2022年特级教师高考数学首轮复习第讲-函数的奇偶性.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 一、函数的奇偶性学问结构二、重点表达1. 函数奇偶性定义严格定义 : 对于函数 fx 的定义域内的任意一个 对于函数 fx 的定义域内的任意一个 定义内涵 : x,都有 f-x=-fx, 那么函数 fx 就叫做奇函数；x,都有 f-x=fx, 那么函数 fx 就叫做偶函数；、在定义域内既存在x,又存在,所以其定义域必需关于原点对称；这构成了函数奇偶性的必要条件；、奇函数 :f-x=-fxf-x+fx=0, 或假设 fx 0；偶函数 :f-x=fxf-x-fx=0, 或假设 fx 0；、已知函数 fx 是奇函数 ,假设 f0 有定义 ,就 f0=0; 偶函数就不肯定 ,假设 fx 是偶函数 ,就fx= f-x fx=f|x| ；定义外延 : 名师归纳总结 、奇偶性与单调性的关系: 第 1 页,共 7 页奇函数在对称区间-b,-a与 a,b上增减性相同 ; 偶函数在对称区间-b,-a与 a,b上增减性相反；、奇偶性与运算的关系: - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 fx,gx 的定义域分别是D 1 ,D 2 ,那么在它们的公共定义域上奇偶性为: 奇+奇=奇,奇 奇=偶,偶+偶=偶,偶 偶=偶,奇 偶=奇；、奇偶性与复合函数的关系 : 已知函数 gx,fx,fgx 的定义域都是关于原点对称的 , 假设 u=gx,y=fu 都是奇函数时 ,就 y=fgx 是奇函数 ; 假设 u=gx,y=fu 都是偶函数 ,或者一奇一偶时 2. 几何特点,就 y= fgx 是偶函数；定义域关于原点对称是函数奇偶性的必要条件；奇函数的图象关于原点成中心对称；偶函数的图象关于 y 轴对称；3. 判定方法奇偶性的判定方法有图象法 图象法 : ,定义法 ,运算法和复合法；证明函数奇偶性肯定要用定义法；假设函数图象关于原点成中心对称,就其函数是奇函数;假设函数图象关于y轴对称 ,就其函数是偶函数；定义法 : 、定义域是否关于原点对称 ,假设不是 ,就是非奇非偶函数 ;假设是 ,仍要看；、假设 ,或 f-x+fx=0, 或 假设 fx 0, 就是奇函数 ; 假设 f-x=fx, 或 f-x-fx=0, 或 运算法 : 假设 fx 0, 就是偶函数；设 fx,gx 的定义域分别是 D 1 ,D 2 ,那么在它们的公共定义域上奇偶性 : 奇+奇=奇,奇 奇=偶,偶+偶=偶,偶 偶=偶,奇 偶=奇；复合法 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知函数 gx,fx,fgx 的定义域都是关于原点对称的 , 假设 u=gx,y=fu 都是奇函数时 ,就 y=fgx 是奇函数 ; 假设 u=gx,y=fu 都是偶函数 ,或者一奇一偶时 4. 主要应用,就 y= fgx 是偶函数；判定函数的奇偶性:按判定方法操作,一般先用图象法,也可以用定义法,或运算法、复合法,因题而异；证明函数的奇偶性 :肯定要用定义法证明；利用函数的奇偶性求函数解析式 : 已知定义域一边对称区间上的函数解析式 数解析式 ,进而求得整个函数解析式；即,利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函已知定义在R 上奇函数 ,假设当 x-,0时 ,函数解析式为y=fx, 就 R 上的函数解析式为；已知定义在R 上偶函数 ,假设当 x-,0时 ,函数解析式为y=fx, 就 R 上的函数解析式为；求值域与最值 : 求值域 : 、已知定义域一边对称区间上的函数值范畴,利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数值范畴 ,进而求得整个定义域上的函数值范畴 ,即求得整个函数的值域；、已知定义在 R 上奇函数 ,假设当 x-,0时,函数值的范畴为 a,b, 就当 x0,+ 时,函数值的范畴为 -b,-a, 所以在 R 上的函数值域为 -b,-a a,b ；、已知定义在 R 上偶数 ,假设当 x-,0时,函数值的范畴为 a,b,就当 x0,+ 时,函数值的范畴为 a,b,所以在 R 上的函数值域为 a,b；求最值 :同理已知定义域一边对称区间上的函数值范畴,利用函数的奇偶性可求得另一边对称区间上的函数值范畴 ,进而求得整个定义域上的函数值范畴 ,即可求得整个函数的最值；已知定义在 R 上奇函数 ,假设当 x-,0时 ,函数的最大 小值 A,当 x0,+ 时 ,函数的最小大值为 -A, 所以在 R 上的函数的最小大值为 -A, 最大 小值 A；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知定义在 R 上偶函数 ,假设当 x-,0时,函数的最大值A, 最小值 B,就当 x0,+时,函数的最大值也是A, 最小值也是B,所以在 R 上的函数的最大值为A, 最小值为 B；三、案例分析1.