入输输出出关关系系如如图图7 74 4所所示示。它它相相当当于于上上述述三三种种特特性性的的综综合合：输输出出存存在在死死区区，当当输输入入达达某某值值时时，输输出出立立即即跃跃变变为为定定值值，相相当当于于饱饱和和，而而在在输输出出饱饱和和区中又存在回环。区中又存在回环。电器。电器。中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电压的不同而形中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用来改善系统性能，但也可能成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。带来不利的作用。5 5变增益特性变增益特性 变增益特性的输入输出关系变增益特性的输入输出关系如图如图7 75 5所示。这种特性表明，在所示。这种特性表明，在输入信号不输入信号不同范围时，元件或系统的增益也不同，同范围时，元件或系统的增益也不同，小信小信号时增益低，大信号时增益高号时增益低，大信号时增益高(当然也可以相反当然也可以相反)。这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；还可以这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；还可以起抑制高频低振幅噪音的作用。起抑制高频低振幅噪音的作用。第5页，本讲稿共44页 上上述述各各种种非非线线性性特特性性都都是是典典型型和和理理想想的的，实实际际的的情情况况可可能能还还要要更更复复杂杂些些，也也可可能能是是各各种种典典型型特特性性的的组组合合，改改变变上上述述五五种种非非线线性性特特性性的的特特征征参参数数可可以以得得到到几几十十种种不不同同形形状状的的非非线线性性特特性性，但但利利用用典典型型特特性性作作为为例例子子来来分分析析讨讨论论非非线线性性系系统统的的问问题题是是比比较较方方便便而而又又不失一般性。不失一般性。三、非线性系统的工作特点三、非线性系统的工作特点 描描述述非非线线性性系系统统运运动动过过程程的的数数学学模模型型是是非非线线性性微微分分方方程程，它它不不能能使使用用叠叠加加原原理理，因因而而设设有有一一个个通通用用的的方方法法来来处处理理所所有有非非线线性性问问题题。非非线线性系统的运动规律也与线性系统有许多不同之处。例如性系统的运动规律也与线性系统有许多不同之处。例如 (1)(1)线线性性系系统统的的稳稳定定性性只只取取决决于于系系统统的的结结构构和和参参数数，而而与与输输入入信信号号的的大大小小及及系系统统的的初初始始条条件件无无关关。但但非非线线性性系系统统的的稳稳定定性性，除除了了和和系系统统的的结结构构和和参参数数有有关关外外，还还与与输输入入信信号号的的大大小小及及系系统统的的初初始始条条件件有有关关。因因此此，在在非非线线性性系系统统中中必必须须针针对对具具体体的的某某一一运运动动来来讨讨论论系系统统的的稳稳定定性性问问题题。有有些些系系统统可可能能在在小小信信号号作作用用下下是是稳稳定定的的，而而在在大大信信号号下下则则可可能能是是不不稳稳定定的的。对对于于初初始始条条件件也也存存在在着着这这种种类类似似的的可可能性。下面将要提到的例子可以说明这个问题。能性。下面将要提到的例子可以说明这个问题。第6页，本讲稿共44页 (2)(2)线线性性系系统统暂暂态态过过程程的的形形式式与与初初始始条条件件或或外外作作用用的的大大小小无无关关，如如果果线线性性系系统统在在某某一一初初始始条条件件或或某某一一输输入入幅幅值值下下的的时时间间响响应应是是衰衰减减振振荡荡的的形形式式，那那么么它它在在任任何何初初始始条条件件或或同同一一形形式式输输入入的的任任何何幅幅值值下下的的时时间间响响应应将将仍仍是是衰衰减减振振荡荡的的形形式式。对对于于非非线线性性系系统统，它它的的暂暂态态过过程程的的形式与初始条件有关。形式与初始条件有关。