2015第十五届中环杯四年级决赛详解.pdf

第第 15 届中环杯决赛试题解析（四年级）届中环杯决赛试题解析（四年级） 一、填空题一、填空题（本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）：（本大题共 8 小题，每题 6 分，共 48 分）： 1.计算：_.【答案】690 【解答】2.将长、宽、高分别为 3厘米、4 厘米、5厘米的长方体积木，叠成最小的正方体，最少要积木_块【答案】3600 【解答】容易知道正方体的边长至少为厘米，所以需要积木块 3. 在 5、8、15、18、25、28、2008、2015中，有_个数的数码之和为偶数（138的数码之和为）【答案】202 【解答】每两个数一对：、，每对里面有且仅有一个数的数码之和为偶数，一共有对，而最后一个数的数码之和为，为偶数，所以答案就是 4. 如图，在长方形中，与都是等腰直角三角形，。则长方形的面积为_.【答案】8 【解答】可以如下图进行切割，由于，整个长方形的面积是小正方形面积的 8倍。由于一个小正方形的面积为 1，所以长方形的面积为 8 5. 一个等差数列的首项为 ，第 项为，那么这个数列的前项中，有_项是 的倍数。【答案】 【解答】根据已知条件，容易推出这个等差数列的通项公式为。为了使得其为 的倍数，只要使得为整数即可。容易知道，当、 、时满足要求，一共有项满足要求。 6. 老师将一些数填入下图的圆圈内（每个圆圈内能且只能填一个数），左右两个闭合回路的三个数之和均为 30，上下两个闭合回路的四个数之和均为 40。若圆圈内填的数为 9，则圆圈内填的数为 .【答案】11 【解答】如下图所示，我们推出。将代入。由于，所以。 7. 如图，一只蚂蚁在网格上爬行，每爬一步就是指从一个点爬到其相邻的点（由一条虚线段连接的两个点称为相邻的点）。这只蚂蚁一共要爬四步，如果它从点开始爬，不同的爬行路线有种；如果它从点开始爬，不同的爬行路线有 种。则_. 【答案】3 【解答】我们发现，无论从点出发还是从点出发，接下来都是走到形如点的位置（下图中的六个红点），根据对称性，每个红点所对应的走法是相同的。点走到红点有两种方法，点走到红点有六种方法，所以。 【说明】对称计数 8. 小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度。如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了步。拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走 米。那么绳子的长度为 米。 【答案】 【解答】由于第一次走了步、第二次走了步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的 倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是 倍关系。设第一次拖拉机开了米，第二次拖拉机开了米，并且设绳子的长度为 米，得到方程组。 二、填空题二、填空题（本大题共（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 8 8 分，共分，共 3232 分）分）： 9. 一个园艺匠准备种植一排共棵树，一共有两种树可供选择：枫树或者梧桐树。任两棵枫树之间（不包括这两棵枫树）的树的数量不能等于 。那么这棵树中，枫树最多有 棵。 【答案】 【解答】在任意连续的八棵树中，一旦种下一棵枫树，那么相当于另一个位置只能种梧桐树。我们用下图进行说明，用表示枫树，用表示梧桐树，一旦第二个位置种了枫树，那么位置必须种植梧桐树。无论枫树出现在哪个位置，总有一个位置与其对应，只能种植梧桐树，所以八棵连续的树中最多只有四棵枫树 根据前面的推导，棵树中的前棵树里最多包含了 棵枫树，所以枫树总数最多，我们可以如下进行种植： 10. 如图，为等腰直角三角形，为边上一点，满足，三点在一条直线上。设中边上高的长度为，中边上高的长度为，我们有厘米。与的面积之和为 平方厘米，则的面积为_平方厘米。 【答案】 【解答】由于。而 将代入，得。所以平方厘米 11. 已知一个四位数满足：是的倍数，则的最小值为 . 【答案】 【解答】，从而推出，所以、 （1）当时，此时，所以，所以或，但是这两个数显然不是的因数； （2）当时，考虑到，所以，此时。 接下来我们要证明已经是最小值了，假设它不是最小值，还存在，满足，此时，所以。当时，此时已经大于了，所以。而对于的情况，我们前面已经讨论过了，所以不存在。 综上所述，本题要求的最小值就是。 12. 如下左图，甲要从走到，每次只能向上或者向右走一格；乙要从走到，每次也只能向上或者向右走一格。将两人走的路径标出来，如果两条路径不相交（没有公共点），那么就称这两个人走了“中环路”（下右图就是一条“中环路”）。那么，“中环路”一共有_种。 【答案】 【解答】容易知道，从，一共有种走法，同理，从，一共有种走法，所有两人走的路径一共有种。接下来我们只要将相交的情况减掉，剩下的就是答案了。 如下图，两条路径的第一个交点为，我们把这两条路径看为：与（原先应该是与）。注意：如上右图，如果没有相交，我们不能这样看待两条路径，只有产生相交点之后，才能这样看待这两条路径。 反过来，对于与的任意两条路径来说，它们必然会产生公共点。利用对应原理，我们将相交的两条路径与“与的路径”对应起来了，所以相交的情况一共有种。 综上所述，最后的答案就是。 三、动手动三、动手动脑题脑题（本大题共（本大题共 2 2 小题，每题小题，每题 1010 分，共分，共 2020 分）分）： 13. 如图，是一个梯形，其对角线的交点为。延长至点，满足。延长至点，满足。若的面积为 2015平方厘米，求：的面积。 【答案】2015 【解答】由于是一个梯形，利用等积变换我们有。利用，我们推出。利用，我们推出。结合，我们有，所以，所以的面积也是 2015。 14.、三人到老师家里玩，老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数。已知这三个四位数都是完全平方数（比如，都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是 ，个位数都不是 。每个小朋友只能看见别人帽子上的数。这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：说：“、帽子上数的个位数相同。” 、同时说：“听了的话，我知道自己的数是多少了。” 说：“听了、的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数。” 求：、帽子上的数之和。 【答案】 【解答】假设，两边对取余，从而推出，也就是说的十位数部分为 。显然的十位数部分肯定为偶数，所以的十位数也必须为偶数，满足条件的、 、 、 、 、 。 （1）当、 、 时，为了使的十位数部分为 ，则，此时这三个数就是、； （2）当时，十位数部分不可能为 ； （3）当时，为了使得十位数为 ，则或 ，此时满足条件的数为或； （4）当时，为了使得十位数为 ，则或 ，此时满足条件的数为或； （5）当时，为了使得十位数为 ，则或 ，此时满足条件的数为或。 至此，我们得到 个满足条件的四位数，按照个位数的数字将其分为三组：、。根据第二句说的话，我们知道三人帽子上的数的个位数都相同。根据第三句说的话，我们知道这三个数就是，所以这三个数的和为。 【说明】逻辑推理结合位值原理，并没有考到任何完全平方数的性质 更多历年真题，敬请关注唯课数学公众号vclassedu!