2022年上海市宝山区高考数学一模试卷和参考答案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室上海市宝山区 2022 2022 学年高三第一学期期末测试卷数学 2022.12 考生留意 : 1. 答卷前 , 考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清晰 形码 . , 并在规定的区域内贴上条2. 本试卷共有 23 道试题 , 满分 150 分. 考试时间 20 分钟 . 一. 填空题（本大题满分 54 分）本大题有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果 , 每个空格填对得 4 分, 否就一律得零分 . 1. 设集合 A = 2, , ,12 ,B = 0 1 2, , ,3 , 就 A I B = _. n n2. n lim 55 n-+ 77 n = _. 3. 函数 y = 2 cos 3 2p x -1 的最小正周期为 _. 4. 不等式 x + 2> 1 的解集为 _. x + 15. 如 z =-2 + 3i（其中 i 为虚数单位） , 就 Imz = _. i6. 如从五个数-1, , , , 中任选一个数 m , 就使得函数 f x = m 2-1 x + 1 在 R 上单调递增的概率为 _. （结果用最简分数表示）7. 在 x 32 + x n的二项绽开式中 , 全部项的二项式系数之和为 1024, 就常数项的值等于_. 8. 半径为 4 的圆内接三角形ABC 的面积是1, 角 A、 、C所对应的边依次为a、 、 , 就16abc的值为 _. 9. 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 , 双曲线 x 2-y 2= 1 的右焦点是 C 的焦点 F . 如斜率25 144为-1 , 且过 F 的直线与 C 交于 A, 两点 , 就 A B = _. 10. 直角坐标系 xOy 内有点 P -2 ,-1 , Q 0 ,-2 将 D POQ 绕 x 轴旋转一周 , 就所得几何体的体积为 _. 11. 给 出 函 数g x = -x2+bx, h x = -mx2+x-4, 这 里 b m x.R, 如 不 等 式g x +b+1.0（ x.R）恒成立 , h x +4为奇函数 , 且函数f x = í ì.g x ,xt, 恰有两h x ,x>t个零点 , 就实数 t 的取值范畴为 _. 12. 如 n （n 33, n. ￥ ） 个 不 同 的 点 *Q a 11,b 1, Q2 a2,b 2, L, Qn an,b n满 足 : a1<a2<L<an, 就 称 点Q1,Q2,L,Qn按 横 序 排 列 . 设 四 个 实 数k,x 1,x 2,x3使 得1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室2 k x 3-x 1 ,x 23,2 x 2 2 成等差数列 , 且两函数 y = x 2 , y =x 1 + 3 图象的全部交点 P x 1 1,y 1 , P x 2 2,y 2 , P x 3 3,y 3 按横序排列 , 就实数 k 的值为 _. 二. 挑选题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题 , 每题有且只有一个正确答案 , 考生应在答题纸的相应编号上 , 将代表答案的小方格涂黑 , 选对得 5 分 , 否就一律得零分 . ì. 3 x 4 y = 113. 关于 x, 的二元一次方程组 .í. . x-3 y = 10 的增广矩阵为（）A. 骣. . . .桫 31-43-10 1÷÷÷÷÷B. 骣. . . .桫 31-43-110÷÷÷÷÷ C. 骣. . . .桫 3-43 10 1÷÷÷÷÷D. 骣. . . .桫 31 43 10 1÷÷÷÷14. 设 P 1,P 2,P 3,P 4 为空间中的四个不同点 , 就“P 1,P 2,P 3,P 4 中有三点在同一条直线上” 是“P 1,P 2,P 3, 在同一个平面上” 的（4）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件15. 如函数 y = f x-2 的图象与函数 y = log 3 x + 2 的图象关于直线 y = x 对称 , 就f x = （）A. 3 2 x-2 B. 3 2 x-1 C. 3 2 x D. 3 2 x + 116. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积 . 设 : 数列甲 : x 1,x 2, ,x 5 为递增数列 , 且 ix . N *（i = 1 2, ,L, ）; 数列乙 : y 1,y 2, ,3 y 4, 满意 5iy . 1,1（i = 1 2, ,L, ）. 就在甲、乙的全部内积中（）A. 当且仅当 x 1 = 1,x 2 = 3,x 3 = 5,x 4 = 7,x 5 = 9 时 , 存在 16个不同的整数 , 它们同为奇数 ; B. 