函数的周期性与图象对称性精选PPT.ppt
关于函数的周期性与图象对称性第1页，讲稿共13张，创作于星期日1函数的周期性函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的 时，有 都成立，那么就把函数yf(x)叫周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，把这个最小的正数叫 若T是函数yf(x)的一个周期，则nT(nZ)也是f(x)的 任意一个任意一个值值f(xT)f(x)最小正周期最小正周期周期周期注意：定义域两头都是无界注意：定义域两头都是无界 第2页，讲稿共13张，创作于星期日若函数若函数 满足如下关系，证明这些函数满足如下关系，证明这些函数是否是周期函数，研究它们的周期是否是周期函数，研究它们的周期.探讨：探讨：第3页，讲稿共13张，创作于星期日【例例1】求函数求函数图图像的像的对对称中心称中心.小小结结：一般地，函数：一般地，函数的的对对称中心称中心为为:_.2.函数图像的中心对称：函数图像的中心对称：若若f(a+x)+f(a-x)=2b，则，则f(x)的图象关于点的图象关于点 对称对称 第4页，讲稿共13张，创作于星期日3.函数图像的轴对称：函数图像的轴对称：若若f(a+x)=f(a-x)，则，则f(x)的图象关于直线的图象关于直线 对称。对称。【例例2】已知已知是函数是函数的的对对称称轴轴,求求a的的值值.【练习练习1】若函数若函数y=log2|ax-1|的图象关于直线的图象关于直线x=2对称对称,求非零求非零实数实数a的值的值.【练习练习2】已知对一切已知对一切x都有都有f(x)=f(2-x)且方程且方程f(x)=0有有2011个不同的根，求这个不同的根，求这2011个根的和个根的和.第5页，讲稿共13张，创作于星期日【例3】设设f(x)是定是定义义在在R上的奇函数，上的奇函数，对对任意任意xR，恒有恒有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2时时，f(x)2xx2.(1)求求证证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)计计算算f(0)f(1)f(2)f(2009)f(2010)第6页，讲稿共13张，创作于星期日【证证明】明】(1)f(x(1)f(x2)2)f(x)f(x)，f(xf(x4)4)f(xf(x2)2)f(x)f(x)f(x)f(x)是周期是周期为为4 4的周期函数的周期函数(2)(2)由由f(x)f(x)是周期是周期为为4 4的周期函数，的周期函数，f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)f(4)f(4)f(5)f(5)f(6)f(6)f(7)f(7)f(2 004)f(2 004)f(2 005)f(2 005)f(2 006)f(2 006)f(2 007)f(2 007)第7页，讲稿共13张，创作于星期日又又x0,2x0,2时时，f(x)f(x)2x2xx x2 2，f(0)f(0)0 0，f(1)f(1)1 1，f(2)f(2)0 0，且，且f(3)f(3)f(f(1)1)f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(3)f(3)f(1)f(1)1 1，f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(3)f(3)0 0，又又f(2 008)f(2 008)f(0)f(0)0 0，f(2 009)f(2 009)f(1)f(1)1 1，f(2 010)f(2 010)f(2)f(2)0.0.因此因此f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)f(2 008)f(2 008)f(2 009)f(2 009)f(2 f(2 010)010)f(2 008)f(2 008)f(2 009)f(2 009)f(2 010)f(2 010)1.1.第8页，讲稿共13张，创作于星期日4.对称性与周期性的关系对称性与周期性的关系 一般地一般地:若若x=a,x=b(ab)是函数是函数f(x)的两条对称轴的两条对称轴,则则f(x)为周期函数且为周期函数且2|a-b|为它的一个周期为它的一个周期.一般地一般地:若若(a,0),(b,0)(ab)是函数是函数f(x)的两个对称中心的两个对称中心,则则f(x)为周期函数且为周期函数且2|a-b|为它的一个周期为它的一个周期.一般地一般地:若若x=a和和(b,0)(ab)分别是函数分别是函数f(x)的一条对称轴的一条对称轴和一个对称中心和一个对称中心,则则f(x)为周期函数且为周期函数且4|a-b|为它的一个周为它的一个周期期.(结论不需记，以三角函数结论不需记，以三角函数y=sinx为模型加以理解为模型加以理解)第9页，讲稿共13张，创作于星期日【例例4】已知函数已知函数f(x)是是(，)上的偶函数，若上的偶函数，若对对于于x0，都有，都有f(x2)f(x)，且当，且当x0,2)时时，f(x)log2(x1)，则则f(2008)f(2009)的的值为值为()A2 B1 C1 D2第10页，讲稿共13张，创作于星期日【解解】f(x)是偶函数，f(2 008)f(2 008)，当x0时，f(x2)f(x)，函数f(x)的周期为2，则f(2 009)f(1)又x0,2)时，f(x)log2(x1)因此f(2 008)f(2 009)f(2 008)f(1)f(0)f(1)log21log221.【答案答案】C思思维维启迪启迪 紧紧抓住题目的条件关系奇偶性与周期性，这是解题的关键，并注意体会本题中转化化归思想的运用。点点拨拨当x0,2)时，f(x)已知，欲求f(2 008)f(2 009)的值，只需转化到已知的区间0,2)上，利用函数的周期性和奇偶性，问题可解第11页，讲稿共13张，创作于星期日【练习练习】设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为R且且f(x+2)=f(-x),当当x4,6时时f(x)=2x+1,求求f(x)在区间在区间-2,0上的解析式上的解析式.求求f(2011)的值的值.第12页，讲稿共13张，创作于星期日感谢大家观看10/12/2022第13页，讲稿共13张，创作于星期日
