5高中数学精品讲座：重视逻辑推理关注全局变化——2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析.pdf

重视逻辑推理 关注全局变化扬州大学附属中学扬州大学附属中学2022年高考“三角函数与解三角形”专题解题分析目录1试题特点分析试题特点分析2优秀试题分析优秀试题分析3典型模拟题典型模拟题4复习备考建议复习备考建议试题特点分析试题特点分析1试 题 特 点 分 析序号试卷题号（分值）知识点1全国新高考卷题6（5分）三角函数图象与性质题18（12分）同角三角函数关系、三角恒等变换、解三角形2全国新高考卷题6（5分）同角三角函数关系、三角恒等变换题9（5分）三角函数图象与性质题18（12分）解三角形3全国甲卷（文）题5（5分）三角函数图象与性质题16（5分）解三角形4全国甲卷（理）题11（5分）三角函数图象与性质题16（5分）解三角形5全国乙卷（文）题11（5分）三角函数单调性、最值题17（10分）三角函数恒等变换、解三角形试 题 特 点 分 析序号试卷题号（分值）知识点6全国乙卷（理）题15（5分）三角函数图象与性质题17（10分）三角恒等变换、解三角形7北京卷题5（4分）三角函数的二倍角公式、三角函数的单调性题13（5分）三角恒等变换题16（13分）三角恒等变换、解三角形8上海卷题3（4分）二倍角公式、三角函数的周期性题19（14分）解三角形9天津卷题9（5分）三角函数图象与性质题16（14分）解三角形、三角恒等变换10浙江卷题4（4分）三角函数值、充要条件题6（4分）图象变换题11（4分）解三角形、数学文化题13（4分）三角恒等变换题18（14分）解三角形试 题 特 点 分 析从出题面貌上看，三角函数板块题和过去的高考题一致，未出现创新形式的命题，在模拟卷中常出现的结构不良题未在此板块考查从内容上，对三角函数有两个层次的分析题型客观题：三角函数图象与性质，三角恒等变换主观题：三角形为命题背景试 题 特 点 分 析方式显性：三角函数图象与性质、图象变换、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理隐性：作为数学工具，运用三角函数来解决平面向量、立体几何、解析几何、函数等问题优秀试题分析优秀试题分析2优 秀 试 题 分 析1关注“数形结合”“整体代换”关注“数形结合”“整体代换”2关注关注“角”“名”“次”恒等变换“角”“名”“次”恒等变换3关注关注公式、方程、函数之间转换公式、方程、函数之间转换4关注关注三角综合性问题的全局分析三角综合性问题的全局分析5关注关注多种角度运用三角函数解题多种角度运用三角函数解题关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”考查全面例 1（2022 年新高考卷 9）函数()sin(2)(0)f xx的图象以2(,0)3中心对称，则（）A()yf x在5(0,)12单调递减 B()yf x在 11(,)12 12有 2个极值点 C直线76x是一条对称轴 D直线32yx是一条切线 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【目标解析】三角函数sin()yAx的单调性、对称性、极值及切线问题 知识层面：方法层面：整体代换思想、数形结合思想 素养层面：直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养【解法分析】由题意得：24()sin()033f，所以43k+=，kZ，即43k，kZ，又0，所以2k=时，23=，故2()sin(2)3f xx 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”第一步：第二步：关键：复合函数思路一：直接研究函数2()sin(2)3f xx的图象与性质 思路二：依据复合函数的研究方法，回到函数sinyt 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”对 A：5(0,)12x 对应 22 32(,)332x 对 B：11(,)12 12x对应 2 52(,)322x 对 C：76x 对应 2233x xyO232关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”对 D，由22cos(2)13yx=+=得：21cos(2)32x+=，解得或2422,33xkk+=+Z，从而得：或,3xkk=+Z，所以函数在点3(0,)2处的切线斜率为，切线方程为：即 2222 33xk+=+xk=()yf x=022cos13xky=3(0)2yx=32yx=关键：切点坐标关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”例例 1 （2022 年新高考卷 9）函数()sin(2)(0)f xx的图象以2(,0)3中心对称，则（）Ay=()f x在5(0,)12单调递减 By=()f x在 11(,)12 12有 2 个极值点 C直线76x=是一条对称轴 D直线32yx=是一条切线【答案】AD 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【试题分析】函数sin()yAx是刻画周期性的重要函数模型，教材对它的研究非常重视教材中在此处将研究函数的多种方法进行了综合，如运用复合函数的方法、数形结合的方法、整体代换的方法、图象变换的方法，使学生不止对三角函数，更是对整体函数，有了更完整的认识 教学价值！教学价值！关键词：函数关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【变式1】（1）将条件以图象形式给出在以函数sin()yAx为背景的高考题中，命题的形式多样，除以数学语言描述性质外，还经常以图象的形式给出条件，考查学生看图，读图、用图能力图象变换也是此处考查的重点，全国甲卷（文）、浙江卷都进行了考查(2020 年课标卷理7)设函数()cos()6f xx在,的图象大致如下 图，则 f(x)的最小正周期为()A109 B76 C43 D32 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”()cos()6f xx4()+2,962k kZ且22TT【答案】C0关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【变式2】（2）改变区间范围或端点取值如将例 1B 选项的区间“11(,)12 12”变为“11,12 12”，也会增加对“极值”概念的考查难度 11,12 12x对应 2 52,322x xyO232关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”(2021 扬州调研)将余弦函数 f(x)cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2个单位长度，得到函数 g(x)的图象.