(3)(3)定定常常线线性性系系统统在在没没有有外外作作用用时时，只只有有在在阻阻尼尼系系数数0 0时时才才可可能能发发生生等等幅幅的的周周期期振振荡荡，而而实实际际上上，任任何何真真实实的的物物理理系系统统都都存存在在不不同同程程度度的的阻阻尼尼，即即阻阻尼尼系系数数不不可可能能为为零零。退退一一步步说说，即即使使系系统统能能达达到到0 0的的临临界界状状态态，由由于于各各种种扰扰动动，等等幅幅的的周周期期振振荡荡也也是是不不可可能能维维持持的的。对对于于非非线线性性系系统统，在在没没有有外外作作用用时时，也也可可能能会会产产生生频频率率、振振幅幅不不变变的的稳稳定定的的周周期期运运动动，而而且且在在系系统统参参数数一一定定的的变变化化范范围围内内仍仍能能维维持持。这这种种产产生生于于非非线线性性系系统统内内部部的的稳稳定定的的周周期期运运动动，叫叫做做自自振振荡荡或或自自持持振振荡荡，简简称称自自振振。通通常常认认为为自自振振是是不不好好的的，强强烈烈的的自自振振会会对对系系统统起起破破坏坏作作用用。但但是是，自自振振也也被被用用来来改改善善系系统统的的某某些些性性能能，如如用用高高频频小小振振幅幅的的颤颤振振克克服服摩摩擦擦和和间间隙隙等等的的影影响响。自自振振问问题题是是研究非线性系统的重要内容之一。研究非线性系统的重要内容之一。第7页，本讲稿共44页(4)(4)线线性性系系统统在在正正弦弦输输入入下下的的输输出出是是同同频频率率的的正正弦弦函函数数。而而非非线线性性系系统统在在正正弦弦输输入入下下的的输输出出是是比比较较复复杂杂的的，它它可可以以包包含含高高次次谐谐波波，系系统统可可能能产产生生除除与与输输入入频频率率相相同同的的振振荡荡外外，还还会会产产生生其其它它频频率率的的振振荡荡。当当输输入入频频率率由由小小到到大大变变化化时时，其其幅幅频频的的数数值值可可能能会会发发生生跳跳跃跃式式的的突突变变，出出现现所所谓谓跳跳跃跃谐谐振振和和多多值值响响应应。非非线线性性系系统统还还有有许多其它奇特现象，在此不再一一列举。许多其它奇特现象，在此不再一一列举。本本章章首首先先讨讨论论非非线线性性系系统统的的相相平平面面法法的的基基本本思思想想、特特点点和和应应用用情情况况。然然后后介介绍绍非非线线性性系系统统的的描描述述函函数数法法及及其其在在分分析析非非线线性性系系统统稳稳定定性性问问题题中中的的应应用，最后结合用，最后结合xoBoxxoBox软件对各典型非线性环节进行分析。软件对各典型非线性环节进行分析。772 2 相平面法相平面法二二阶阶非非线线性性系系统统解解的的轨轨迹迹能能用用平平面面上上的的曲曲线线表表示示，因因此此非非线线性性系系统统的的许许多多概概念念都都能能有有简简单单、明明确确的的几几何何解解释释。相相平平面面法法是是一一种种求求解解二二阶阶非非线线性性方方程程的的图图解解方方法法，是是状状态态空空间间法法在在二二维维空空间间情情况况下下的的应应用用。用用这这种种方方法法不不但但能能判判定定非非线线性性系系统统的的稳稳定定性性，还还可可以以给给出出系系统的时间响应。统的时间响应。第8页，本讲稿共44页 设二阶系统的微分方程为设二阶系统的微分方程为 若若 a a1 1、a a2 2是是 的的 函函 数数，那那 么么 微微 分分 方方 程程 就就 是是 非非 线线 性性 的的。取取 两两 个个状状 态态 变变 量量 ，则，则二阶系统可用如下两个一阶微分方程来表示，即二阶系统可用如下两个一阶微分方程来表示，即 当当t t变化时，以解出的变化时，以解出的1 1为横坐标为横坐标;2 2为为纵坐标纵坐标绘出的轨迹称为状态平面轨迹。对绘出的轨迹称为状态平面轨迹。对于于 这种特定形式的状态这种特定形式的状态平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹如图平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹如图7 76 6所示。所示。