工程力学精品课程扭转 精.ppt

工程力学精品课程扭转 第1页，本讲稿共27页1 工程中的扭转问题工程中的扭转问题第2页，本讲稿共27页2 外力偶矩、扭矩与扭矩图外力偶矩、扭矩与扭矩图1)外力偶矩外力偶矩图示马达驱动的轴图示马达驱动的轴 匀速转动，转速是匀速转动，转速是n(r/m)，传递的力偶矩是，传递的力偶矩是M，马达的功率是，马达的功率是P(kW)。作用在作用在轴轴上的外力偶矩是上的外力偶矩是第3页，本讲稿共27页MMTxMTx(b)(c)M(a)mm2)扭矩扭矩 用截面法求轴的内力用截面法求轴的内力 在轴内的任意一个横截面在轴内的任意一个横截面m-m处将轴切开处将轴切开 由平衡条件知，截面上的内力必定是一个力偶，由平衡条件知，截面上的内力必定是一个力偶，称之为扭矩称之为扭矩 左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，左右两截面上的扭矩是一对作用和反作用力，它们的大小一定相等而转向相反。它们的大小一定相等而转向相反。通过两部分的平衡方程通过两部分的平衡方程可以求得扭矩的大小和实际转向可以求得扭矩的大小和实际转向 扭矩的符号规定：按照右手螺旋法则，如果实际扭矩矢量的方向与扭矩所在截面的外法扭矩的符号规定：按照右手螺旋法则，如果实际扭矩矢量的方向与扭矩所在截面的外法线方向一致，则定义扭矩的符号为正，反之为负。线方向一致，则定义扭矩的符号为正，反之为负。第4页，本讲稿共27页3）扭矩图扭矩图 用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系用图线来表示扭矩与截面位置之间的关系 xTM(+)(d)第5页，本讲稿共27页例例6-1 一等截面一等截面传动轴传动轴，转转速速n=5 rps，主，主动轮动轮A的的输输入功率入功率P1=221 kW，从，从动轮动轮B、C的的输输出功出功率分率分别别是是P2=148 kW和和P3=73 kW。求。求轴轴上各截面的扭矩，并画出扭矩上各截面的扭矩，并画出扭矩图图。CBAMBMA1MC2解：解：(a)外力偶矩。根据外力偶矩。根据轴轴的的转转速和速和输输入与入与输输出功率出功率计计算算外力偶矩：外力偶矩：第6页，本讲稿共27页T11MAT22MC(b)扭矩。在集中力偶扭矩。在集中力偶MA与与MB之之间间和和MB与与MC之之间间的的圆轴圆轴内，扭矩是常量，分内，扭矩是常量，分别别假假设为设为正的扭矩正的扭矩T1和和T2。由平衡方程可以求得由平衡方程可以求得由由结结果可知扭矩的符号都果可知扭矩的符号都为为正。正。第7页，本讲稿共27页2.32kN.m7.03kN.mx(+)T(+)2.32kN.m4.71kN.mx(-)T(c)扭矩扭矩图图。根据上述。根据上述结结果画出扭矩果画出扭矩图图扭矩数扭矩数值值最大最大值发值发生在生在AB段。段。此此时轴时轴的扭矩的扭矩图图如下如下可可见轴见轴内的最大扭矩内的最大扭矩值值比原来减小了。比原来减小了。注释：若将注释：若将A轮与轮与B轮相互调换，则轴的左右两段内的扭矩分别是轮相互调换，则轴的左右两段内的扭矩分别是第8页，本讲稿共27页3 圆轴的扭转变形、扭转切应力圆轴的扭转变形、扭转切应力(a)lMMdxxdxa maxcdcdRTTd(b)b 在小变形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面，在小变形的条件下，由对称性知，轴的横截面在绕轴线转动的过程中仍保持为平面，它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都保持不变。左右两端截面绕轴它的形状还是圆，半径仍是直线，轴的长度和半径的大小都保持不变。左右两端截面绕轴线相对转过一个角度线相对转过一个角度，称为扭转角。，称为扭转角。第9页，本讲稿共27页圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力1)切应力互等定理切应力互等定理(a)MM dxdy(b)由平衡条件，有：由平衡条件，有：上面的表达式表示微体的两个正交面上上面的表达式表示微体的两个正交面上如果有切应力的话，则切应力的数值相等，如果有切应力的话，则切应力的数值相等，方向与两个正交面的交线垂直，共同指向方向与两个正交面的交线垂直，共同指向或共同背离交线。这就是切应力互等定理。或共同背离交线。这就是切应力互等定理。