若关于 x 的方程 f(x)g(x)m 在0，内有两个不同的解，则实数 m 的取值范围为_.0,(0,)xyO676关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【变式3】（3）缺失条件，将定量问题改为变量问题 如全国甲卷理科第 11 题、全国甲卷文科第 5 题，但只要抓住“数形结合”、“整体代换”即可轻松解决(2022 年全国甲卷理 11)设函数()sin3f xx在区间(0,)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A.5 13,3 6 B.5 19,3 6 C.13 8,6 3 D.13 19,66 xyO232【答案】C关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”(2019年课标卷理 12)设函数()sin()5f xx(0)，已知fx在0,2有且仅有 5个零点，下述四个结论：fx在0,2)(有且仅有 3 个极大值点；fx在0,2)(有且仅有 2个极小值点；fx在(0,)10单调递增；的取值范围是12 29)5 10，其中所有正确结论的编号是()A B C D 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”关键：整体思想数形结合因为0,2x，所以,2 555x 我们只需观察函数sinyt在区间,2 55上的图象【答案】DxyO232关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【类题赏析】以函数sin()yAx为背景的高考题较多，如 2019 年全国卷理科卷第 12 题，在选项设置上也运用了极值的概念，还有的高考题运用函数的和、差、分段设计出更为复杂的函数，如 2019 年全国卷理科第 11 题中的函数()sinsinf xxx，但本质依然是考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性等问题，充分运用分类讨论、数形结合的数学方法研究函数，对运用函数的观点理解、研究函数要求更高 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”(2019 年课标全国卷 9)下列函数中，以2为周期且在区间,4 2单调递增的是（）A()cos2f xx B()sin2f xx C()cosf xx D()sinf xx xyOy=|cos2x|42关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”xyOy=|sin2x|42xyOy=sin|x|-【答案】A关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”(2019 年课标卷理 11)关于函数()sinsinf xxx有下述四个结论：()f x是偶函数；()f x在区间,2单调递增；()f x在,有 4 个零点；()f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是()A B C D 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【答案】CxyOy=sin|x|-xyO-y=|sinx|xyO-y=sin|x|+|sinx|关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”1sinsinyxx关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【图象变换】（2022 年浙江卷 6）为了得到函数2sin3yx的图象，只要把函数2sin(3)5yx图象上所有的点（）A 向左平移5个单位长度 B 向右平移5个单位长度 C向左平移15个单位长度 D 向右平移15个单位长度【答案】D关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【图象变换】（2022 年全国甲卷文 5）将函数()sin()(0)3f xx的图象向左平移2个单位长度后得到曲线 C，若 C关于 y轴对称，则的最小值是（）A16 B14 C13 D12 【答案】C关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换例例 2 （2022 年新高考卷 6）角,满足sin()cos()2 2cos()sin4，则（）Atan()1 Btan()1 Ctan()1 D tan()1 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【目标解析】方法层面：整体代换思想 素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养 知识层面：两角和差的正余弦公式、同角三角函数的商数关系.