由于由于 即为系统的输出量，即为系统的输出量，因此，从图中可以看出，该因此，从图中可以看出，该系统是衰减振荡的，最终系统输出为零。故系统稳定。也就是说，系统是衰减振荡的，最终系统输出为零。故系统稳定。也就是说，相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的许多信息。只要绘出相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的许多信息。只要绘出了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行时域分析了。了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行时域分析了。第9页，本讲稿共44页下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。二、相轨迹的绘制方法二、相轨迹的绘制方法 根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方法可以是根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方法可以是解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，应解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统的分段线性化，但这究竟是用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性系统而言，常需要用图解法来绘制相属于少数的情况。就一的般非线性系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法有两种、即等倾线法和轨迹。图解法常用的方法有两种、即等倾线法和法。本书只介绍法。本书只介绍等等倾线法倾线法。设巳知系统微分方程为设巳知系统微分方程为 如前所述，取两个状态变量如前所述，取两个状态变量 ，则，则状态方程为状态方程为第10页，本讲稿共44页将以上两个状态方程相除，可以得到下式将以上两个状态方程相除，可以得到下式很很显显然然这这是是相相轨轨迹迹的的斜斜率率，从从其其关关系系式式可可知知，相相轨轨迹迹的的斜斜率率完完全全取取决决于于它它的的微微分分方方程程，因因此此不不同同的的系系统统有有不不同同的的相相轨轨迹迹，与与线线性性系系统统的的根轨迹、频率特性一样，根轨迹、频率特性一样，相轨迹完全反映系统的特性。相轨迹完全反映系统的特性。根据式（根据式（7-27-2）可以得到）可以得到绘制相轨迹的方法。绘制相轨迹的方法。若要绘制从初始状态若要绘制从初始状态开始的相轨迹，只要开始的相轨迹，只要把状态变量值代入式（把状态变量值代入式（7-27-2）算出该点相轨迹）算出该点相轨迹的斜率，的斜率，由于在小范围内，曲线的切线与曲线是重合的，因此由于在小范围内，曲线的切线与曲线是重合的，因此沿着该点沿着该点的切线画一小段，的切线画一小段，这段也近似为相轨迹上的一小段，这段也近似为相轨迹上的一小段，得到新的状得到新的状态变量值后，重复以上步骤态变量值后，重复以上步骤就可绘出系统的相轨迹了。就可绘出系统的相轨迹了。xoBox xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序，下面举分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBoxxoBox软件绘制相轨迹子程序的使软件绘制相轨迹子程序的使用方法。用方法。第11页，本讲稿共44页例例7-1 7-1 非线性系统如图非线性系统如图7 77 7所示，绘制相轨迹。所示，绘制相轨迹。