案例 1： 判定或证明函数奇偶性：判定以下函数的奇偶性：1fx +2 f x=3fx lg +x; 【答案】非奇非偶函数 ;偶函数 ;奇函数；分析：判定函数奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再看,；fx= ±fx 或等价形式：第1 小题的定义域,不关于原点对称；第2小题是分段函数,可用定义法或图象法判断；第 3小题可用运算法判定,即运算；解： 1, 函数的定义域是,它不关于原点对称；所以是不奇不偶函数；2函数的定义域是,它关于原点是对称的；当时,就,当时,就,；对任意的,都有；所以是偶函数；3函数的定义域是R,它关于原点是对称的；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,所以是奇函数；2. 案例 2：抽象函数的奇偶性定义在A= x|x 0上的函数fx 对任意 x, yA 都有fx ·y=fx+fy 1求 f1 的值；2判定 fx 的奇偶性,并证明；【答案】 1 f1 =0;2 偶函数；分析：此题设是抽象函数的函数方程,其一般方法是赋值法；求f1 简单,令 x=1 即可；证明函数 fx 的奇偶性就要摸索如何赋值,才能配凑出 f-x= fx 或 f-x=-fx ；令 x=-1 ,y=-x ,就有,明显可证；解：令,就,；令,就,只要证明,那么函数 是偶函数；令,就,；所以函数 是偶函数；3. 案例 3：利用函数的奇偶性求函数解析式或函数值已知函数 是 R 上的奇函数,且但 x>0 时,就 在 R 上的解析式是 ；【答案】；分析：函数 是 R 上的奇函数,假设,就,假设 x<0,就 -x>0 ,所以；于是解：函数是 R 上的奇函数,假设,就；假设 x<0 ,就 -x>0 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - ；于是；所以在 R 上的解析式是；已知函数,就都4. 案例 4：利用函数的奇偶性求函数解析式或函数值是定义在 R 上的奇函数,且,假设=_ ；【答案】；R 上的奇函数, 所以函数,；分析：函数都是定义在是 R 上奇函数, 于是评注：此类方法的技巧值得留意,类似地可解2022 福建高考题；题为：函数,假设 fa=2 ,就 f-a 的值为5. 案例 5：奇偶、单调的综合应用定义在 A= x|x 0上的函数 fx 对任意 x,yA 都有 fx ·y=fx+fy ；假设函数 fx 在 0,+ 上是增函数,且 f4=1 ,f3x+1+f2x-6 3,求实数 x 的取值范畴；【答案】；分析： 已知函数单调性, 可以比较函数自变量值的大小,从而把抽象的不等式转化为详细的不等式解之；已知函数 fx 在 0,+ 上是增函数,那么在-,0上的单调性呢？因此必需先探究函数 fx 的奇偶性；对于抽象函数的函数方程,用赋值法解决之；解：令 x=-1 ,y=-x ,就,只要证明,就函数 fx 是偶函数；名师归纳总结 令,就,；第 6 页,共 7 页令,就,函数是偶函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,；所以,或或；所以,所求实数的范畴是；评注：函数 fx 既是偶函数,又是增函数,把问题转化成二次不等式解决,要留意偶函数的特点；四、总评1要懂得并把握函数的奇偶性概念、性质及几何特点,会比较娴熟地应用于解决问题；2留意判定或证明函数的奇偶性的定义方法 :先看定义域是否关于原点对称 ,再看是否满意f-x= fx 或其等价形式 ,如 f-x fx=0 等；对于奇函数 ,假设在原点有定义 ,就有 ;对于偶函数,就有；3懂得用奇偶函数的运算或复合的方法判定函数的奇偶性 ,只能用于判定方法 ,不能作为证明方法；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