关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换【解法分析】若对常数“4”运算化简，可得方法（一）：由已知得：()sincoscossincoscossinsin2 cossinsin+=，化简得：sincoscossincoscossinsin0+=，即()()sincos0+=，所以()tan1=入口多在人教版教材中指出：“因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式”本题中抓住对“4”这个已知角的考察，得到以下两种解法 关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换若保留并构造出“4”，可得方法（二）：由已知得：2sin()2 2cos()sin44+=+，则 sin()coscos()sin2cos()sin444+=+，所以sin()coscos()sin44+=+，tan()tan4+=，所以,Z4kk+=+，则tan()tan()14k=+=关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换【试题分析】角特殊角角的和差倍关系函数名同角三角函数关系诱导公式式子特征三角函数次数和差积运算关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【类题赏析】三角恒等变换一直是三角函数中的基本题型之一，除考查三角函数公式的灵活运用以外，更多的是对学生逻辑推理素养的考查如 2021 年新高考卷第 6 题，2019 年江苏卷第13 题，都是有较大区分度的三角恒等变换的小题其区分在不只是能不能解决这个问题，还体现在用什么方法解决如 2019 年江苏卷第 13 题，考生易观察出所求角24是已知角4与的 和，但要 更好的 解决 此题 还需 运用()44的 关系，求 出sin()cos,cos()sin44的值，这对考生观察角的变换、三角函数公式结构的变换都有较高要求 关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换（2021 年全国新课标卷 6）若tan2=，则sin(1sin2)(sincos+=+)A65 B25 C25 D65 思路一：sintansin2cos；思路二：化简目标式朝条件转化.思考角度角函数名次数关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换22sin(1 sin2)sin(sincos2sincos)sincossincos2sin(sincos)sin(sincos)sincos22222sinsincostantansincos1 tan【答案】C关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换（2019 年江苏卷 13）已知tan23tan4，则sin 24的值是_.思路一：条件sin2tansin(2)cos24 解得tan2，或1tan3.由tan1 tantantan2tan1tan13tan1 tan4，关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换当tan2时，上式2222 2 1 22=22110；当1tan3时，上式=2211212233=210113.sin 2sin2 coscos2 sin4442222222sincoscossinsin2cos2=22sincos2222tan1 tan=2tan1，综上，2sin 2.410 关注关注“角角”“”“名名”“次次”恒等变换恒等变换思路二：2()44，()44 sincos()tan243tan()cossin()44，即2sincos()cossin()434 又2sin()coscos()sin442 解得：3 2sin()cos410 所以12sin(2)sin()coscos()sinsin()cos4443410.逻辑推理数学运算关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换例例 3 （2022 年新高考卷 18）记ABC 的三个内角分别为 A，B，C，其对边分别为 a，b，c，分 别 以 a，b，c 为 边 长 的 三 个 正 三 角 形 的 面 积 依 次 为123,S S S，已 知12331,sin23SSSB+=（1）求ABC 的面积；（2）若2sinsin3AC=，求 b【目标解析】方法层面：整体代换思想.素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养 知识层面：正、余弦定理及三角形的面积公式.关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换【解法分析】（1）因为以 a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,S S S，且12332SSS+=，所以22233334442abc，即2222acb+=，由余弦定理得222cos2acbBac+=，整理得cos1acB=，则cos0B，又1sin3B=，则212 2cos133B=，13 2cos4acB=，则12sin28ABCSacB=；整体结构特征关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC=，则223 294sinsinsinsinsin423bacacBACAC=，则3sin2bB=，31sin22bB=关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换【试题分析】平时教学对求出三角形中独立的边、角，学生训练较多，难度不大，但如问题（1）中，求面积不是一定需要求出单独的基本量，知道 ac 整体的值也可，这就弱化了条件，也就需要学生在分析时，结合已知的公式寻找这一结构特质，对学生的思维有一定要求同样问题（2）中的条件结构可联想到正弦定理，但也需要整体考虑在解三角形中，需要三个独立条件，如果缺失条件，往往需要运用整体结构求值可见，解三角形中，除了对公式熟悉以外，对未知量的个数、方程的个数的观察，尤为重要，这决定了是求出独立的边、角，还是求出整体的值；是可求值，还是需运用函数分析今年全国乙卷理科第 17 题，也是运用了这样的思路，整体求出边bc的和，从而求出三角形的周长，而 2021 年全国新高考卷第19 题也体现了这样的思维，难度更大 关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换（2022年全国乙卷理 13）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知sinsin()sinsin()CABBCA（1）证明：2222abc；（2）若255,cos31aA，求ABC的周长 思路一：证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换思路二：证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以22222222sincoscossinsincoscossinABABCACA，所以22222222sin(1 sin)(1 sin)sinsin(1 sin)(1 sin)sinABABCACA，化简得：2222sinsinsinsinABCA，所以2222abc；优美的对称结构所以sin()sin()sin()sin()A BABCACA，关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换（2）解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabcbcA，50502531bc，所以312bc，故222250 3181b cbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc.整体结构特征关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换（2022 年 全 国 甲 卷 文、理 16）已 知 ABC 中，点 D 在 边 BC 上，1 2 0,2,2A D BA DC DB D当ACAB取得最小值时，BD_ 思路：设220CDBDm，则在ABD 中，22222cos42ABBDADBD ADADBmm，在ACD 中，22222cos444ACCDADCD ADADCmm，所以222244412442 334 2(1)1ACmmABmmmm，当且仅当311mm即3 1m时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，3 1m 函数关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换【类题赏析】高考中的“三角函数与解三角形”的解答题多以三角形作为命题背景，重点考查以正弦定理、余弦定理为工具计算求解三角形的边角关系，突出的核心素养的考查是运算能力，基本历年皆有但“数学运算”并不是简单的数学计算能力，主要是对运算对象、运算法则、运算思路、运算方法的理解、掌握、探究和选择，如2019年课标卷 理17，主要考查通过化归转化思想对正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式的灵活应用，也体现了新课标对“数学运算”素养的考查方向：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换(2019 年新课标卷理 17)ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若22a bc，求 sinC 关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换解：（1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc 由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin 1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C 由于0120C，所以2sin602C，故 sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC624 关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换【难点】正弦定理：解的个数（形）边角混合关系解三角形知识角度分析图形分析关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换苏教版教材必修二：P94 习题11.2 T5苏教版教材必修二：P94练习T5苏教版教材必修二：P94习题11.2 T6苏教版教材必修二：P104复习题T6回归教材关注关注公式公式、方程方程、函数之间的转换函数之间的转换（2014 年新课标卷 16）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_ 思路：根据正弦定理和 a2 可得(ab)(ab)(cb)c，故得 b2c2a2bc，根据余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12，所以 A3.根据 b2c2a2bc 及基本不等式得bc2bca2，即 bc4，所以ABC面积的最大值为12 432 3.关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析例例 4 （2022 年新高考卷 18）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=+（1）若23C=，求 B；（2）求222abc+的最小值 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【目标解析】方法层面：方程思想、函数思想素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养 知识层面：三角恒等变换、正弦定理关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析例例 4 （2022 年新高考卷 18）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=+（1）若23C=，求 B；（2）求222abc+的最小值 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析【解法分析】（1）因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB=+，即()1sincoscossinsincoscos2BABABABC=+=，而02B，所以6B=；（2）由（1）知，sincos0BC=，所以,022CB，而sincossin2BCC=，所以2CB=+，即有22AB=所以222222222sinsincos 21cossincosabABBBcCB+=()2222222cos11cos24cos52 854 25coscosBBBBB+=+=当且仅当22cos2B=时取等号，所以222abc+的最小值为4 25 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析对获得角 A、B 的关系还可以有这样的方法：22222cossin(cossin)(cossin)cos2222221 