2015第十五届中环杯三年级决赛详解.pdf

第第 15 届中环杯决赛试题解析（三届中环杯决赛试题解析（三年级）年级） 一、填空题一、填空题（本大题共（本大题共 8 8 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 4848 分）分）： 1. 计算：_. 【答案】2015 【解答】 2. 在一场上海队与北京队的篮球比赛中，姚明得到了分，带领上海队以分的优势战胜了北京队。上海队与北京队的总得分比姚明得分的 倍少分，那么上海队获得_分 【答案】分 【解答】根据题意，上海队与北京队的总得分为分，而上海队减去北京队的得分为分，根据和差问题，我们有：上海队得了分 3. 一个数只包含两种数字： 或者 ，而且 或者 都至少出现一个。这个数既是 的倍数，又是 的倍数。这样的数最小为_. 【答案】 【解答】为了使得它是 的倍数，最后两位只能是。如果只有两个数字 ，这个数无法成为 的倍数，所以很容易得到其最小值为 4. 我们有个的小立方体，将其拼成一个的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如下图所示。那么，六个面都是白色的小立方体最多有_个 【答案】 【解答】我们可以数一下，发现含有灰色面的小立方体有个，而一共有个小立方体，所以六个面都是白色的小立方体最多有个 5. 如图，一个大三角形被三条线段分成了七部分，其中四部分是三角形，另外三部分是四边形。三个四边形的周长之和为厘米，四个三角形的周长之和为厘米，三角形的周长为厘米。那么_厘米 【答案】 【解答】如果我们将三个四边形的周长之和与四个三角形的周长之和相加，那么中间的线段都被加了两次。比如下图中的，它既是四边形的一条边、又是的一条边。而都只出现一次，比如。所以我们要求的线段之和为厘米 6. 下图是上海的地铁运营图，其中的点代表不同的地铁站台，直线代表了不同的线路。小明是一个学生，他希望找到一种路线，使得他可以经过所有的站台。他可以从任意的站台出发，然后到任意的站台结束（只要经过所有的站台即可）。假设他必须重复经过 个站台，则 的最小值为_. 【答案】 【解答】如下图，对所有的点进行标记，小明可以从，这样他必须重复经过 个站台，接下来我们证明 是最小值。 显然，这两个换乘台肯定会被重复经过的。如果小明不是从开始或者从结束，那么肯定会被重复经过，这样就至少重复经过 个站台了；如果小明不是从开始或者从结束，那么肯定会被重复经过，这样就至少重复经过 个站台了；如果小明从开始从结束，那么肯定会被重复经过。所以， 【说明】此题要做出答案并不难，关键在于后面的证明，考虑到填空题，所以将其放在第 题 7. 如果 653 整除，则_. 【答案】11 【解答】由于，考虑到，所以。由于 653是素数，并且 653无法整除 1000，所以，从而推出，所以 8. 学校组织一次野餐会，有若干人员参加。学校准备了很多空盘子，每个到场的人员都会将空盘子数一下，然后拿走一个空盘子去装食物（每个人只能拿走一个空盘子，不能多拿）。第一个到会的人员会将所有的空盘子数一下，第二个到会的人员数到的空盘子数量比第一个到会的人员少一个， ，依次类推，最后一个到会的人员发现还有 个空盘子。已知学校准备的所有空盘子的数量与所有到会人员的数量之和为，则总共有_人参加了这次野餐会。 【答案】 【解答】设有 个人参加了野餐会，空盘子总共有个 第 个参会人员数到有个空盘子； 第 个参会人员数到有个空盘子； 第 个参会人员数到有个空盘子； 第 个参会人员数到有个空盘子； 从而得到方程 二、填空题二、填空题（本大题共（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 8 8 分，共分，共 3232 分）分）： 9. 四人有一些数量互不相同的纸牌。 说：“我比多张纸牌。” 说：“比多 张纸牌。” 说：“比多 张纸牌。” 说：“如果再给我 张纸牌，我纸牌的数量就是的 倍。” 已知这四个人中，拥有纸牌数量最少的那个人说错了，其余都说对了。那么有_张纸牌 【答案】 【解答】首先对每个人所说的话进行翻译： 的意思是：； 的意思是：； 的意思是：； 的意思是：。 由于说错话的只有一个人，而和都说不是最少的，因此，说的是真话。通过和的话可以推断的纸牌数也不是最少的。因此，说错话的只可能是或。 如果说的是正确的，则，结合推出，没有整数解，矛盾。所以说的是正确的，说的是错误的。利用的结论，我们有。所以答案为。 10. 七个正方形拼成下图。