2022年知识点一导数与函数的单调性.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师举荐细心整理y学习必备1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内,假如f 0,那么函数f x 在这个区间内单调递增；如果f 0,那么函数yf x 在这个区间内单调递减.假如f 0,那么函数yf x 在这个区间上是常数函数. 0是yf x 在（ a,b）内单调递增的注：函数yf x 在（ a,b）内单调递增,就f 0,f 充分不必要条件. 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正一般地,当函数yf x 在点0x处连续时,判定f x 0是极大（小）值的方法是：（1）假如在0x邻近的左侧f' 0,右侧f' 0,那么f x 0是极大值（2）假如在0x邻近的左侧f' 0,右侧f' 0,那么f x 0是微小值注：导数为0 的点不肯定是极值点学问点一：导数与函数的单调性 方法归纳：名师归纳总结 在某个区间（a,b）内,假如f 0,那么函数yf x 在这个区间内单调递增；假如f 0,那第 1 页,共 7 页么函数yf x 在这个区间内单调递减.假如f 0,那么函数yf x 在这个区间上是常数函数. 注：函数yf x 在（ a,b）内单调递增,就f 0,f 0是yf x 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件. 例 1】（ B 类）已知函数f x x32 bxcxd 的图象过点P0, 2,且在点M 1,f 1处的切线方程为6xy70. （）求函数yfx的解析式；（）求函数yfx的单调区间 . 【解题思路】留意切点既在切线上,又原曲线上.函数f x 在区间 , a b 上递增可得：f' 0；函数f x 在区间 , a b 上递减可得：f' 0. 【例 2】（ A 类）如f x 3 axx 在区间 1,1上单调递增,求a的取值范畴 . 【解题思路】利用函数f x 在区间 , a b 上递增可得：f' 0；函数f x 在区间 , a b 上递减可得：f' 0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解【例 3】（ B 类）已知函数f lnx ,g x aa0,设F x f x g x x（）求函数F x 的单调区间；（）如以函数yF x x0,3图像上任意一点P x 0,y 0为切点的切线的斜率k1恒成立,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师举荐细心整理学习必备求实数 a 的最小值【课堂练习】1. （ B ）已 知 函 数f 3 axbx2的 图 像 经 过 点M1,4, 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 恰 好 与 直 线x9y0垂直 . （）求实数a b 的值；m的取值范畴 . （）如函数f x 在区间 m m1上单调递增,求2（ B 类）设函数gx1x21ax2bxa,bR,在其图象上一点P（ x,y）处的切线的斜率记32为fx.x 的表达式；0时,争论函数f x 的单调（ 1）如方程fx 0 有两个实根分别为2 和,4求f（ 2）如g x 在区间3,1上是单调递减函数,求a22 b的最小值3.（ A 类）已知函数f x 1x2mlnxm1x , mR 当m2性. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例一 解析】（）由fx名师举荐,知d细心整理学习必备的图象经过P0, 22,名师归纳总结 - - - - - - -所以f x x32 bxcx2. 所以f 32 x2 bxc . 由在M 1,f 1处的切线方程是6xy70,知6f 170,即f 11,f 16. 所以312 bc6,1.即2 bbcc3,解得bc3. bc20.故所求的解析式是f x x33x23x2. （）由于f 3x26x3,令3x26x30,即x22x10,解得x 112,x 212. 当x12或x12时,f' 0,当12x12时,f' 0,故f x x33x23x2在,12 内 是 增 函 数 , 在12,12 内 是 减 函 数 , 在12, 内是增函数 . 例二【解析】f 2 3 ax1又f x 在区间 1,1上单调递增f 2 3 ax10在1,1上恒成立即a12在 x1,1时恒成立 . 3 xa1故 a 的取值范畴为1,33例三解析】（ I）Fxfxg xlnxax0,F'x1axx2ax0xxx2a0,由F'x0xa , F x 在a,上单调递增 . 由F'x0x0,a , F x 在 0, a 上单调递减 . F x 的单调递减区间为0,a ,单调递增区间为a ,. （II ）F'xx2a0x3,kF'x 0x 002a0x3恒成立a12 x 0x 0maxxx2当x 01 时,12 x 0x 取得最大值1. 22第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师举荐 细心整理 学习必备a 1, amin=12 21,【解析】（）f x ax 3bx 2M 1,4 a b 4课堂练习；的图象经过点2f 3 ax 2 bx ,f 1 3 a 2 b由已知条件知 f 1 1 1 即 3 a 2 b 99a b 4 a 1解 得：3 a 2 b 9 b 3（）由（）知 f x x 33 x ,2f 3 x 26 x2令 f 3 x 6 x 0 就 x 2 或 x 0函数 f x 在区间 m m 1 上单调递增 m m 1 , 2 0, m 0 或 m 1 2 即 m 0 或 m 322,解析】（ 1）依据导数的几何意义知 f x g x x ax b由已知 -2、4 是方程 x 2ax b 0 的两个实根由韦达定理,2 4 a a 2, f x x 2 2 x 82 4 b b 8（ 2）g x 在区间 1,3上是单调递减函数,所以在 