2016第十六届中环杯四年级初赛详解.pdf

16 届中环杯四年级初赛 1、计算：(20.1540.3) 3320.15+ 【分析】原式(20.1520.15 2) 3320.15=+ 20.15 3 3320.1520.15 (3 33 1)2015= +=+= 2、用 1、2、3、4 这四个数字构成一个四位数abcd，要求： （1）abcd、互不相同； （2）b比ad、都大，c比ad、都大。这样的四位数有_个 【分析】由题意，bc、应取 3、4，ad、应取 1、2，有2 24=个数 3、一个长方体的六个面的面积之积为 14641，则该长方体的体积为_ 【分析】不妨设长方体的长、宽、高分别为abc、，则六个面的面积之积为： 22244444()()()()1464111abacbcabcabc=， 所 以11abc =， 即体积为11 4、小明通过 2、0、1、6 这四个数字构造了一个数列（不断地将 2、0、1、6 这四个数字按照这个顺序加在数后面） ：2、20、201、2016、20162、201620、2016201、20162016、201620162、，这个数列中，质数有_个 【分析】这个数列中的数按照周期个位分别为 2、0、1、6，也即除了个位为 1 的，其余的均为偶数，而偶数中只有 2 是质数，也即数列的第一个数是质数，其余的偶数均不是质数 再考虑以 1 结尾的奇数，这些数的数字和为(20 1 6 )20 193kk+ + =+（其中k为自然数） ，所以这些数一定是 3 的倍数，而且这些数里没有 3，所以这些数都不是质数 综上，只有 1 个质数 5、甲、乙两车同时从 A、B 两地沿相同的方向行驶。甲车如果每小时行驶 50 千米，则6 小时可以追上前方的乙车；如果每小时行驶 80 千米，则 2 小时可以追上前方的乙车。由此可知，乙车的速度是_千米/时 【分析】第一次 6 小时，甲行 300 千米，第二次 2 小时，甲行 160 千米，两次相差 140千米，这 140 千米也就是乙车624=小时行的路程，所以乙的速度是140435=千米/时 6、图中有_个三角形 【分析】36317C =个 7、已知四位数ABCD满足下面的性质：AB、BC、CD都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平房的数，比如242=，2819=，则我们就称 4、81 为完全平方数） 。所有满足这个性质的四位数之和为_ 【分析】16493649816413462+= 8、对于自然数a，( )S a表示a的数码和（比如 (123)1236S= +=） 。如果一个自然数n的各个数码都互不相同，并且(3 )3 ( )SnS n=，则n的最大值为_ 【分析】即 ()( )( )( )S nnnS nS nS n+=+，和的数码和等于数码和的和，也就是说，在nnn+的过程中不能有进位，所以n的数字组成仅能有 0、1、2、3，由于各个数码互不相同，所以n最大为 3210 9、如图，ABCD 和 EGFO 都是正方形，其中点 O 是正方形 ABCD 的中心，EFBC。若 BC、 EF 的长度都是正整数， 并且四边形 BCEF 的面积为 3.25， 则ABCDEGFOSS=_ OADBCFGE 【分析】如下图，过 O 作 ON 垂直 EF 于 N，交 BC 于 M，则易知，ON 是等腰直角三角形 OEF 斜边 EF 上的高，OM 是等腰直角三角形 OBC 斜边 BC 上的高 设ONa=、OMb=，则有22EFOMa=，22BCOMb= 22()2(22 ) ()2() ()BCEFSBCEFMNbaabababab=+=+=+= 所以222222223.25(2 )(2 )4()13abEFBCabab= 由于 BC、EF 的长度都是整数，所以有7EF =，6BC = 所以22211.5ABCDEGFOSSBCEF= MOADBCFGEN 10、图中的乘法竖式，最后结果为_ 【分析】 设乘法算式为5ab cd， 我们发现5ab是个三位数， 所以ab最小为 20， 而ab c是2，所以2a =，1c = 所以525abb=，结果一定是一个一百多的数，所以25110b=或 115 若25110b=，那么2b =，22 d是个十位为 0 的三位数，经尝试，没有符合要求的解 若25115b=，那么3b =，23 d是个十位为 0 的三位数，仅有23 9207=符合要求，所以算式为23 1954485= 11、神庙里有一把古老的秤，对于重量小于 1000 克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于 1000 克的物体，这把秤会显示出一个大于等于 1000 得随机数。 