我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求： （1）至少涂其中的两个正方形； （2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形）。 那么，有_种不同的涂色方法。 【答案】10 【解答】直接分类讨论： （1）如果我们涂最上面的那个正方形，那么它下面的两个正方形不能被涂色，得到下图。如果我们再涂一个正方形，显然有 4 种涂法；如果我们再涂两个正方形，要简单分析一下：显然 不能被涂色（否则 一旦被涂色了，那么都不能被涂色了），而且不能同时被涂色，所以只有 2种涂法（或者）。综上所述，如果我们涂最上面的那个正方形，一共有种涂法 （2）如果我们不涂最上面的那个正方形，得到下左图。显然，我们不能涂，否则只能涂一个正方形了，得到下右图。容易知道，以及都不能同时被涂色，所以此时能且只能涂两个正方形，一共有种涂法。 综上所述，一共有种涂法 11. 在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字。在算式的方格中填入适当的数字，使得算式成立。那么 所代表的三位数是_. 【答案】 【解答】由于，所以都是中的数字。根据“”我们很容易推出。由于“”，所以。考虑到只是一个三位数，所以不可能同时满足，所以中至少有一个数整除。接下来分类讨论： （1）若，结合都是中的数字，我们很容易推出只有满足条件。由于此时都不能整除，所以整除，所以，此时，满足我们的要求。 （2）若，结合都是中的数字，所以，我们很容易推出只有或满足要求。考虑到都不能整除这两个数，所以整除，所以，而不是三位数，矛盾。 （3）若，结合都是中的数字，我们很容易推出只有满足条件。考虑到都不能整除这两个数，所以整除，所以。此时，但是题目说了“”的三个数字互不相同，所以也不符合要求。 综上所述，最后的答案只有一个，就是“”。 12. 正四面体的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有 10 个数。这个数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、11。每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的两个顶点上的数之和。棱上的数为 ，则棱上的数为_. 【答案】 【解答】设六条棱上的数之和为、四个顶点上的数之和为，容易发现（每个顶点被三条棱连接，所以这三条棱求和的时候相当于把这个顶点上的数加了三次）。考虑到，从而推出，可能的情况有：、，接下来开始排除： （1）由于，所以排除了（没有两个数之和为 ） （2）对于来说，由于，所以一条棱上的数应该为 ，但是某个顶点上的数也是 ，矛盾。同样可以将排除 最后，剩下的只有一组选择：，从而得到下图，所以答案为 三、动手动脑题三、动手动脑题（本大题共（本大题共 2 2 小题，每题小题，每题 1010 分，共分，共 2020 分）分）： 13. 个相同的长方形放在一个正方形内，所有长方形的边都平行于正方形的对应边，正方形的边长为厘米。求：单个长方形的面积。 【答案】 【解答】假设长方形的长为 、宽为，则，所以长方形的面积为 14. 老师将写有 1、2、13 这 13个数字的牌按从小到大的顺序顺时针放在一个圆周上，开始的时候所有牌都是牌面朝上，每次翻动可以将一张牌翻成牌面朝下（一旦变成牌面朝下，这张牌就不能翻动了）。老师翻牌的规则为：若一张牌面朝上的牌上数字为，并且与这张牌相隔 2张的牌也是牌面朝上的，那么老师就可以翻动写有数字的这张牌。比如：只要写有数字 9或者 2的牌是牌面朝上，那么老师就可以翻动写有数字 12的牌（当然，前提是写有数字 12的牌还是牌面朝上的）。最后，只要老师将 12张牌翻成牌面朝下，那么就算老师成功了。为了获得成功，老师有多少种不同的翻牌顺序？ 【答案】26624 【解答】首先，我们将所有含数字的牌调整一下顺序，得到下图，从而将题目转化为：若相邻的牌中有牌面朝上的，那么老师就可以翻动当前的牌 接下来我们会发现，若两次选牌的过程中发生跳跃，那么最后必然会导致至少 2 张牌无法翻面。如下图所示，若第一次翻 4号牌，第二次翻 12号牌。这样将剩下的牌分成了两段，每段中最后都至少会留下一张牌无法翻面，从而无法满足题目的要求。 至此，我们知道，第一张牌有 13个选择，一旦第一张牌选定后，接下来被翻面的牌都是这张牌相邻的牌。每次选择都有两种：顺时针相邻还是逆时针相邻。只要进行 11次选择，最后肯定留下一张牌，所以一共有种不同的翻牌顺序