2016年第十四届走美杯决赛解析三年级.pdf

家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 第十第十四四届“走进美妙的数学花园”届“走进美妙的数学花园” 上海决上海决赛赛试题解析（试题解析（三三年级组）年级组） 一、一、 填空题（每小题填空题（每小题8分，共分，共40分）分） 1.1. 计算：计算：123456789 8+9= 。 解析：解析： 计算计算 解解: : 987654321。 从从1开始开始，依次加一，依次加一的的n位数位数乘乘8加加n，所得的所得的结果是从结果是从9开始开始，依次，依次减减一一的的n位数位数。 123456789 89=987654321 难度系数：难度系数： 2.2. 给定一个除数（不为给定一个除数（不为0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足 被除数被除数= =除数除数商商+ +余数余数 其中，其中，0 余数余数 除数。这就是带着余数的除法。当余数为除数。这就是带着余数的除法。当余数为0时，也称除数整除被除数，或者称除数是被除时，也称除数整除被除数，或者称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数） 。数的因数（被除数是除数的倍数） 。 请写出所有不超过请写出所有不超过88并且能够被并且能够被6整除的大于整除的大于1的自然数的自然数有有 。 解析：解析： 整除整除 新舟同类型题目：新舟同类型题目：2016年寒假三超讲义第四讲例题五：年寒假三超讲义第四讲例题五：4256能被能被3整除，方框中填多少？整除，方框中填多少？ 解解: : 6 12 18 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84， ， ，。 能被能被6整除的数一定为整除的数一定为6的倍数，并且要求不超过的倍数，并且要求不超过88。 所以有所以有6 12 18 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84， ， ，。 难度系数：难度系数： 3.3. 只能被只能被1与其自身整除的大于与其自身整除的大于1的自然数称为素数或质数，比如的自然数称为素数或质数，比如2，3，5，7，11，13等。请在以下数表等。请在以下数表中用圆圈圈出所有的素数：中用圆圈圈出所有的素数： 815051525354555680492627282930317948251011121332784724923143377462381415347645227651635754421201918173674434241403938375758596061626364737271706968676665 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 解析：解析： 质数与合数质数与合数 解解: :被圈出来的所有素数：被圈出来的所有素数： 2357111317192329313741434753596167717379， ， ， ， 难度系数：难度系数： 4.4. 以下有以下有1，2构成的无穷数列有一个有趣的特征：从第一个开始，把数字相同的项合成一个组，再按照顺序构成的无穷数列有一个有趣的特征：从第一个开始，把数字相同的项合成一个组，再按照顺序将每组的项数写下来，则这些数构成的无穷数列恰好是它本身。这个数列被称为库拉库斯基数列。按照这将每组的项数写下来，则这些数构成的无穷数列恰好是它本身。这个数列被称为库拉库斯基数列。按照这个特征，继续写出这个数列后个特征，继续写出这个数列后8项为项为_（从第（从第13项到第项到第20项） 。项） 。 解析：解析： 数列数列 解解: : 1,1,2,1,1,2,2,1 按照下一行的数，我们依次往后写第一行的后面八个，如下图：按照下一行的数，我们依次往后写第一行的后面八个，如下图： 难度系数：难度系数： 815051525354555680492627282930317948251011121332784724923143377462381415347645227651635754421201918173674434241403938375758596061626364737271706968676665 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 5.5. 将自然数将自然数15的的0倍，倍，1倍，倍，2倍，倍，3倍，倍，4倍，倍，5倍，倍，按照顺序写在下面按照顺序写在下面 01 53 04 56 07 5 ,， ， ， ， ， 这一列数可以一直写下去，并且后一个总比前一个数大，任何一个自然数要么是这一列数中的某一个，要这一列数可以一直写下去，并且后一个总比前一个数大，任何一个自然数要么是这一列数中的某一个，要么介于相邻的两个数之间。我们把这一列数叫严格递增的无穷数列，从左至右的每一个数分别叫做这个数么介于相邻的两个数之间。我们把这一列数叫严格递增的无穷数列，从左至右的每一个数分别叫做这个数列的第一项，第二项，第三项，列的第一项，第二项，第三项，即第一项是，即第一项是0，第二项是，第二项是15，第三项是，第三项是30，依次类推。那么，依次类推。那么2016介介于这个数列的第于这个数列的第 项与项与 项之间，这两项中的较大的项与项之间，这两项中的较大的项与2016的差是的差是 。 解析：等差数列解析：等差数列 新舟同类型题目：新舟同类型题目：2016年春季三精第三讲例题二： 对于数列年春季三精第三讲例题二： 对于数列4 10 16 22 28 34， ， ， ， ， 这个数列第， 这个数列第10项是多少？项是多少？118是这个数列的第几项？是这个数列的第几项？ 解解: : 1351369， 在等差数列中每一项都是在等差数列中每一项都是15的倍数， 所以只需要计算的倍数， 所以只需要计算2016介于介于15的多少倍之间即可。的多少倍之间即可。2016 15=1346，因为第一项是从零开始的，所以因为第一项是从零开始的，所以2016介于介于135项与项与136项项之间。之间。 较大的项与较大的项与2016的差为的差为156=9。 难度系数：难度系数： 二、二、 填空题填空题( (每题每题10分，共分，共50分分) ) 6.6. 用用2颗红色的珠子，颗红色的珠子，2颗蓝色，颗蓝色，2颗紫色的珠子串成如下图所示的手链，可以串成颗紫色的珠子串成如下图所示的手链，可以串成_种不同的手种不同的手链。链。 解析：解析：分类枚举分类枚举 解解: :假设三种颜色的珠子分别记为假设三种颜色的珠子分别记为A，B，C， 那么，将珠子的排列方法分成那么，将珠子的排列方法分成4类类 没有同色珠子相连的情况：没有同色珠子相连的情况：,ABCACB ABCABC ABCBAC ABACBC 只只有一对同色珠子相连的情况有一对同色珠子相连的情况：,AABCBC BBACAC CCABAB 只有两对同色珠子相连的情况：只有两对同色珠子相连的情况：,AACBBC AABCCB BBACCA 三对同色珠子相连的情况：三对同色珠子相连的情况：AABBCC 共有共有11种不同的手链。种不同的手链。 难度系数：难度系数： 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 7.7. 将一个正方形沿对角线剖分为将一个正方形沿对角线剖分为4个直角三角形，然后按照如图所示方法移动个直角三角形，然后按照如图所示方法移动4个直角三角形，中间空白处个直角三角形，中间空白处形成的正方形的对角线长为形成的正方形的对角线长为_厘米。厘米。 解析：解析： 图形剪拼图形剪拼 解解：2 如图，原正方形的边长为如图，原正方形的边长为BD，变换后，变换后BDBCCD，新正方形的边长为，新正方形的边长为AC，ACABBC，其中，其中1ABCDcm。所以，新正方形的面积与原正方形相等。图中阴影部分两个小三角形面积也相等，所。所以，新正方形的面积与原正方形相等。图中阴影部分两个小三角形面积也相等，所以以中间空白处形成的正方形的对角线长为中间空白处形成的正方形的对角线长为1 12cm 。 难度系数：难度系数： 8.8. 一个立方体骰子一个立方体骰子的每个面上标记着从的每个面上标记着从1到到6中的一个数字，下面是它的两幅表面展开图，根据（中的一个数字，下面是它的两幅表面展开图，根据（1）提供的信息，填出在（提供的信息，填出在（2）中剩下的）中剩下的4个数字。个数字。 （1） （2） 解析：解析： 几何几何 解解: : 由第一个图可得，由第一个图可得，2对面是对面是4，1的对面是的对面是5，3的对面是的对面是6。由此可得：。由此可得： 难度系数：难度系数： 1厘米BD1cm1cm1cmCABD 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 9.9. 在印度河畔的圣庙前，一块黄铜板上立着在印度河畔的圣庙前，一块黄铜板上立着3根金针，针上穿着很多金盘。据说梵天创世时，在最左边的针上根金针，针上穿着很多金盘。据说梵天创世时，在最左边的针上穿了由大到小的穿了由大到小的64片金盘， 他要求人们按照 “每次只能移动一片， 而且小的金盘必须永远在大的金盘上面”片金盘， 他要求人们按照 “每次只能移动一片， 而且小的金盘必须永远在大的金盘上面”的规则，将所有的的规则，将所有的64片金盘移动到最右边的金盘上面。他预言，当所有片金盘移动到最右边的金盘上面。他预言，当所有64片金盘都从左边的针移动到右边片金盘都从左边的针移动到右边的时候，宇宙就会湮（的时候，宇宙就会湮（yan）灭。现在最左边金针（）灭。现在最左边金针（A）上只有）上只有5片金盘，如图（片金盘，如图（1）所示，要按照规则，）所示，要按照规则，移动成图（移动成图（2）的状态，至少需要移动）的状态，至少需要移动_步。步。 解析：解析：策略性问题策略性问题 解解: : 这是一个汉诺塔的变形问题这是一个汉诺塔的变形问题。 根据汉诺塔问题的推理结果，要将根据汉诺塔问题的推理结果，要将n个盘从一个柱全部移到另一个柱上，需要个盘从一个柱全部移到另一个柱上，需要21n步步 为叙述方便，将五个盘按从小到大编为为叙述方便，将五个盘按从小到大编为1 5号号 第一步：要将第一步：要将5号盘移到号盘移到C柱，先要将前柱，先要将前4个全部移到个全部移到B柱上柱上 所以将所以将5号移到号移到C柱至少需要柱至少需要42111 6步步 注意，此时注意，此时3号和号和4号盘也移到了目标位置号盘也移到了目标位置 第二步：同理将第二步：同理将2盘移动到盘移动到C柱至少需要移动柱至少需要移动2213 步步。 至少需要至少需要1 631 9步。步。 具体方法如下表：具体方法如下表： 次数 A B C 次数 A B C 1 2345 1 11 125 4 3 2 345 2 1 12 125 34 3 345 12 13 25 34 1 4 45 12 3 14 5 234 1 5 145 2 3 15 5 1234 6 145 23 16 1234 5 7 45 123 17 1 234 5 8 5 4 123 18 1 34 25 9 5 14 23 19 34 125 10 25 14 3 难度系数：难度系数： 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 10.10. 可以由边长为整数的互不相等小正方形拼补而成的矩形称为完美矩形。如下图所示，这是一个完美矩形，可以由边长为整数的互不相等小正方形拼补而成的矩形称为完美矩形。如下图所示，这是一个完美矩形，已知其中有一个边长为已知其中有一个边长为9的正方形（数字写在了正方形的中心） ，最小的正方形边长为的正方形（数字写在了正方形的中心） ，最小的正方形边长为2，请将剩下的，请将剩下的7个个小正方形按照从小到大的顺序写下这里小正方形按照从小到大的顺序写下这里_。 解析：解析：几何几何之面积转化之面积转化 解解: : 5,7,16,25,28,33,36 由边长为由边长为9和边长为和边长为2的正方形可以推出边长为的正方形可以推出边长为7的正方形的正方形，由边长为，由边长为9和边长为和边长为7的正方形可以推的正方形可以推出出边长为边长为16的正方形。依次可以推出其余正方形的边长。如图所示：的正方形。依次可以推出其余正方形的边长。如图所示： 难度系数：难度系数： 三、三、 填空题（每题填空题（每题12分，共分，共60分）分） 11.11. 两个不全为两个不全为0的数的公共数称为它们的公因数，求的数的公共数称为它们的公因数，求26019与与354的全体公因数的全体公因数_。 解析：解析：数论之约数数论之约数 解解: : 用短除法求两个数的最大公因数，如下图：用短除法求两个数的最大公因数，如下图： 公因数是最大公因数的因数，所以为公因数是最大公因数的因数，所以为1,3,59,177。 难度系数：难度系数： 1475921188673335426019 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 12.12. 0大于的自然数，如果满足所有因数之和等于它们自身的大于的自然数，如果满足所有因数之和等于它们自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数。比如，倍，则这样的数称为完美数或完全数。比如，6的所有因数为的所有因数为1，2，3，6，1 23612 ，6就是最小的完美数，是否有无限多个完美的数的问题至今就是最小的完美数，是否有无限多个完美的数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一。研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，仍然是困扰人类的难题之一。研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为的所有因数之和为_._. 解析：解析：数论之约数数论之约数 解解: : 81的所有因数为：的所有因数为：1,3,9,27,81，所以因数之和为所以因数之和为1 392781 121 。 难度系数：难度系数： 13.13. 有有10个不同因数的最小自然数为个不同因数的最小自然数为 。 解析：解析：数论之约数数论之约数与倍数与倍数 解析：因数个数解析：因数个数的求法的求法是先分解质因数，然后是先分解质因数，然后指数加一连乘得到的，指数加一连乘得到的，101 102 5 ，所以自然数可以表，所以自然数可以表示成：示成：9a或或4ab，最小为，最小为43 248。 难度系数：难度系数： 14.14. 在一个摆满棋子的长方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为：在某行或某列中，取走任意连续放在一个摆满棋子的长方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为：在某行或某列中，取走任意连续放置的棋子置的棋子 （即不能跨空格拿取） ，不允许不取，也不能在多行（多列）中拿取。当棋盘中所有棋子被取尽（即不能跨空格拿取） ，不允许不取，也不能在多行（多列）中拿取。当棋盘中所有棋子被取尽时游戏结束，取走最后一颗棋子的一方获胜。时游戏结束，取走最后一颗棋子的一方获胜。 面对如下图所示的棋盘，先手有必胜策略，先手第一步应该取走面对如下图所示的棋盘，先手有必胜策略，先手第一步应该取走 （写出所有的正确方案） ，才能（写出所有的正确方案） ，才能确保获胜。确保获胜。 解析：解析：策略性问题策略性问题 解解: : 经尝试，只能先取经尝试，只能先取4号号，在其它情况下无法保证获胜，在其它情况下无法保证获胜。 难度系数：难度系数： 家家 门门 口口 的的 中中 小小 学学 辅辅 导导 专专 家家 新新 舟舟 教教 育育 竞竞 赛赛 升升 学学 部部 走美杯走美杯 15.15. 在在的圆圈中的圆圈中填入从填入从1到到12的自然数（每一个数用而且只能用一次） ，使连接在同一条直线上的的自然数（每一个数用而且只能用一次） ，使连接在同一条直线上的4个个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个6阶幻星图，这个相等的数称为阶幻星图，这个相等的数称为6阶幻星图的幻和。那么，阶幻星图的幻和。那么，6阶幻星阶幻星图的幻和为图的幻和为 ，并继续完成以下，并继续完成以下6阶幻星图：阶幻星图： 解析：解析：数阵图数阵图 解解: : 观察图形，有六个幻和，这六个幻和刚好把观察图形，有六个幻和，这六个幻和刚好把112这这12个数用了两遍，所以个数用了两遍，所以六个幻和的总和为六个幻和的总和为1 12122 2156 ，所以幻和为，所以幻和为156626。 难度系数：难度系数： 感谢张培老师、陈银波老师、孙懿欧老师、孙梦思老师、刘欣君老师、感谢张培老师、陈银波老师、孙懿欧老师、孙梦思老师、刘欣君老师、吴忠良老师、岳娟老师、倪淑娴老师、葛亚宁老师、鲁林林老师吴忠良老师、岳娟老师、倪淑娴老师、葛亚宁老师、鲁林林老师