当且仅当x 1=2,x2=4,x3=6,x4=8,x 5=10时, 存在 16 个不同的整数 , 它们同为偶数 ; C. 不存在 16个不同的整数 , 要么同为奇数 , 要么同为偶数 ; D. 存在 16个不同的整数 , 要么同为奇数 , 要么同为偶数 . 三. 解答题（本大题满分76 分）本大题共5 题, 解答以下各题必需在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤17. （此题满分 14 分）此题共有 2 个小题 , 第 1 题满分 6 分, 第2 题满分 8 分. 如图 , 在长方体 A BCD-A B C D 1 1 1 1 中, 已知 AB = BC = 4 , DD 1 = 8 , M 为棱 C D 的中点 . 1 1（1）求四棱锥 M-ABCD 的体积 ; （2）求直线 BM 与平面 BCC B 所成角的正切值 . 2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室18. （此题满分14 分）此题共有2 个小题 , 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分已知函数f x =1-2 sin2x. f C=1, 2（1）求f x 在轾 犏 p犏 臌 2,3 p2上的单调递减区间; 2-1-1（2）设DABC的内角 A, , 所对应的边依次为a, , , 如ca-b且2-111求DABC面积的最大值 , 并指出此时DABC为何种类型的三角形. 19. （此题满分14 分）此题共有2 个小题 , 第 1 题满分 6 分, 第 2 题满分 8 分. 设数列 an b n及函数f x （ x.R）, b n=f a n（ n.N*）. 1的前 n （ n.N*）（1）如等比数列 an满意a1=1,a2=3, f x =2 x, 求数列 b b +项和 ; （2）已知等差数列 a n满意a1=2,a2=4,f x =l qx+1（l 、 均为常数 , q >0, 且q 11）, cn=3+n+ b 1+L+（ n.N*）. 试求实数对 l , , 使得 c n成等b 2b n比数列 . 20. （此题满分 16 分）此题共有 3 个小题 , 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满分3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室6 分. 设椭圆 C : x2+y2=1（a>b>0）过点 -2,0, 且直线x-5 y+1=0过 C 的左焦点 . a2b 2（1）求 C 的方程 ; （2）设 x,3 为 C 上的任一点 , 记动点 x,y 的轨迹为 G, G与 x 轴的负半轴 , y 轴的正半轴分别交于点 G,H , C 的短轴端点关于直线 y = x 的对称点分别为 F 1, . 当点 P 在直 2uuur uuur线GH 上运动时 , 求 PF 1×PF 2 的最小值 ; （3）如图 , 直线 l 经过 C 的右焦点 F , 并交 C 于 A, 两点 , 且 A , B 在直线 x = 4 上的射影依次为 D , E . 当 l 绕 F 转动时 , 直线 AE 与 BD 是否相交于定点 .如是 , 求出定点的坐标 ; 否就 , 请说明理由 . 21. （此题满分 18 分）此题共有 3 个小题 , 第 1 题满分 4 分, 第 2 题满分 6 分, 第 3 题满分8 分. 设 z.C, 且f z ì锍 . z , Re z= í.-. z , Rez00. C）, 求 z 的值 ; <（1）已知 2 +f z -4 z= -2+9 i（ z.（2 ）设 z （ z.C）与 Rez 均不为零 , 且z2 n.1（ n.N*） . 如存在k0.N*, 使得f z k 0 +1k 0 .2, 求证 : f z +1.2; f z f z （3 ）如z 1=u（ u.C）, z n+1=f z2 n+z n+1（ n.N*） . 是否存在u , 使得数列z 1,z 2, 满意z n+m=zn（ m 为常数 , 且 m.N*）对一切正整数n 均成立 .如存在 , 试求出全部的 u ; 如不存在 , 请说明理由 . 4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室2022 年宝山区高三一模数学参考答案1 2 3 4 5 6 2,3-11-1,+ .-2 U4,+ .2357 8 9 10 11 12 405 1 104 4p2,01 13 14 15 16 C A C D 第一部分、填选其次部分、简答题17. 解: （1）由于长方体A BCD-A B C D 1 1 11, 所以点 M 到平面 ABCD 的距离就是DD1=8, 故四棱锥M-ABCD 的体积为 V M-A BCD = 1 鬃 S ABCD DD 1 = 128 . 3 3（2）（如图）联结 BC 1 , BM , 由于长方体 A BCD-A B C D 1 1 1 1 , 且M . C D 1 1 , 所以 MC 1 平面 BCC B , 故直线 BM 与平面 BCC B 所成角就是D MBC 1 , 在 Rt D MBC 1 中, 由已知可得 MC 1 = 1C D 1 = 2 , BC 1 = BB 1 2 + B C 1 1 2 = 4 5 , 2因此 , tan . MBC 1 MC 1 = 2= 5, 即直线 BM 与平面 BCC B 所成角的正切值为BC 1 4 5 105. 1018. 解: （1）由题意可得 f x = cosx , 故 f x 在 轾犏犏 臌 p2,32 p 上的单调递减区间为 轾犏犏 臌 p2,p . 5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室（2 ）由已知可得a+b=4, Qf C=1, cosC =1, 又C.0,p, C=p. 故223SDABC=1absinC=3ab3 4a+b2=3, 当a=b=2时取等号 , 即DABC面积242的最大值为3 , 此时DABC是边长为 2 的正三角形 . 2 3n-1（ n.N*） , 所 以19. 解 : （ 1 ） 由 已 知 可 得an=3 n-1（ n.N*） , 故b n=b b + 1 = 4 . 3 2 n -1（ n . N*）, 从而 b b + 1 是以 12为首项 , 9 为公比的等比数列 , 故数列 b b + 1 的前 n 项和为3 9 n -1（ n . N *）. 2（ 2 ） 依 题 意 得 a n = 2 n（n . N *） , 所 以 b n = l q 2 n+ 1（n . N *） , 故c n = 3 + l q 22 + l + 1 n-l q 22 q 2 n1-q 1-q（ n . N*） , 令 ì.í.3 +l 1+ l-q1 2q= 2 =0 0, 解得 ì.í. q l=-2 3 1（q = -2 3< 0 舍去） , 因此 , 存在 l,q = -1,3 , 使得数列 c n 成等比数列 , 且 c n = 3 3 n（n . N *）. 2 42 2 220. 解: （ 1）依题意可得 a = 2 , 半焦距 c = 1 , 从而 b = a-c = 3 , 因此 , 椭圆 C 的方程为 x 2+ y 2= 1 . 4 3（ 2）由于点 x,3 在 C 上 , 所以 x 2+ 3 2= 1 , 故轨迹 G: x 2+ y 2 = 1 . 不妨设4 3 4uuur uuurF -3, , F 2 3, , P x, , 就 PF 1 = -3-x,-y , PF 2 = 3-x,-y . 易得直线 GH : x-2 y + 2 = 0 , 故PF uuur1 . PF uuur2 x 2 + y 2-3 = 5 y-4 2-11, 所以当 y = 4, 即点 P 的坐标为 -2,4 时 , 5 5 5 5 5PF uuur1×PF uuur2 取得最小值-11 . （或这样 : 由于点 P 在直线 GH 上运动 , 所以当 OP GH 时, 5x 2+ y 2取得最小值 , 故 x 2 + y 2也取得6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室2最小值 , 此时 x 2 + y 2 min = 轾 -犏犏犏 臌 2 .5 0 2= 45 , 易得对应点为垂足 P -25,45 , 从而 , uuur uuurPF 1×PF 2 的最小值为 PF uuur1 . PF uuur2 min 45-3 = -115 . ）（3）易得 F 1, , 设 l : x = my + 1（ m . R）, A x 1,y 1 , B x 2,y 2 , 就 D 4,y 1 , E 4,y 2 , 由 ì.í. . x x4 2= +my y3 2+ =1 1 得 3 m 2 + 4 y 2 + 6 my-9 = 0 , 明显 D = 144 m 2 + 1 > 0 , 且y 1 + y 2 = -3 m 62 m+ 4 , y y 1 2 = -3 m 2 9+ 4 . 将 x 1 = my 1 + 1 代入直线 AE 的方程 : x 1-4 y-y 2 = y 1-y 2 x-4 , 并化简可得my y 1 2 + y 1 + y 2 + 轾臌 2 y 1- y 1 + y 2 x-5 y 1 + 3-my 1 y = 0 , 将 y 1 + y 2 = -3 m 62 m+ 4 , y y 1 2 = -3 m 2 9+ 4代入可得 m . 2 9-62 m+ 2 y 1 + 62 m x-5 y 1 + 3-my 1 y = 0 , 即直线3 m + 4 3 m + 4 3 m + 4AE 的方程为 2 3 轾犏 臌 m 2 + 4 y 1 + 3 m x-52 + 3 m 2 + 43-my 1 y = 0 , 由于 m, 任意 , 所 1以直线 AE 过定点 5, . 同理可得直线 BD 也过定点 5, . 2 2综上 , 当 l 绕 F 转动时 , 直线 AE 与 BD 相交于定点 5,0 . 