1,3区间上恒有f x g x x 2ax b 0 , 即 f x x 2ax b 0 在 3,1 恒成立f 1 0 a b 1这只需满意 即可 , 也即f 3 0 b 3 a 9而 a 2b 2 可视为平面区域 a b 1内的点到原点距离的平 方 ,b 3 a 9其中点（ 2,3）距离原点最近,名师归纳总结 所以当a b32 时,a2b2有最小值 13 1xm ,第 4 页,共 7 页3,【解析】f xmm1x2mx1xmxxx（ 1）当1m0时,如x0,m时 ,f 0,f x 为增函数；xm ,1时,f 0,f x 为减函数；x1,时 ,f 0,f x 为增函数（2）当m1时,x0,1时 ,f 0,f x 为增函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师举荐细心整理学习必备x1,m时 ,f 0,f x 为减函数；xm ,时 ,f 0,f x 为增函数学问点二 : 导数与函数的极值最值方法归纳：名师归纳总结 1.求函数的极值的步骤: 第 5 页,共 7 页1确定函数的定义域,求导数f' .2求方程f' 0的根 .3用函数的导数为0 的点,顺次将函数的定义域分成如干小开区间,并列成表格.检查f' x 在方程根左右的值的符号,假如左正右负,那么f x在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么fx在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号,那么fx 在这个根处无极值.2.求函数在 , a b 上最值的步骤：（1）求出f x 在 , a b 上的极值 . （2）求出端点函数值f a ,f b . （3）比较极值和端点值,确定最大值或最小值. 注:可导函数yf x 在xx 处取得极值是f'x00的充分不必要条件. 【例 4】（ A 类）如函数f mcosx1sin 2x 在x4处取得极值 ,就 m. 2【解题思路】如在x 邻近的左侧f' 0,右侧f 0,且f'x 00,那么f x 0是f x 的极大值；如在x 邻近的左侧f' 0,右侧f' 0,且f'x 00,那么f x 0是f x 的微小值 . 【解析】由于f x 可导 ,且f' msinxcos2x,所以f'4msin4cos20,解得m0. 验证当m0时 , 函数f x 1sin2x 在x4处取得极大值 . 2【注】如f x 是可导函数,留意fx 00是x 为函数f x 极值点的必要条件.要确定极值点仍需在x 左右判定单调性. 例 5】（ B 类）已知函数f xxx k e ,（I）求fx 的单调区间；（II）求fx 在区间 0,1 上的最小值 . 【解析】（I ）f/ xkx 1 e ,令f/ 0xk1；所以fx 在 ,k1上递减,在k1,上递增；（II ）当k10,即k1时,函数fx 在区间 0,1 上递增,所以f x minf0k ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师举荐 细心整理 学习必备当0 k 1 1 即1 k 2 时,由（ I）知,函数 f x 在区间 0, k 1 上递减, k 1,1 上递增,所以 f x min f k 1 e； 当 k 1 1, 即 k 2 时 , 函 数f x 在 区 间 0,1 上 递 减 , 所 以 k 1f x min f 1 1 k e. 【例 6】（ B 类）设 x 1, x 2 是 f x a ln x bx x函数的两个极值点 . （1）试确定常数 a 和 b 的值；（2）试判定 x 1, x 2 是函数f x 的极大值点仍是微小值点,并求相应极值 . 【解析】（ 1）f ' x a 2 bx 1,x2由已知得：f f' '12 00 12 aa 24 bb 11 00 ab 16 3（2）x变化时 . f , f x 的变化情形如表：x（0,1）1 （ 1,2）2 f,x0 + 0 f x 微小值 极大值故在 x 1 处,函数 f x 取微小值 56 ；在 x 2 处,函数 f x 取得极大值 43 2 ln 231 3 1 2 2f x x x 2 ax , 4.（ A 类）设 3 2 .如 f x 在 3 上存在单调递增区间,求 a 的取值范畴 . 5.（ B 类）设 f x ln x ,g x f x f x （1）求g x 的单调区间和最小值；（2）争论g x 与g1 x 的大小关系；6.（ C 类）已知函数f x 3 x2 3 ax36 a x12a4aR 证明：曲线yf x 在x0的切线过点2,2；. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师举荐细心整理1,令学习必备课堂练习； 4,【解析】fx在2,上存在单调递增区间,3即存在某个子区间m ,n2,使得f' x 0. 3由f'xx2x2 ax1212a,24f' x在区间2,上单调递减,就只需'f20即可 . 33由f'222a0解得a1,399g x 0 得x=1,所以,当a1时,f x 在2,上存在单调递增区间935,解】（ 1）由题设知f x lnx g x lnx1g x xx ,2 x当x（ 0,1）时,g x 0,g x 是减函数,故（0,1）是g x 的单调减区间 . g11.当x（ 1,+）时,g x 0,g x 是增函数,故（1,+）是g x 的单调递增区间,因此,x=1 是g x 的唯独极值点,且为微小值点,从而是最小值点,所以g x 的最小值为2g1 xlnxx,设h x g x g1lnxx1h x xx2 1,xx ,就2当x1时,h10,即g x g1 x ,当x0,11,时,h x 0,因此,h x 在 0, 内单调递减,当0x1时,h x h10,即g x g1.x6,【解析】 f 3 x26 ax36 a ,f036a ,又f012a4名师归纳总结 曲线yf x 在x0的切线方程是：y12a436 a x ,在上式中令x2,得y2. 所以曲线yf x 在x0的切线过点2,2；第 7 页,共 7 页- - - - - - -