解解 系统线性部分的微分方程为系统线性部分的微分方程为 系统非线性部分特性为系统非线性部分特性为 为使系统的平衡点移至相平面原点为使系统的平衡点移至相平面原点,可令可令 则可得则可得到到于是有于是有第12页，本讲稿共44页用用xoBoxxoBox软软件件绘绘制制相相轨轨迹迹非非常常简简单单，只只需需输输入入非非线线性性特特性性的的特特征征值值、线线性性部部分分的的传传递递函函数数及及初初始始状状态态值值即即可可。上上例例用用xoBoxxoBox软软件件绘绘制制的的相相轨轨迹迹与与图图7-87-8一样。由图可知，系统稳定，并且无振荡。稳态误差一样。由图可知，系统稳定，并且无振荡。稳态误差0.05 0.05。773 3 描述函数法描述函数法一、概述一、概述如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对此可以如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对此可以用描述函数法进行分析。用描述函数法进行分析。初始状态确定后，例如初始状态确定后，例如 ，将将状状态态变变量量值值代代入入上上式式就就可可开开始始绘绘图图了了，由由于于非非线线性性特特性性f f(e)(e)有有三三种种可可能能的的值值，因因此此在在计计算算斜斜率率时时，要要根根据据1 1的的大大小小正正确确选选用用f f(e)(e)三三种种取取值值中中的的一一个个。绘绘出出的的相相轨轨迹迹如如图图7-8 7-8 例例7-17-1的相轨迹所示。的相轨迹所示。第13页，本讲稿共44页描描述述函函数数法法是是线线性性系系统统频频率率特特性性法法在在一一定定条条件件下下在在非非线线性性系系统统分分析析中中的的推推广广应应用用，实实际际上上是是采采用用了了谐谐波波线线性性化化来来近近似似分分析析非非线线性性系系统统的的方法。下面概略地说明它的含义。方法。下面概略地说明它的含义。对对于于线线性性元元件件或或系系统统，当当输输入入正正弦弦函函数数时时，它它的的输输出出也也是是正正弦弦函函数数，而而且且频频率率完完全全相相同同，输输出出与与输输入入的的幅幅值值比比和和相相位位差差是是频频率率的的函函数数，它它也也就就是是元元件件或或系系统统的的频频率率特特性性。线线性性元元件件或或系系统统的的频频率率特特性性与与输输入入函函数数的的幅幅值值无无关，因为线性元件具有叠加性和均匀性，这些都是众所周知的。关，因为线性元件具有叠加性和均匀性，这些都是众所周知的。非非线线性性元元件件输输入入正正弦弦函函数数时时，它它的的输输出出将将是是一一个个周周期期函函数数，除除了了有有和和输输入入相相同同频频率率的的正正弦弦函函数数外外，还还存存在在其其它它频频率率的的所所谓谓谐谐波波成成分分。按按照照谐谐波波分分析析的的方方法法，可可以以把把输输出出分分解解为为和和输输入入同同频频率率的的基基波波和和其其它它频频率率的的谐谐波波。如如果果现现在在忽忽略略各各次次谐谐波波，只只讨讨论论输输出出的的基基波波正正弦弦函函数数与与输输入入正正弦弦函函数数的的关关系系，这这就就是是谐谐波波线线性性化化的的基基本本出出发发点点。在在这这种种情情况况下下，同同样样可可以以讨讨论论非非线线性性元元件件输输出出与与输输入入正正弦弦函函数数的的幅幅值值比比和和相相位位差差，但但显显然然可可知，这个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，知，这个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，第14页，本讲稿共44页或者说它是输入幅值的函数。如果用复数来表示或者说它是输入幅值的函数。如果用复数来表示幅值比和相位差与输幅值比和相位差与输入幅值的函数关系，入幅值的函数关系，那么这个复变函数就称为那么这个复变函数就称为非线性元件的描述函数。非线性元件的描述函数。用用描描述述函函数数只只能能反反映映非非线线性性元元件件在在输输入入正正弦弦函函数数时时输输出出的的基基波波部部分分，但但考考虑虑到到非非线线性性系系统统中中同同时时存存在在很很多多线线性性元元件件，而而这这些些元元件件一一般般都都具具有有低低通通特特性性，故故非非线线性性元元件件输输出出的的高高次次谐谐波波将将被被线线性性元元件件衰衰减减，最最后后使使谐谐波波对对整整个个系系统统的的工工作作不不会会发发生生很很大大的的影影响响。因因此此，把把描描述述函函数数代代表表非非线线性性元元件件放放在在系系统统中中，然然后后用用频频率率特特性性法法来来分分析析系系统统就就是是完完全全可可行行的的了了。当当然然，描描述述函函数数是是输输入入幅幅值值的的函函数数，因因而而用用描描述述函函数数法法分分析析非非线线性性系系统统时时，既既应应用用了了频频率率特特性性的的一一些些基基本本概概念念，又又有有不不完完全全相相同同的的分分析析方方法。法。综综上上所所述述，若若把把描描述述函函数数用用复复函函数数表表示示出出来来，它它的的幅幅值值等等于于非非线线性性元元件件输输出出信信号号的的基基波波分分量量的的幅幅值值与与输输入入正正弦弦信信号号的的幅幅值值之之比比，它它的的相相角角等等于上述两个正弦函数的相角差，即于上述两个正弦函数的相角差，即第15页，本讲稿共44页式中式中 N(X)N(X)非线性元件的描述函数，非线性元件的描述函数，X X正弦输入信号的幅值，正弦输入信号的幅值，X Xc1c1非线性元件输出信号基波分量的幅值非线性元件输出信号基波分量的幅值 1 1非非线线性性元元件件输输出出信信号号基基波波分分量量与与输输入入正正弦弦信信号号的的相相位位差。差。描述函数一般为输入信号幅值的函数。描述函数一般为输入信号幅值的函数。二、描述函数的计算二、描述函数的计算 设设非非线线性性元元件件的的输输入入为为 ，输输出出c c为为周周期期函函数数，则则可可将将它它展开为展开为富氏级数形式为富氏级数形式为 第16页，本讲稿共44页式中式中 考考虑虑一一般般的的非非线线性性特特性性都都是是奇奇对对称称的的，故故A A0 00 0，再再忽忽略略式式（7-47-4）中中的高次谐波，可得的高次谐波，可得输出信号的基波分量为输出信号的基波分量为第17页，本讲稿共44页式中式中 于是可得到于是可得到非线性环节的描述函数为非线性环节的描述函数为第18页，本讲稿共44页 求求非非线线性性环环节节的的描描述述函函数数时时，必必须须先先求求非非线线性性环环节节的的正正弦弦响响应应函函数数c c（t t），然然后后再再把把c c（t t）按按富富氏氏级级数数展展开开即即可可。下下面面通通过过求求图图7-9 7-9 所所示示饱饱和和特特性性的的描描述述函函数数来来进进一一步步说说明明求求取描述函数的方法。取描述函数的方法。饱和特性的数学表达式为饱和特性的数学表达式为 令输入令输入 ，则环节的，则环节的正弦响应函数正弦响应函数c c为为第19页，本讲稿共44页将将c c按富氏级数展开，由于饱和特性是单值奇对称的，故。按富氏级数展开，由于饱和特性是单值奇对称的，故。而而饱和特性的描述函数为饱和特性的描述函数为第20页，本讲稿共44页式式中中XaXa系系统统才才会会进进入入饱饱和和区区，否否则则系系统统始始终终在在线线性性区区内内工工作作，再再求求描描述述函数就没有意义了。函数就没有意义了。实实际际应应用用中中，常常将将描描述述函函数数表表示示为为X/aX/a的的函函数数，并并将将其其中中与与线线性部分增益有相同作用的参量性部分增益有相同作用的参量K Kn n分离出来。于是有分离出来。于是有 习惯上将习惯上将 称为相对描述函数。称为相对描述函数。分分析析非非线线性性系系统统时时，为为了了与与系系统统线线性性部部分分相相配配合合使使用用线线性性理理论论的的某某些些结结论论，经经常常用用到到“负负倒倒相相对对描描述述函函数数 ”的的形形式式，并并将将其其写写成成幅相特性的形式，即幅相特性的形式，即 与与线线性性系系统统一一样样，对对上上式式的的幅幅值值取取对对数数，还还可可以以绘绘出出对对数数幅幅相相特性曲线图，这样分析非线性系统就更加方便了。特性曲线图，这样分析非线性系统就更加方便了。其它非线性特性的描述函数请参阅教材表其它非线性特性的描述函数请参阅教材表7-17-1。第21页，本讲稿共44页 但是，应该强调的是，但是，应该强调的是，描述函数虽然可以写成与频率特性类似的形描述函数虽然可以写成与频率特性类似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特性的参数及输入正弦信号的式，但其变量不是频率，而是非线性特性的参数及输入正弦信号的幅值。幅值。三、用描述函数分析非线性系统的性能三、用描述函数分析非线性系统的性能 设设非非线线性性系系统统可可以以分分为为非非线线性性部部分分和和线线性性部部分分。前前面面已已经经提提到到过过，线线性性部部分分一一般般具具有有低低通通性性质质，故故非非线线性性部部分分在在输输入入正正弦弦函函数数后后所所产产生生的的高高次次谐谐波波将将被被衰衰减减，因因此此用用频频率率特特性性法法分分析析此此系系统统时时，非非线线性性元元件件用用描描述述函函数数等等效效是是可可以以的的。在在这这种种情情况况下下，非非线线性性系系统统就就可可以以表表示示为为如如图图7-107-10的的方方框框图图。图图中中为为非非线线性性元元件件的的描描述述函函数数，G G0 0(j)(j)为为线线性性部部分分的的频频率特性。率特性。此系统的闭环频率特性为此系统的闭环频率特性为 故故系系统统的的闭闭环环特特征征方方程程的的频频率率函函数数为为 第22页，本讲稿共44页 即即 如如果果 1 1，则则系系统统就就是是线线性性的的，此此时时的的 就就是是系系统统的的开开环环频频率率特特性性，根根据据奈奈氏氏稳稳定定判判据据，如如果果开开环环稳稳定定，则则 曲曲线线不不包围包围(-1(-1，j0)j0)点时系统闭环稳定，点时系统闭环稳定，曲线包围曲线包围(-1(-1，j0)j0)点时系统闭环不稳定。现在用点时系统闭环不稳定。现在用 代替了代替了1 1，那么，那么可以利用同样的概念，可得可以利用同样的概念，可得非线性系统的奈氏稳定判据如下：非线性系统的奈氏稳定判据如下：若线性部分开环频率特性若线性部分开环频率特性 是稳定的，则是稳定的，则 (1)(1)如如果果 曲曲线线没没有有被被 曲曲线线所所包包围围，那那么么非非线线性性系统是稳定的。系统是稳定的。第23页，本讲稿共44页 (2)(2)如如果果 曲曲线线被被 曲曲线线包包围围，那那么么非非线线性性系系统统是是不不稳定的。稳定的。(3)(3)如如果果 曲曲线线与与 曲曲线线相相交交，那那么么非非线线性性系系统统可可能能出出现现自自持持振振荡荡。振振荡荡幅幅值值由由自自持持振振荡荡点点处处上上对对应应的的X X值值确确定定，振振荡荡频频率率由由自自持振荡点处上对应的持振荡点处上对应的确定。确定。第24页，本讲稿共44页图图7-117-11绘出了三种可能出现的情况。其中，图绘出了三种可能出现的情况。其中，图a a）不包围，故系统稳）不包围，故系统稳定。图定。图b b）包围。故系统不稳定；图）包围。故系统不稳定；图c)c)与与 曲线相交，系统出现自持振荡，其中交点曲线相交，系统出现自持振荡，其中交点a a是自持振荡是自持振荡点，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于点，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于X Xa a,这时工作点将从这时工作点将从a a移到移到c c点，另一方面，点，另一方面，将不包围将不包围 系统进入稳定区，系统呈衰系统进入稳定区，系统呈衰减振荡状态，振幅将逐步减小直至回到减振荡状态，振幅将逐步减小直至回到X Xa a，反之，假设由于某种原因，反之，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅小于使周期振荡的振幅小于X Xa a,这时工作点将从这时工作点将从a a移到移到d d点，另一方面，点，另一方面，将包围将包围 系统进入不稳定区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大系统进入不稳定区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大直至回到直至回到X Xa a，因此周期振荡点，因此周期振荡点a a点是稳定振荡点，我们把这样的交点点是稳定振荡点，我们把这样的交点叫做自持振荡点。叫做自持振荡点。第25页，本讲稿共44页 同样的方法可以判断出交点同样的方法可以判断出交点b b点是不稳定的周期振荡点。假设由点是不稳定的周期振荡点。假设由于某种原因，使周期振荡的振幅大于于某种原因，使周期振荡的振幅大于X Xb b,这时工作点将从这时工作点将从b b移到移到e e点，点，另一方面，另一方面，将包围将包围 系统进入不稳定区，系统呈增系统进入不稳定区，系统呈增幅振荡状态，振幅将逐步增大直至到达幅振荡状态，振幅将逐步增大直至到达X Xa a，假设由于某种原因，假设由于某种原因，使周期振荡的振幅小于使周期振荡的振幅小于X Xb b,这时工作点将从这时工作点将从b b移到移到f f点，另一方面，点，另一方面，将包围将包围 系统进入稳定区，系统呈衰减振荡状态，振幅将逐系统进入稳定区，系统呈衰减振荡状态，振幅将逐步减小直至到达零为止，因此周期振荡点步减小直至到达零为止，因此周期振荡点b b点是不稳定振荡点。点是不稳定振荡点。因此，判断自持振荡点的准则是：因此，判断自持振荡点的准则是：负倒相对描述函数沿负倒相对描述函数沿X X增大的方向增大的方向从被从被 包围的不稳定区域穿出，则该交点就是自持振荡点。包围的不稳定区域穿出，则该交点就是自持振荡点。第26页，本讲稿共44页 例例7 72 2 已已知知系系统统方方框框图图如如图图7 712 12 所所示示。非非线线性性元元件件为为理理想想饱饱和和特特性性，它它的的参参数数为为a a2 2，K K1010。试试分分析析此此非非线线性性系系统统的的稳稳定定性性。若若a a2 2，K K2020又将如何又将如何?令令K Kn nK K1010，分分别别绘绘出出 和和 的的幅幅相相特特性性曲曲线线如如图图7-137-13所所示，从图中看出，示，从图中看出，不包围不包围 故系统稳定。故系统稳定。解解 分析系统稳定性就要先求出非线性元件的负倒相对描述函分析系统稳定性就要先求出非线性元件的负倒相对描述函数特和线性部分的幅相频率特性。理想饱和特性的负倒相对描述数特和线性部分的幅相频率特性。理想饱和特性的负倒相对描述函数为函数为 第27页，本讲稿共44页 a a2 2，K Kn nK K2020时，如图中时，如图中K Kn n2020的幅相频率特性，从图中看出，两的幅相频率特性，从图中看出，两条曲线相交，且沿着条曲线相交，且沿着X X增大的方向增大的方向 从不稳定区穿出，故交点为自持振荡从不稳定区穿出，故交点为自持振荡点，该点对应的点，该点对应的X/aX/a1.551.55，X X3.13.1；7.1rad/s7.1rad/s，即自持振荡的振幅，即自持振荡的振幅为为3.13.1，振荡频率为，振荡频率为7.1rad/s7.1rad/s。774 4 非线性系统的仿真分析非线性系统的仿真分析通通过过前前面面几几节节的的介介绍绍，对对非非线线性性系系统统的的基基本本概概念念及及基基本本系系统统方方法法有有了了基基本本的的了了解解，从从中中也也发发现现，要要用用上上述述方方法法分分析析非非线线性性系系统统其其实实是是非非常常困困难难的的，并并且且分分析析结结果果的的误误差差也也很很大大。xoBoxxoBox分分析析软软件件把把非非线线性性环环节节与与线线性性环环节节连连接接后后再再进进行行仿仿真真，就就实实现现了了非非线线性性系系统统的的仿仿真。下面就使用真。下面就使用xoBoxxoBox分析软件来分析各种非线性系统的特性。分析软件来分析各种非线性系统的特性。第28页，本讲稿共44页 一、非线性系统结构图的简化一、非线性系统结构图的简化 要要讨讨论论、分分析析非非线线性性系系统统，需需要要将将各各种种结结构构形形式式归归化化为为典典型型结结构构，即即其其结结构构组组成成上上均均属属一一个个非非线线性性部部分分与与一一个个线线性性部部分分串串联联如如图图7-127-12所所示示，实实际际系系统统作作出出的的原原始始结结构构图图，并并非非完完全全符符合合上上述述形形式式。为为了了应应用用相相轨轨迹迹法法、描描述述函函数数法法或或xoBoxxoBox软软件件分分析析系系统统的的性性能能，需需要要将将各各种种结结构构形形式式归归化化为为典典型型结结构构。在在讨讨论论相相轨轨迹迹法法时时，只只研研究究由由系系统统内内部部造造成成的的周周期期运运动动，并并不不考考虑虑外外作作用用。因因此此,结结构构图图进进行行归归化化变变换换时，可以认为时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。下面示例说明归化的一般方法。下面示例说明归化的一般方法。两个并联的非线性两个并联的非线性部件，在结部件，在结构归化时，可以构归化时，可以将两个非线性特性将两个非线性特性进行叠加，进行叠加，如图如图7 71414所示，一个继所示，一个继电特性和一个死区特性并联，其等电特性和一个死区特性并联，其等效的非线性特性为具有跳变的死区效的非线性特性为具有跳变的死区特性。特性。第29页，本讲稿共44页 当当两个非钱性环节串联两个非钱性环节串联时，则可将两个环节的特性等效为一个特性，时，则可将两个环节的特性等效为一个特性，即第一个环节的输出为第二个环节的输入，即第一个环节的输出为第二个环节的输入，第一个环节的各种可能的输第一个环节的各种可能的输出作用于第二个环节后，第二个环节可能的输出就是等效环节的特性曲出作用于第二个环节后，第二个环节可能的输出就是等效环节的特性曲线。线。图图7 71515表示了死区特性与带死区的继电特性相串联的等效非线性图形。表示了死区特性与带死区的继电特性相串联的等效非线性图形。应应当当注注意意，调调换换串串联联的的前前后后次次序序，等等效效特特性性将将会会不不同同。因因此此不不能能随随便便更更动位置，这一点是与线性环节的串联有所区别的。动位置，这一点是与线性环节的串联有所区别的。第30页，本讲稿共44页 如图如图7-167-16所示，非线性部分被线性局部反所示，非线性部分被线性局部反馈所包围，如果只研究系统的稳定性和自持馈所包围，如果只研究系统的稳定性和自持振荡情况，可令振荡情况，可令 ，则系统归化为典型结，则系统归化为典型结构形式了，这样就可直接使用相轨迹法或者构形式了，这样就可直接使用相轨迹法或者描述函数法进行分析了。同样也描述函数法进行分析了。同样也可用可用xoBoxxoBox软件对归化后的典型结构形式进行分析，只软件对归化后的典型结构形式进行分析，只是这时只有关于系统稳定性及自持振荡的信是这时只有关于系统稳定性及自持振荡的信息是正确的，而暂、稳态指标与未归化的系息是正确的，而暂、稳态指标与未归化的系统是有差别的。统是有差别的。若若非非线线性性部部分分被被线线性性局局部部反反馈馈所所包包围围，或或者者非非线线性性部部分分和和线线性性线线性性部部分分的的位位置置不不是是典典型型结结构构形形式式。则则可可通通过过方方框框图图的的变变换换来来将将系系统统归归化化为为典型结构形式。典型结构形式。xoBoxxoBox专专业业版版中中，系系统统结结构构更更加加复复杂杂，可可以以包包含含绝绝大大多多数数系系统统，这这样样分分析析非非线线性性系系统统时时就就不不需需归归化化了了，并并且且可可像像典典型型结结构构那那样样进进行行暂暂、稳稳态性能分析。态性能分析。第31页，本讲稿共44页 其它系统均可用这种方法进行归化。需要指出的是，并不是所其它系统均可用这种方法进行归化。需要指出的是，并不是所有系统都能归化为典型结构形式，如多个线性部件和非线性部件有系统都能归化为典型结构形式，如多个线性部件和非线性部件相间排列，一般难于甚至无法归化为前述典型结构。用描述函数相间排列，一般难于甚至无法归化为前述典型结构。用描述函数法对此类系统进行分析比较麻烦，只能采用计算机仿真分析，在法对此类