221. 解: （1）设 z = a + bi（ a,b . R）, 就 Rez = a . ì. .í.-.如a 30, 就f z =z, 由 已 知 条 件 可 得-a-3 bi= -2+9 i, Qa,b.R, a= -2 9, 解得ì.í. .a23, z=2-3 i. 3 b=b= -7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室如 a < 0 , 就 f z =-z , 由 已 知 条 件 可 得-7 a-5 bi = -2 + 9 i , Q a,b . R , ì.í.-. 75 b a= = -9 2, 解得 ì.í. ab = -= 2795 , 但 a < 0 , 故 ì.í. ab = -=7 295 舍去 . 综上 , 得 z = 2-3 i . （2）证明如下 : 令 t n = f z n+ f z 1 n , 就 t n = z n +z 1n（ n . N *）. 假设 f z + 1> 2 , 即 1 > 2 , 因 z 2 n . 1（ n . N*）, 故 nt > 0（ n . N*）, f z 于 是2 nt + 1 < t 1 . t n + 1 = z + 1z . z n + 1z n 1+ 1 = 骣 珑 珑 珑 桫 z n +z 1n 鼢 鼢 鼢 鼢 + 骣桫 z n + 2 +z n 1+ 2. z nz 1n + z n + 2 +z n 1+ 2 = t n + t + 2 , 即 2 n + 1 < t n + t n + 2（ n . N*） , 亦即 t n + 1-t n < t n + 2-t n + 1 , 故数列 t n + 1-t n 单调递增 . 又 1t > 2 , 故t 2 = z 2 +z 12 = 骣. . . 桫 z + 1z÷÷÷÷2-2 . zz 1 2-2 = t 1 2-2 > t 1 , 即 t 2 > t 1 , 于 是 , t n + 1-t n > t n-t n-1 > L > t 2-t 1 > 0 . 所以 , 对任意的 n . N * , 均有 nt . t 1 2 , 与题设条件冲突 . 因此 , 假设不成立 , 即 f z + 1. 2 成立 . f z （3）设存在 u . C 满意题设要求 , 令 a n = Rez n,b n = Imz n（ n . N*）. 易得对一切 n . N* , 均有 a n 3 0 , 且 ì.í. . ab nn + 11 = a2 n 2a +n a+ n1 +b 1n-b n 2（ ） . （）如 u . i, , 就 z n 明显为常数数列 , 故 u = . i 满意题设要求 . （）如 u . i, , 就用数学归纳法可证 : 对任意 n . N* , a n,b n . 0,1 0,1 . 证明 : 当 n = 1 时, 由 u . i, , 可知 a 1,b 1 . 0,1 0, ,1 . 假设当 n = k 时, a k,b k . 0,1 0, ,1 . 那么 , 当 n = k + 1 时, 8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室如 a k + 1,b k + 1 . 0,1 0,1 , 就 a + 1 = 0 , kb+ 1 = 1 . 故 a k 2 + a k + 1-b k 2 = 0 , 2 a k + 1 b k = 1 . （ ）假如 a k = 0 , 那么由 a k,b k . 0,1 0, ,1 可知 kb 1 1 , 这与（ ）冲突 . 假如 a k > 0 , 那么由（ ）得 b k 2= a k 2+ a k + 1 > 1 , 即 kb > 1 , 故 2 a k + 1 . b k 1 , 与（ ）冲突 . 因此 , a k + 1,b k + 1 . 0,1 0, ,1 . 综上可得 , 对任意 n . N* , a n,b n . 0,1 0, ,1 . 记 x n = 2 a n 2+ b n 2（ n . N *）, 留意到x n + 1-x n = 2 a n 2+ 1 + b n 2+ 1 -2 a n 2 + b n 2 = 2 轾犏 臌 a n 2 + a n 2 + a n 2 + 2 a n + 1-b n 2 2 . 0 , 即a n = 0x n + 1-x n . 0 , 当且仅当 .í. . b n 2 = 1 , 亦即 a n,b n . 0,1, ,1 时等号成立 . 于是 , 有 x n < x n + 1（ n . N *）, 进而对任意 m , n . N* , 均有 x n + m > x n , 所以 z n + m 1 z n . 从而, 此时的 u . i, 不满意要求 . 综上 , 存在 u = . i , 使得数列 z 1,z 2,L 满意 z n + m = z n（ m 为常数 , 且 m . N *）对一切n . N* 成立 . 9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -