2022年《概率论与数理统计》第五章习题.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -习题五1.一颗骰子连续掷4 次,点数总和记为X.估量 P10< X<18. 7,29 1 6,【解】设X 表每次掷的点数,就X4XiE Xi112131i14151616666662E Xi22 112 212 312 412 512 61666666从而D XiE X2E Xi291735 12.i62又 X1,X2,X3,X4 独立同分布 . 从而E XEi4Xii4E Xi4714,76%与 84%之间112D XDi4Xii4D Xi43535.11123所以P 10X18P |X14 | 4135 / 30.271,422. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件？【解】 令Xi1, 如第 个产品是合格品,0,其他情形 .而至少要生产n 件,就 i=1,2, ,n,且X1,X2, , Xn独立同分布, p=P Xi=1=0.8. 现要求 n,使得nP 0.76iXi0.840.9.1n即P 0.76n0.8ninXi0.8 n0.84n0.8n0.91n0.80.2n0.80.2n0.80.2由中心极限定理得细心整理归纳 精选学习资料 0.84 n0.8 n0.76 n0.8 n0.9, 第 1 页,共 7 页 0.16 n0.16 n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -整理得n0.95,查表n1.64,1010n 268.96, 故取 n=269. 3. 某车间有同型号机床 200 部,每部机床开动的概率为 0.7,假定各机床开动与否互不影响,开动时每部机床消耗电能 15 个单位 .问至少供应多少单位电能才可以 95%的概率保证不致因供电不足而影响生产 . 【解】 要确定最低的供应的电能量,应先确定此车间同时开动的机床数目最大值 m,而 m要满意 200 部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为 95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满意要求 .令 X 表同时开动机床数目,就 XB（200,0.7）, E X 140, D X 42,m 1400.95 P 0 X m P X m .42查表知 m 1401.64, ,m=151. 42所以供电能 151×15=2265（单位） . 4. 一加法器同时收到 20 个噪声电压 Vk（k=1,2, ,20）,设它们是相互独立的随机变量,20且都在区间（ 0,10）上听从匀称分布 .记 V= V ,求 P V105 的近似值 . k 1【解】 易知 :EVk=5,DVk=100 ,k=1,2, ,2012由中心极限定理知,随机变量20Zk1V k205V205近似的N0,1.100 第 2 页,共 7 页 10020100201212于是P V105PV20 510520 5100 1220102012PV1000.38710.3870.348,102012即有P V>1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出根,问其中至少有30 根短于 3m 的概率是多少？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解】 设 100 根中有 X 根短于 3m,就 XB（100,0.2）从而30 100 0.2P X 30 1 P X 30 1100 0.2 0.81 2.5 1 0.9938 0.0062.6. 某药厂断言, 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8.医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人,假如其中多于 75 人治愈,就接受这一断言,否就就拒绝这一断言 . （ 1） 如实际上此药品对这种疾病的治愈率是（ 2） 如实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8,问接受这一断言的概率是多少？0.7,问接受这一断言的概率是多少？【解】Xi1,第 人治愈,i1,2,100.其他.0,100令Xi1Xi.1 XB100,0.8 ,P 100Xi751P X75175100 0.8100 0.8 0.2i11 1.251.250.8944.2 XB100,0.7 ,100175 100 0.71000 件,其中有P Xi751P X75100 0.7 0.3i11511.090.1379.217. 用 Laplace 中心极限定理近似运算从一批废品率为0.05 的产品中,任取20 件废品的概率 . 【解】 令 1000 件中废品数 X,就 p=0.05,n=1000,XB1000,0.05 ,EX=50,DX=47.5. 故P X201205013047.547.56.8956.8956 4.5 10 .1306.8956.8958. 设有 30 个电子器件 .它们的使用寿命T1, ,T30听从参数 =0.1单位：（小时） -1的指数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分布, 其使用情形是第一个损坏其次个立刻使用,计时间,求 T 超过 350 小时的概率 . 以此类推 .令 T 为 30 个器件使用的总【解】E T i1110,D T1 21 0 0 ,0.1E T1030300,D T3 0 0 0.故P T35013503001510.9130.1814.3000309. 上题中的电子器件如每件为a 元,那么在年方案中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306 个工作日,每个工作日为8 小时） . 【解】 设至少需 n 件才够用 .就 ETi=10,DTi=100,ET=10n,DT=100n. 从而P inT i30680.95,即0.05306 810 n.110n故0.9510 n2448,1.64n244.8,n272.10nn所以需 272a 元. 10. 对于一个同学而言,来参与家长会的家长人数是一个随机变量,设一个同学无家长、1 名家长、 2 名家长来参与会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.如学校共有 400 名同学,设各同学参与会议的家长数相与独立,且听从同一分布 . （1） 求参与会议的家长数 X 超过 450 的概率？（2） 求有 1 名家长来参与会议的同学数不多于 340 的概率 . 【解】（1） 以 Xii=1,2, ,400记第 i 个同学来参与会议的家长数.就 Xi的分布律为Xi0 1 2 P0.05 0.8 0.15 易知 E（Xi=1.1）,DXi=0.19,i=1,2, ,400.400而XX ,由中心极限定理得i400iXi400 1.1X400近似地 1.1 N0,1. 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 4000.194 19于是P X4501P X4501450400 1.14 1911.1470.1357.2 以 Y 记有一名家长来参与会议的同学数.就 YB400,0.8由拉普拉斯中心极限定理得细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P Y340340400 0.82.50.9938.400 0.8 0.211. 设男孩诞生率为 0.515,求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】 用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数,就 XB（ 10000,0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求P X 5000. 由中心极限定理有P X50005000 10000 0.515 3130.00135.10000 0.515 0.48512. 设有 1000 个人独立行动,每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以 95%概率估量,在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】 用 Xi 表第 i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2, ,1000）. 令 Sn=X1+X2+ + X1000. 1 设至少有 m 人能够进入掩蔽体,要求P mSn 1000 0.95,大事mS nm1000 0.9S n900.1000 0.9 0.190由中心极限定理知：P m S n 1 P S n m 1 m 1000 0.9 0.95.1000 0.9 0.1从而 m 900 0.05,90故 m 9001.65,90所以 m=900-15.65=884.35 884人2 设至多有 M 人能进入掩蔽体,要求 P0 SnM 0.95.M 900P S n M 0.95.90查表知 M 900=1.65,M=900+15.65=915.65 916 人. 9013. 在肯定保险公司里有 10000 人参与保险,每人每年付 12 元保险费,在一年内一个人死亡的概率为 0.006,死亡者其家属可向保险公司领得 1000 元赔偿费 .求：（1）保险公司没有利润的概率为多大；（2）保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率为多大？【解】 设 X 为在一年中参与保险者的死亡人数,就XB（10000,0.006）. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 公司没有利润当且仅当“1000X=10000 × 12”即 “X=120” .于是所求概率为P X12011120 10000 0.00610000 0.006 0.99410000 0.006 0.9941601e160/ 259.64 259.6459.64259.640.0517 e30.181102 由于 “公司利润 60000 ”当且仅当 “0X 60” 于是所求概率为P 0X606010000 0.0060 10000 0.006 10000 0.006 0.99410000 0.006 0.9940600.5.1 和 4,而相关系数为0.5 试依据契59.6414. 设随机变量X 和 Y 的数学期望都是2,方差分别为比雪夫不等式给出P|X-Y| 6的估量 . （2001 研考）【解】 令 Z=X-Y,有E Z 0,D ZD XYD XD Y 2XPD XD Y 3.所以P |ZE Z | 6P |XY| 6D X2Y31.6361215. 某保险公司多年统计资料说明,在索赔户中, 被盗索赔户占20%,以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出 X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率近似值. （1988 研考）【解】（1） X 可看作 100 次重复独立试验中,被盗户数显现的次数,而在每次试验中被盗户显现的概率是0.2,因此, XB100,0.2 ,故 X 的概率分布是P Xk k C 100k 1000.2 0.8k,k1,2,100.2 被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率即为大事14 X 30 的概率 .由中心极限定理,得P 14X3030 100 0.214 100 0.2 100 0.2 0.8100 0.2 0.82.5 1.50.994 9.330.927.16. 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50 千克,标准差为 5 千克,如用最大载重量为5 吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可细心整理归纳 精选学习资料 以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977. 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解】 设 Xi（i=1,2, ,n）是装运i 箱的重量（单位：千克）,n 为所求的箱数,由条件知,可把 X1,X2, ,Xn 视为独立同分布的随机变量,而n 箱的总重量Tn=X1+X2+ + Xn 是独立同分布随机变量之和,由条件知：细心整理归纳 精选学习资料 E Xi5 0 ,D Xi5 , 第 7 页,共 7 页 E T n5 0 ,D T5n.依中心极限定理,当n 较大时,T n50n近似地N0,1,故箱数 n 取决于条件5nP T n5000PT n550 n5000 50nn5n1000 10 n0.9772.n因此可从1000n10n2解出 n<98.0199, 即最多可装98 箱. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -