2015第十五届中环杯五年级初赛详解.pdf
第十五届第十五届“ 中环杯中环杯” 小学生思维能力训练活动小学生思维能力训练活动五五年级选拔赛年级选拔赛得分得分：_填空题填空题：1、已知已知2468135713572468mn ，其中其中 m, n 是两个互质的正整数是两个互质的正整数，则则10mn _【考点考点】分数计算分数计算【答案答案】110分析：20169=162020原式，10mn 10 9+20=1102、D 老师家里有五个烟囱老师家里有五个烟囱，这五个烟囱正好从矮到高排成一排这五个烟囱正好从矮到高排成一排，相邻两个烟囱之间的高度相邻两个烟囱之间的高度差为差为 2 厘米厘米，其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和，则五个烟囱的高度则五个烟囱的高度之和是之和是_厘米厘米【考点考点】等差数列等差数列，方程方程【答案答案】50分析：设这五个烟囱分别为 x- 4，x- 2，x，x+2，x+4，则 x+4=x- 2+x- 4，x=10，和为 5x=503、已知已知33222014abcd，其中其中 a、b、c、d 是四个正整数是四个正整数，请你写出满足条件的请你写出满足条件的一个乘法算式一个乘法算式：_【考点考点】数的拆分数的拆分，分解质因数分解质因数【答案答案】答案不唯一答案不唯一分析：2014=1 2014=2 1007=19 106=38 53其中一解为 2014=223359324、一个长方体的长一个长方体的长、宽分别为宽分别为 20 厘米厘米、15 厘米厘米，其体积的数值与表面积的数值相等其体积的数值与表面积的数值相等，则则它的高为它的高为_厘米厘米（答案写为假分数答案写为假分数）【考点考点】立体几何立体几何，方程方程【答案答案】6023分析：设高为 h，则 20 15 h=（20 15+20h+15h） 2，则 h=60235、一次中环杯比赛一次中环杯比赛，满分为满分为 100 分分，参赛学生中参赛学生中，最高分为最高分为 83 分分，最低分为最低分为 30 分分（所有所有的分数都是整数的分数都是整数） ，） ，一共有一共有 8000 个学生参加个学生参加，那么至少有那么至少有_个学生的分数相同个学生的分数相同【考点考点】抽屉原理抽屉原理【答案答案】149分析：83- 30+1=54，800054=1488 ，148+1=149 个6、对对 35 个蛋黄月饼进行打包个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格一共有两种打包规格：大包袋里每包有大包袋里每包有 9 个月饼个月饼，小包装小包装里每包有里每包有4 个月饼个月饼。要求不能剩下月饼要求不能剩下月饼，那么一共打了那么一共打了_个包个包【考点考点】不定方程不定方程【答案答案】5分析：设大包有 x 袋，小包有 y 袋， （x,y 均为整数）所以 9x+4y=35，易得3,2xy所以一共打了2+3=5 个包7、小明和小红在小明和小红在 600 米的环形跑道上跑步米的环形跑道上跑步，两人从同一起点同时出发两人从同一起点同时出发，朝相反方向跑朝相反方向跑，第第一次和第二次相遇时间间隔一次和第二次相遇时间间隔50秒秒， 已知小红的速度比小明慢已知小红的速度比小明慢2米米/秒秒， 则小明的速度为则小明的速度为_米米/秒秒【考点考点】环形跑道环形跑道，方程方程/和差公式和差公式【答案答案】7分析：法一：设小红的速度为 x 米/秒，小明的速度为 x+2 米/秒，两次相遇之间合跑一个全程，则50（x+x+2）=600，x=5，则小明的速度为 5+2=7 米/秒法二：两次相遇之间合跑一个全程，则两人速度和为 60050=12，两人速度差为2 米/秒，则小明（快）的速度为（12+2）2=7 米/秒8、我们知道我们知道，2013、2014、2015 的因数个数相同的因数个数相同，那么具有这样性质那么具有这样性质（因数的个数相同因数的个数相同）的三个连续自然数的三个连续自然数1n+2nn、中中，n 的最小值为的最小值为_【考点考点】分解质因数分解质因数，约数个数约数个数【答案答案】33分析： 三个连续的数不可能都为质数，要使它们的因数个数一样，需要做到：其中没有质数（否则个数不可能相等） ；三个数中不能有完全平方数（否则个数有奇有偶不可能相等） 。最值问题从极端情况出发，从小往大，把质数和完全平方数划去，如下所示：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37 经试验，33、34、35 各有4 个约数，n 最小为 339、图中的正三角形与正六边形的周长相等图中的正三角形与正六边形的周长相等，已知正三角形的面积是已知正三角形的面积是210cm，则正六边形的则正六边形的面积为面积为_2cm【考点考点】图形切拼图形切拼【答案答案】15分析： 设正六边形每个边长为 a，则正三角形每个边长为 2a，分割后每个小三角形的面积相同，10 4 6=152cm10、甲甲、乙乙、丙在猜一个两位数丙在猜一个两位数甲说甲说：它的因数个数为偶数它的因数个数为偶数，而且它比而且它比 50 大大乙说乙说：它是奇数它是奇数，而且它比而且它比 60 大大丙说丙说：它是偶数它是偶数，而且它比而且它比 70 大大如果他们三个人每个人都只说对了一半如果他们三个人每个人都只说对了一半，那么这个数是那么这个数是_【考点考点】逻辑推理逻辑推理【答案答案】64分析：由乙、丙所说一个为奇数一个为偶数，必为一真一假，若这个数大于 70 则必然大于60，所以后半句只能是这个数大于 60 小于 70，所以这个数是偶数；由于这个数大于 60，则甲所说的大于 50 是正确，所以这个数的因数个数为奇数个，必为在5070 之间的偶数完全平方数，只有 6411.如图如图，正方形正方形 ABCD 和正方形和正方形 EFGH，他们的四对边互相平行他们的四对边互相平行。联结联结 CG 并延长交并延长交 BD于点于点I。已知已知 BD=10， SBFC=3，SCHD=5，则则 BI 的长度为的长度为？ADCBEFGHIADCBEFGHI【考点考点】几何几何【答案答案】154分析：等积变形+燕尾模型联结BG，DG，FGBC，SBCG=SBCF=3,同理，SCDG=SCDH=5,BI:DI= SBCG:SCDG=3:5，BI=10(3+5)3=15412.将将 572 个桃子分给若干个孩子个桃子分给若干个孩子，这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数，则获得则获得桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子？【考点考点】数论数论，分解质因数分解质因数，最值最值【答案答案】75分析：设第一人拿到 x+1 个桃子，最后一人拿到x+k，则有 k 个人。=x1+x+kk2=x k 572 （）（2 + +1）k21144=2x1)kk （，k是 1144 的因数，31144=11 132 要求获得桃子数量最多的孩子最多分几个，即求最大值，则人要少，k 要小，从小往大枚举k为 2,4不合题意k=8,2x+9=143，x=67，x+k=75，获得桃子数量最多的孩子最多分 75 个。13、定义定义2! 1nn ，比如比如5! 1 2 3 4 5 ，若若!1 !2nn （其中其中 n 为正整数为正整数，且且1100n ）是完全平方数是完全平方数，比如比如7n 时时，!1 !7!71 !7!7! 87! 8!2222nn 2227!47!2 就是一个完全平方数就是一个完全平方数，则所则所有满足条件的有满足条件的 n 的和为的和为_【考点考点】定义新运算定义新运算，完全平方数完全平方数【答案答案】273分析：2nnn1=n22！（ +1）！（ ！），让n12为完全平方数即可，22n1=kn=2k12，k=1,n=1k=2,n=7k=3,n=17k=4,n=31k=5,n=49k=6,n=71k=7,n=97所有满足条件的 n 的和为 1+7+17+31+49+71+97=27314.小明将小明将若干棋子放入如图若干棋子放入如图 3*3 方格的小正方形内方格的小正方形内，每个小正方形内可以不放棋子每个小正方形内可以不放棋子，也可也可以放等于或多余以放等于或多余 1 枚棋子枚棋子，现在计算每一行现在计算每一行，每一列的棋子总数每一列的棋子总数，得到得到 6 个数个数，这这 6个数个数互不相同互不相同，那么最少需要那么最少需要放多少枚棋子放多少枚棋子？【考点考点】最值最值，枚举枚举【答案答案】8分析：尝试最小的和 0+1+2+3+4+5=15，由于三行之和=三列之和=总和，15 不是偶数，所以16 2=8，8=0+2+6=1+3+4，经试验，可如图放置，则最少需要放8 枚棋子06213420023100015.将将 A、B、C、D、E这五位老师与这五位老师与 25 个相同的座位拍成一排个相同的座位拍成一排，之后之后25 个学生会坐在座个学生会坐在座位上与老师拍照位上与老师拍照。要求要求：A、B、C、D、E 必须按字母顺序从左到右出现在这排中必须按字母顺序从左到右出现在这排中，而且每而且每个相邻座位老师之间至少有两个座位个相邻座位老师之间至少有两个座位。则一共有则一共有_种不同的安排方法种不同的安排方法(注意注意： 安排还是指安排还是指老师与未作之间的安排老师与未作之间的安排，不考虑后续的学生不考虑后续的学生)。【考点考点】排列组合排列组合【答案答案】26334分析： 25+5=30，这道题目相当于从 130 这 30 个数中选 5个数，每两个数之间的差大于等于3，5 个数4 个间隔，所以 30- 2 4=22，即5222221201918C =2633454321 种16.如图如图，在一个梯形在一个梯形 ABCD 中中，AD 平行平行BC，BC：AD=5:7.点点 F 在线段在线段 AD 上上，点点 E 在在线段线段CD 上上，满足满足AF：FD=4:3，CE：ED=2:3.如果四边形如果四边形 ABEF的面积为的面积为 123，则则 ABCD的面积为的面积为？【考点考点】几何几何【答案答案】180分析：（为简化计算，可令其为直角梯形，当然，不是直角梯形的时候，可通过 E点作垂线，这时 DEF和 BCE 的高仍为 3:2，设为 3y 和 2y，其余步骤不变）设 AD=7x，BC=5x，DC=5y。则 DF=3x，DE=3y,EC=2y。S 梯形=（AD+BC） CD 2=30 xy，而94130 xyxy5xy=xy=12322ABEFABCDDEFBECSSSS，所以 xy=6，所求面积为 18017. 如图算式中如图算式中，最后的乘积为最后的乘积为_。【考点考点】数字谜数字谜【答案答案】10085518.一个五位数一个五位数ABCDE是是 2014 的倍数的倍数，并且并且CDE恰好有恰好有 16 个因数个因数，则则ABCDE的最小值的最小值是是？【考点考点】分解质因数分解质因数，约数个数约数个数【答案答案】24168分析：最值问题从极端情况出发，既是五位数又是 2014 的倍数，最小为 10070；约数个数逆应用，16=16=8 2=4 4=4 2 2=2 2 2 2，分解质因数后指数可能是（15） ， （7,1）（3,1,1） （1,1,1,1）这几组。1007070=257 ，舍12084284=23 7 ，舍14098298=27，舍161124112=27，舍181262126=237 ，舍201402140=257 ，舍22154154=27 11 ，舍241683168=23 7 ，符合。ABCDE最小为 2416819.10 个学生排成一行个学生排成一行，老师想要为每个学生老师想要为每个学生配配一顶帽子一顶帽子，帽子有两种颜色帽子有两种颜色：红色和白色红色和白色，每种颜色的帽子数量都超过每种颜色的帽子数量都超过 10 顶顶。要求要求：任意多个连续相邻的学生里戴红帽子任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与与戴白帽子戴白帽子的人数之差最多为的人数之差最多为 2。那么老师有那么老师有_种分配帽子的方法种分配帽子的方法。【考点考点】题意理解题意理解、有序枚举有序枚举【答案答案】94分析：本题难度很大，主要在“ 任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为 2” 这句话。以下尝试几种方法来解答。（统一用表示带红色帽子，表示白色帽子）法一：有序枚举，结合图形标数法ba戴戴白白帽帽子子戴红帽子戴红帽子向右一格表示戴红帽子，向上一格代表戴白帽子，一共走 10 格完成注意：同方向最多连续两步；取的点之间， 任意两个点在横方向和竖方向的格子数差最多为2，如图 a 点和b 点不能同时有。 （行列 1 4，2 5，3 6 都不行，易多数）这样数下来，就是下面47 种：（为了使表格在一页中显示，见下页）1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010这是开头的，共 47 中，开头也有47 种，共 47 2=94种。法二：分类讨论+枚举根据“ 任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为 2” ，那么全部 10名学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多也为2，因此有 6 红 4 白，5 红 5 白，4 红 6白三种。其中6 红 4 白和 4 红 6 白对称，种数一样。（一）6 红 4 白（1）6 红分三堆，红红，红红，红红4- 2=2，红红与红红之间必为两白，1种：，；小计，6 红分三堆共 1 种；（2）6 红分四堆，红红，红红，红，红红红，红红，红，红红红与红红之间必为两白，1 种：，；红，红，红红，红红同，对称性，1 种；红红，红，红红，红5- 2=3，这两个间隔里必然一个是 1 白，一个是两白，2 种：，；，；红，红红，红，红红同，2 种红红，红，红，红红6- 2=4，两端必然不可能放白，3种：，；，；，；红，红红，红红，红红红与红红之间必为两白，1 种：，；小计，6 红分四堆共 1+1+2+2+3+1=10 种；（3）6 红分五堆，红红，红，红，红，红红红在第一或第五位置，四个间隔各插 1白，共 2 种：，；，；红红在第二、三、四位置，四个间隔各插 1 白，共 3 种：，；，；，；小计，6 红分五堆共 2+3=5 种；所以，6 红 4 白共 1+10+5=16种；（二）4 红 6 白同 6 红 4 白，共 16 种；（三）5 红 5 白（1）5 红分三堆，红红，红红，红红红，红红，红第一个间隔红红与红红之间必为两白，第二个间隔可能 1 白，可能两白，5 种：，；，；，红，红红，红红同，对称性，5 种；红红，红，红红5- 2=3,1+2=3，划线处两间隔必为一处1 白，一处两白，6 种：，；，；，；，；，；，；小计，5 红分三堆共 5+5+6=16 种；（2）5 红分四堆，红红，红，红，红红红，红，红，红1+2=3,2+2=4，划线处三个间隔为 3 到 4 白，9 种：，；，；，；，；，；，；，；，；，；红，红，红，红红同，对称性，9 种；红，红红，红，红1+2=3，红两边间隔处最多一处为两白，根据三处间隔两白数量可为 2，1，0 枚举，11 种：， ；， ；，；，；，；，；，；，；，；，；，；红，红，红红，红同，11 种；小计，5 红分四堆共 9+9+11+11=40 种（3）5 红分五堆，红，红，红，红，红，四个间隔各用 1 白，还剩1 白有 6 处可放，6 种：，；，；，；，；，；，；小计，5 红分五堆共 6 种；所以，5 红 5 白共 16+40+6=62 种；综上，共 16+16+62=94 种20、将下图将下图 1 中的方格用图中的方格用图 2 中的图形进行填充中的图形进行填充（每类图形可使用多次每类图形可使用多次，且要避开黑色方且要避开黑色方格格） ，） ，两个同类图形不能相邻两个同类图形不能相邻（有公共边的图形称为有公共边的图形称为相邻图形相邻图形，仅有公共顶点的图形不是相仅有公共顶点的图形不是相邻图形邻图形） 。） 。每一类图形可以旋转每一类图形可以旋转、翻折后再放入方格内翻折后再放入方格内。每一类图形用一个字母表示每一类图形用一个字母表示，方格方格内小正方形中的字母表示这个小正方形被哪类图形填充了内小正方形中的字母表示这个小正方形被哪类图形填充了，下左图中用箭头标注了三行下左图中用箭头标注了三行，假设标注的第一行格子中共用到了假设标注的第一行格子中共用到了A 个图形个图形，标注的第二行格子中共用到了标注的第二行格子中共用到了B 个图形个图形，标标注的第三行格子中共用到了注的第三行格子中共用到了 C 个图形个图形，则则ABC _比如比如：我们进行如图我们进行如图 3 所示的填充后所示的填充后（请无视最后两行请无视最后两行，只是作为举例只是作为举例，用来解释用来解释 A、B、C 的含义的含义） ，） ，标注的第一行格子用到了标注的第一行格子用到了 2 个图形个图形（一个横过来的一个横过来的 I 图形图形，一个旋转一个旋转、翻折后翻折后的的 L 图形图形） ，） ，所以所以2A ；标注的第二行格子到了标注的第二行格子到了 4 个图形个图形（一个翻折的一个翻折的 Z图形图形，一个旋转一个旋转的的 T图形图形，一个一个T 图形图形，一个一个 O 图形图形） ，） ，所以所以4B；标注的第三行格子到了标注的第三行格子到了 4 个图形个图形，所所以以4C 。于是于是，答案就写为答案就写为 244LIOZTOZTTTZOABCCBA【考点考点】智巧趣题智巧趣题【答案答案】333C=3B=3A=3TZTOTZO所以333ABC 。（(o)/特别感谢苏昊老师特别感谢苏昊老师、俞家老师俞家老师、朱博老师朱博老师、焦俊老师焦俊老师、吴吴中亚老师中亚老师、邵国栋老师邵国栋老师、刘泽南老师刘泽南老师、张岱鹏老师张岱鹏老师、范基程老师范基程老师、景景亚军老师亚军老师）