小明有五个物品，它们各自的重量都小于 1000 克，我们分别用 P、Q、R、S、T 表示它们的重量。将这五个物品两两配对，放到秤上进行称重，得到下面的结果： 1200QS+=（克） ，2100RT+=（克） ，800QT+=（克） ，900QR+=（克） ，700PT+=（克） 。那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为_ 【分析】由后三个结果，易得 R 比 T 重 100 克，Q 比 P 重 100 克，由第二个结果可知，RT+大于等于 1000 克，而QT+等于 800，所以 R 比 Q 重至少 200 克，而 R比 T 重 100 克， 所以目前有RTQP， 由第一个结果，QS+大于等于 1000克，而900QR+=克，所以 S 比 R 重，因此从重到轻为 S、R、T、Q、P 12、将 0、1、2、3、4、5、6、7 写在一个正方体的八个顶点上（每个顶点写一个数，所有的数都只能使用一次） ，要求每条边上的两个数之和都是素数。则一个面上的四个数之和最大为_ 【分析】若某条边上两个数奇偶性相同，那么和必定为偶数，那么只能是 2，所以这条边上的两个数只能是 0、2，那么考虑这条边所在的某个面，这个面上有 4 个数，0、2 相邻，那么另 2 个数必定为奇数，则那 2 个奇数的和也为偶数，但最小为1 34+=，必定不是素数 所以，我们应该奇偶间隔的填数 所以一个面上应该是 2 奇 2 偶，和最大为765422+ +=，可惜459+=是合数，无法填出 由于 2 奇 2 偶，和一定为偶数，接下来考虑 20，有7652+ +、7643+， 可惜27+、36+都是合数，无法填出 再考虑 18，有如下填法可行，所以最大为 18 70654123 13、 已知三个不同的质数pqr、满足91899962npqr = 个， 定 义( )f n 表示自然数n的数码和，则( )( )( )()f pf qf rf pqr+=_ 【分析】919101018999622 94999812 (95000 19)2 19 (5000 1)nnnn+= 个个个个 所以，pqr、分别是 2、19、194999n+ 个， 所以( )( )( )()2 10 49( 1)(998)8f pf qf rf pqrnn+=+= 14、四个完全相同的等腰梯形如图进行放置，它们的下底构成了一个正方形的两条对角线。若3PXXQ=，则阴影部分面积整个正方形面积=_ PSQRX 【分析】如下图，显然正方形两条对角线交点是正方形中心点，延长OM交SR于 N，由于是等腰梯形，所以有45NOSNSO= =，那么三角形 NOS 是等腰直角三角形，于是有 NR=NS，由于 TR=3TS，所以 NR=2NT=2TS，由 MTOS，有 MN=MO， 不妨设1MTNS= ，则有1OMTS=，2OTSS=，4ORNS= 所以3 80.375OMTSOSRSS=，显然阴影部分是 OMTS 面积的 4 倍，正方形是三角形 OST 面积的 4 倍，所以结果仍为 0.375 4211OPSQRMXTN 15、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，在 A、B 两地之间不断往返行进。当甲第5 次到达 B 地的时候，乙恰好第 9 次回到了 B 地。则当甲第 2015 次到达 B 的时，两人一个相遇了_次（迎面碰到和追上都算相遇，如果最后同时到达 B 地，也算一次相遇） 【分析】甲第 5 次到达 B 地时，走了 9 个全程，乙第 9 次回到 B 地时，走了 18 个全程，所以乙的速度是甲速度的 2 倍，可以画出柳卡图如下： AB 甲每走 2 个全程，2 人均回到各自的出发点，进行周期循环，每一个周期 2 人相 遇 3 次 ，2015210071=， 最 后 一 个 全 程 相 遇 2 次 ， 共 相 遇3 100723023+=次 16、在+=的每个方框中填入一个 0、1、2、9 中的数字（方框内数字允许相同，任何数最高位不能为 0） ，使得算式成立.有_种填数方法。 【分析】第一个数如果填 10，第二个数能填 90 到 99，有 10 种填法 第一个数如果填 11，第二个数能填 89 到 99，有 11 种填法 第一个数如果填 89，第二个数能填 11 到 99，有 89 种填法 第一个数如果填 90 到 99，第二个数能填 10 到 99，有 90 种填法 共10 11 128990 104860+=种填法 17、如图所示，AED 为直角三角形，两条直角边的长度分别为1520AEDE= 。以 AD 为边作正方形 ABCD，以 AB、AE 为边作平行四边形 ABFE，EF 交 AD 边于点 G,AC 与FG 交于点 H。则AGH 与CFH 的面积之差（大面积减去小面积）为 _。 【分析】由勾股定理，可知2221520625AD =+=，所以 AD 是 25 而1122ADESAEEDADEG=，所以15 202512EG = 又由勾股定理，222222012256GDEDEG=，所以 GD 是 16 由于25EFABAD=，所以13GF = (1325) 162304FHCGHCDFGCDSSS+=+= 25 252312.5AGHGHCDADCSSS+= 所以，312.53048.5AGHFHCSS= 18、四个不同的质数 a、b、c、d 满足下面的性质： （1）abcd+ + 还是一个质数； （2）a、b、c、d 中某两个数之和还是一个质数； （3）a、b、c、d 中某三个数之和还是一个质数。满足条件的abcd+ +的最小值为_。 【分析】由奇偶性，若四个数均为奇数，那么和一定是偶数，显然不会是质数 所以四个数中必定有 2，不妨令2a = 其中某三个数的和还是质数， 那么必定是除了 2 以外的另外三个奇数之和为质数 所以bcd+ +与abcd+ +是相差为 2 的素数对，即孪生素数 bcd+ +最小为35715+ +=，也就是说我们要找大于 15 的尽量小的孪生素数 最小为 17、19，但可惜 17 无法拆成 3 个不同素数的和 下一对是 29、31，可以去四个数为 2、3、7、19，其中237 1931+ +=，371929+=、235+=符合要求，所以abcd+ +最小为 31 19、一个 33 的方格中，每个 11 的小方格内都要填一个数，其中右上角的数已经填好了，为 30（如图） 。接下来填的数需要满足下列条件： （1）每个数都能整除与它相邻的上面方格内的数（如果与它相邻的上面方格不存在，自然不用满足这个条件） ； （2）每个数都能整除与它相邻的右面方格内的数（如果与它相邻的右面方格不存在，自然不用满足这个条件） 。不同的填法有_种。 【分析】302 3 5= ，所以方格内的数一定都是形如235abc的数，其中abc、只能选填 0、1，所以我们先考察 2，即观察整张表a的取值 观察剩下 8 个数 一、若 8 号格中是12 ，那么其余格子必须都填12 ，一种填法 接下来 8 号格中是02， 二、若 6、7 号格中均是12 ，那么其余格子必须都填12 ，一种填法 若 6、7 号格中一个是12 ，一个是02，不妨令 6 号格是12 ，那么 4、2、3、1必须都填12 ，5 号格可以选填02、12 ，2 种填法，若 7 号格是12 ，对应也是 2种 接下来 6、7、8 号格中均是02 三、若 3、4、5 号格中均是12 ，那么其余格子必须都填12 ，一种填法 若 3、4、5 号格中两个是12 ，一个是02，那么其余格子也必须都填12 ，有 3种填法 若 3、4、5 号格中一个是12 ，两个是02 如果 4 号格是12 ，那么其余格子必须都填12 ，有 1 种填法 如果 3 号格是12 ，那么 1 号格子必须都填12 ，2 号格子可以选填02、12 ，2 种填法， 如果 3 号格是12 ，那么 2 号格子必须都填12 ，1 号格子可以选填02、12 ，2 种填法， 接下来 3、4、5、6、7、8 号格中均是02 那么 1、2 号格子可以选填02、12 ，4 种填法 所以 2 的次数有1 122 1 3 122419+ + + + +=种填法 同理 3、5 的次数也各有 19 种填法，因此一共有19 19 196859=种填法 8 7654321 20、我们可以用 53 的方格表来表示字母 AI，如图 20-1 所示。 将 AD 填入图 20-2 的表中，需要满足：左表中右边的数字表示这一行中圆点个数，下边的数字表示这一列中圆点个数，填好后的结果如右表所示。 现在，将 AI 填入图 20-3 的表中（每个字母能且只能使用一次） ，使其符合前面描述的要求（只要将字母写入表格即可，不用画圆点） 。 【分析】 12595587655 四季教育 李唯瑒