sinsincos2sincos(sincos)222222cossin1tan222tan()42cossin1 tan222AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA 又2sin22sincossintan1cos22coscosBBBBBBBB=+，所以tan()tan42AB=因为由已知得：cos0A，所以(0,)2A，所以(0,)424A，而(0,)B，所以42AB=关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析【试题分析】考查变换方向：拦路虎角度一：角的变换条件等式的左边是角 A，而右边是 B 的二倍角，从这个角度想到将右边的二倍角展开，而为使分母简单，可选择2cos22cos1BB这个公式，从而达到化简的目的 角度二：次数的变换等式的右边是角 B 的二倍角，可以理解为是角 B 的三角函数的二次式，运用二倍角公式可以升次降角，达到化简的目的，而将右边等式化简后，分式化为整式，也是从三角函数次数进行考虑的从这个角度来看，等式的左边也可以将角 A 看成是2A的二倍角进行展开 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析角度三：函数名的变换在问题（1）中，等式右边化为sincosBB后，也可以化为tanB如果走这个途径，就需要将左边等式化为正切 角度四：“1”的变换在三角函数中，经常使用将常数“1”转化为“22sincos”、“tan4”关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析条件转化为sincosBC=或tan(t4n)2a BA=后，也是运用方程思想得到角之间的等量关系考虑关系sincosBC=，这是不同名的三角函数且还有符号问题，则将sinB转化为cos()2B，则得cos()cos2BC而忽略角的范围是学生解三角方程最易错的地方因为,(0,)B C，所以sin0,cos0BC，则(0,)2B，(,)2C，且(,)22B，所以2CB考虑tan(t4n)2a BA=则更简单，因为等式两边是同名函数，只要分析角的范围即可这类变换题型在各版本教材中都有所体现，如在人教版教材必修一P226 5.5.2 练习 1 即为“求证：sin1 costan21 cossin”在苏教版教材必修二P67 习题 10.2 题 6 也有等式“1 sin2tan()cos24xxx”的证明回归教材，吃透教材，才是平时教学的要点 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析问题（2）中，“求222abc+的最小值”就需要运用函数思想运用函数思想解题时，首先选择自变量，减少问题中变量的个数，转化为自变量的表示如题中，就需将边 a，b，c，转化为角 A，B，C 的正弦，再将角 A、C 转化为 B 表示，使所求式转化为角 B 的函数其次和三角函数相关的函数，主要有两类：一类是三角函数的齐次函数，转化目标为sin()yAxh的形式；另一类是三角函数的非齐次形式，主要将三角函数化为同名三角函数后，换元解决，问题（2）即是第二类的情况，将cosB换元后转化为了分式型函数 综上分析，没有解题的全局观，是做不好此类综合题的 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析【类题赏析】三角函数的综合题，是将三角函数中三大板块知识综合考查，渗透方程与函数思想、整体思想等数学思想方法的考查，对逻辑推理、数学运算等核心素养的要求较高如 2019 年课标卷理 18 中，对条件sin2A C的理解成为解题关键，运用整体代换思想解题是本题的突破路径 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析（2019 年全国新课标卷 18）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知sinsin2A CabA（1）求 B；（2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析思路：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin2A CABA 因为sinA0，所以sinsin2A CB 由180ABC，可得sincos22A CB，故cos2sincos222BBB 因为cos02B，故1sin22B，因此B=60 关 注关 注 三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析三 角 综 合 性 问 题 的 全 局 分 析（2）由题设及（1）知ABC的面积34ABCSa 由正弦定理得sin 120sin31sinsin2tan2CcAaCCC 由于ABC为锐角三角形，故0 A90，0 C90.由（1）知A+C=120，所以30 C90，故122a，从而3382ABCS 因此，ABC面积的取值范围是33,82 关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题例例 5 （2022 年新高考卷 12）【多选】已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx，若3(2)2fx，(2)gx均为偶函数，则（）A(0)0f B1()02g C(1)(4)ff D(1)(2)gg 关注关注“数形结合数形结合”“”“整体代换整体代换”【目标解析】方法层面：特殊化思想.素养层面：逻辑推理、数学运算等核心素养 知识层面：三角函数的周期性.关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题例例 5 （2022 年新高考卷 12）【多选】已知函数()f x及其导函数()fx的定义域均为R，记()()g xfx，若3(2)2fx，(2)gx均为偶函数，则（）A(0)0f B1()02g C(1)(4)ff D(1)(2)gg【答案】BC关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题【解法分析】在高中教材中，具有周期性的函数要么以三角函数形式给出，要么以定义或定义的变形给出，那么我们也可以利用三角函数具有周期性这一重要特征，构造特殊函数模型来帮助解决有关问题由这种特殊化思想得到如下解法：因为3(2)2fx为偶函数，且此题是一选择题，故可用特殊函数模型来帮助解题设3(2)cos2fxxk，令322tx，则342tx，所 以3()cos()42tf tk，即3()cos()24xf xk，所以3()sin()()224xfxg x，则(2)31(2)sin()sin()224224xxg x，又因为(2)gx均为偶函数，所以取142，解得：2所以3()cos()sin2f xxkxk，()cosg xx为符合题意的一个函数，通过这两个函数则可判断出 BC 正确 关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题【试题分析】因为3(2)2fx为偶函数，从选择项来猜测，此题函数还应具备周期性，所以不妨利用具备周期性的函数模型三角函数模型来解题，这也是考查对三角函数本质的认识 这种方法将抽象问题转化为具体函数，降低了难度，对一些学生来说，是较为实用的解法但也要注意，如设偶函数3(2)2fx时，要注意一般性，该函数模型可不过原点，如果设成特殊过原点的偶函数，则会误判答案 A将抽象函数模型化的方法在解决单选题、多选题及填空题都很有效，而这类问题也往往在小题考查 关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题【类题赏析】三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是联系几何和代数的桥梁，与数学的其他知识相互渗透，紧密联系，数学中的许多问题都可以利用三角函数的性质等知识来解决，所以三角函数是解题的一种重要工具今年北京卷的第10题，同样体现了三角函数作为解题工具的优越性，它主要运用了三角代换的方法解决了平面向量的问题同样，在解析几何、立体几何的问题中，也常选取角为变量，利用三角函数，将一些非三角问题转化为三角问题，以便解决相关问题关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题(2021 年新课标卷 8)已知函数fx的定义域为 R，2fx为偶函数，21fx为奇函数，则（）A.102f B.10f C.20f D.40f【思路分析】设(2)cosf xx k()cos(2)f xxk(21)cos(2)fxxk奇函数奇函数20k一组解一组解【答案】B关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题（2022 年北京卷 10）在ABC 中，3,4,90ACBCCP 为ABC 所在平面内的动点，且1PC，则PA PB的取值范围是（）A 5,3 B 3,5 C 6,4 D 4,6【答案】D 关 注关 注 多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题多 种 角 度 运 用 三 角 函 数 解 题【评析】此题是向量题，首先图形的特殊性，依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C，()3,0A，()0,4B因为1PC=，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，在刻画圆上的点的时候，三角参数是一个很好的选择设()cos,sinP，0,2，所以()3cos,sinPA=，()cos,4sinPB=，所以()()()()cos3cos4sinsinPA PB=+22cos3cos4sinsin=+1 3cos4sin=()1 5sin=+，其中3sin5=，4cos5=，因为()1sin1+，所以()415sin6 +，即4,6PA PB；故选：D 典型模拟题典型模拟题3行业PPT模板http:/ xx 的部分图象，则下列说法正确的有（）A5()()6f xf B()f x在0,2有且仅有 2 个极小值点 C()f x在0,2有且仅有 4 个零点 D(1)(2)ff 典型模拟题【答案】BCD【解题过程】依图形可知，22362T，所以T，则2，又222 3k，kZ，取0k，则43，所以4()sin(2)3f xx 对于 A，当56x时，454223633x，取不到()f x的最大值，故 A 错；方法（一）：对于 B，C，0,2x 44 82,333x，观察函数sinyt在区间4 8,33的图象，可知，函数有 2 个极小值点，4 个零点，故 B，C 正确；典型模拟题方法（二）：对于 B，当()f x在最低点时取得极小值，所以4322 32xk，kZ，解得：1712xk，kZ，当1,0k时，5 17,1212x，所以()f x在0,2有且仅有 2 个极小值点，故 B 正确；对于 C，423xk，kZ，解得：232kx，kZ，当1,0,1,2k时，2 7 5,6363x，所以()f x在0,2有且仅有 4 个零点，故 C 正确；对于 D，因为51 2122，则()1)(2ff，故 D正确 故选：BCD 典型模拟题【答案】B【解答过程】因为31133cos()sincossinsinsincossin()6222233，所以 2231sin(2)sin2()cos2()12sin()2()16323333 2已知3cos()sin63，则sin(2)6的值是（）A29 B13 C23 D79 典型模拟题3在(sinsin)()(sinsin)aACbcBC，2 cos()3bCac，3tantancosaBCbC，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析 在ABC 中，,a b c分别是内角,A B C所对的边，且_（1）求角 B 的大小；（2）若ABC 是钝角三角形，且3b，求a c的取值范围 典型模拟题【解答过程】（1）若选条件，根据正弦定理得()()()a acbc bc，222acacb，由余弦定理可得，2221cos22acbBac，又(0,)B，则3B；若选条件，由正弦定理得，132sin(cossin)sinsin22BCCAC，则 sincos3sinsinsin()sinBCBCBCC，化简得3sinsinsincossinBCCBC，(0,)C，则sin0C，于是3sincos1BB，则1sin()62B，结合(0,)B可得3B；若选条件，则sin3sinsinsinsincoscossinsinsincoscoscoscoscoscoscoscoscosBCABCBCBCABCBCBCBCBC 因为A、B、C(0,)，且,22BC，所以sin0A，