第10页，本讲稿共27页2）剪切胡克定律剪切胡克定律 图图c中，原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度中，原来互相正交的棱边由于变形发生了一个角度的改变，就是切应变的改变，就是切应变。(c)对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即对于线弹性的材料，切应力与切应变成正比关系，即式中的比例常数式中的比例常数G称为切变弹性模量称为切变弹性模量 上面的关系式称为剪切胡克定律上面的关系式称为剪切胡克定律 对于各向同性材料，存在如下关系：对于各向同性材料，存在如下关系：可知：可知：于是有：于是有：显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小是：显然，截面上最大切应力位于圆截面的外边缘上，其大小是：maxR (d)T第11页，本讲稿共27页3）扭转的切应力公式扭转的切应力公式 由切应力与扭矩之间的关系得：由切应力与扭矩之间的关系得：dA OT即：即：令上式中的积分为令上式中的积分为IP，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即，它仅与截面的几何尺寸有关，称为极惯性矩，即由此可以得到：由此可以得到：第12页，本讲稿共27页显然，横截面上的最大切应力是：显然，横截面上的最大切应力是：是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数是一个仅与截面有关的量，称为抗扭截面系数 所以，最大切所以，最大切应应力力计计算公式又可以写成：算公式又可以写成：4）极惯性矩和抗扭截面系数的计算极惯性矩和抗扭截面系数的计算直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数直接用积分就可以求出圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数 dA Od d D第13页，本讲稿共27页如果是空心圆截面如果是空心圆截面 ODd空心圆截面上的切应力分布如图空心圆截面上的切应力分布如图 ODd max minT第14页，本讲稿共27页例例6-2一端固定的阶梯圆轴，受到外力偶一端固定的阶梯圆轴，受到外力偶M1和和M2的作用，的作用，M1=1800 N.m，M2=1200 N.m。求固定端截面上求固定端截面上=25 mm处的切应力，以及轴内的最大切应力。处的切应力，以及轴内的最大切应力。M1M2 50 753000N.mTx(-)1200N.m解：解：(a)画扭矩画扭矩图图。用截面法求。用截面法求阶阶梯梯圆轴圆轴的内力并画出扭矩的内力并画出扭矩图图。(b)固定端截面上指定点的切固定端截面上指定点的切应应力力。第15页，本讲稿共27页(c)最大切最大切应应力力。分。分别别求出粗段和求出粗段和细细段内的最大切段内的最大切应应力力比比较较后得到后得到圆轴圆轴内的最大切内的最大切应应力力发发生在生在细细段内。段内。注注释释：直径：直径对对切切应应力的影响比扭矩力的影响比扭矩对对切切应应力的影响要大，所以在力的影响要大，所以在阶阶梯梯圆轴圆轴的扭的扭转变转变形中，直径形中，直径较较小的截面上往往小的截面上往往发发生生较较大的切大的切应应力。力。第16页，本讲稿共27页4.圆轴扭转的强度设计和刚度设计圆轴扭转的强度设计和刚度设计1）圆轴的扭转失效圆轴的扭转失效 塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先屈服，这时塑性材料在扭转时，当外力偶矩逐渐增大时，材料首先屈服，这时在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最大切应力称在圆试件的表面出现纵向和横向的滑移线，横截面上的最大切应力称为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截为扭转屈服应力。当外力偶矩增大到某个数值时，试件就在某一横截面处发生剪断面处发生剪断。当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服当脆性材料在扭转时，扭转变形很小，没有明显的屈服阶段，最后发生约阶段，最后发生约45o的螺旋面的断裂破坏。的螺旋面的断裂破坏。扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的扭转的屈服应力和强度极限称为扭转的极限应力极限应力，用，用 u表示。表示。第17页，本讲稿共27页2）强度条件和强度计算强度条件和强度计算 许许用切用切应应力力：强度条件强度条件：例例6-3 驾驶盘的直径驾驶盘的直径=520 mm，加在盘上的平行力，加在盘上的平行力P=300 N，盘下面的竖轴的材料许用，盘下面的竖轴的材料许用切应力切应力=60 MPa；(1)当竖轴为实心轴时，设计轴的直径；当竖轴为实心轴时，设计轴的直径；(2)采用空心轴，且采用空心轴，且=0.8，设计内外直径；设计内外直径；(3)比较实心轴和空心轴的重量比。比较实心轴和空心轴的重量比。解：解：(a)外力偶和内力外力偶和内力：作用在：作用在驾驶盘驾驶盘上的外力偶与上的外力偶与竖轴竖轴内的扭矩相等内的扭矩相等第18页，本讲稿共27页(b)设计实设计实心心竖轴竖轴的直径的直径。(c)设计设计空心空心竖轴竖轴的直径的直径。(d)实实心心轴轴与空心与空心轴轴的重量之比的重量之比：等于横截面面：等于横截面面积积之比。之比。注注释释：在：在强强度相等的条件下，度相等的条件下，实实心心轴轴的重量的重量约约是空心是空心轴轴的的2倍。所以在工程上，倍。所以在工程上，经经常使用空心常使用空心圆轴圆轴。第19页，本讲稿共27页3）刚度条件和刚度计算）刚度条件和刚度计算由由积分得：积分得：若扭矩若扭矩T和扭转刚度和扭转刚度GIP是常量，则上式可以简化成是常量，则上式可以简化成如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则如果是阶梯形圆轴并且扭矩是分段常量，则 刚度条件：刚度条件：第20页，本讲稿共27页例例6-5 M3M2M1M4例例64某机器的某机器的传动轴传动轴如如图图所示，所示，传动轴传动轴的的转转速速n=300 rpm，主，主动轮输动轮输入功率入功率P1=367 kW，三个从，三个从动轮动轮的的输输出功率分出功率分别别是：是：P2=P3=110 kW，P4=147 kW。已知。已知=40 MPa，=0.3 o/m，G=80 GPa，试试设计轴设计轴的直径。的直径。解：解：(a)外力偶矩外力偶矩。根据。根据轴轴的的转转速和速和输输入与入与输输出功率出功率计计算外力偶矩：算外力偶矩：第21页，本讲稿共27页xT3.49kN.m(-)(+)6.98kN.m4.69kN.m(b)画扭矩画扭矩图图。用截面法求。用截面法求传动轴传动轴的内力并画出扭矩的内力并画出扭矩图图。从扭矩从扭矩图图中可以得到中可以得到传动轴传动轴内的最大的扭矩内的最大的扭矩值值是是(c)由扭由扭转转的的强强度条件来决定度条件来决定轴轴的直径的直径。第22页，本讲稿共27页(d)由扭由扭转转的的刚刚度条件来决定度条件来决定轴轴的直径的直径。(e)要同要同时满时满足足强强度和度和刚刚度条件，度条件，应选择应选择(c)和和(d)中中较较大直径者大直径者，即即第23页，本讲稿共27页 例例6-6 图图示一根二端固定的示一根二端固定的阶阶梯形梯形圆轴圆轴，在截面突，在截面突变处变处受一外力偶矩受一外力偶矩M的作用，若的作用，若d1=2d2，材料的剪切材料的剪切弹弹性模量是性模量是G，求固定端的反力偶矩，并画出，求固定端的反力偶矩，并画出圆轴圆轴的扭矩的扭矩图图。ad1Md22aCABMAMCABMB解：解：(a)受力分析受力分析。假。假设设A、B两端的两端的约约束力偶束力偶为为MA和和MB，根据平衡条件可列一个平衡方程，根据平衡条件可列一个平衡方程，未知的未知的约约束力偶有二个，独立的平衡方程只有一个，所以本束力偶有二个，独立的平衡方程只有一个，所以本题题是一次静不定是一次静不定问题问题。第24页，本讲稿共27页(b)扭矩扭矩。用截面法求出。用截面法求出AC段和段和CB段内的扭矩段内的扭矩(c)变变形形谐调谐调条件条件。圆轴圆轴的两端固定，所以的两端固定，所以A、B截面的相截面的相对转对转角等于零。角等于零。(d)分分别别算出算出A、C截面和截面和C、B截面的相截面的相对转对转角角。第25页，本讲稿共27页(e)补补充方程充方程。把上二式代入到。把上二式代入到变变形形谐调谐调条件中去就得到条件中去就得到补补充方程。充方程。(f)解方程解方程组组。联联立立补补充方程和平衡方程解得充方程和平衡方程解得第26页，本讲稿共27页Tx(+)32M/33 M/33(-)(f)解方程解方程组组。联联立立补补充方程和平衡方程解得充方程和平衡方程解得第27页，本讲稿共27页