2022年第八章-二元一次方程组讲义.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载二元一次方程组讲义一、二元一次方程的概念：1、二元一次方程的 定义： 含有两个未知数,并且未知数的最高次数为 1,系数不为零的整式方程；注：满意 4 个条件： 含有两个未知数, 未知数的最高次数为 1； 未知数的系数不为零 整式方程（分母中不含字母）2、一般形式：ax+by+c= 0 a 0,b 0 例 1、（1）已知 a 2 x by a 1 5 是关于 x, y 的二元一次方程,就 a= b=（2） 如 x m 2 n 1y 2 m 3 n 1=1是关于 x, y 的二元一次方程 ,就 m= ； n= . 2 a 5（3） 如 2 x a 3 y 1 是二元一次方程 , 求 a 的值 .二、二元一次方程组：1、定义： 由几个一次方程组成,并且共含有 2 个未知数的方程注： 方程组中有且仅有 2 个未知数, 每个方程必需为整式方程（分母中不含字母） 不要求每个方程都要含有 2 个未知数； 不要求必需由 2 个方程组成；名师归纳总结 例 1、以下方程组中,二元一次方程组的个数是. 1；（5）x1 y1；第 1 页,共 9 页x2y21xy1xy11；（4）xy（1）xy1；（2）xy1；（3）xyx0xy1 22221x（6）x y2 zy1 2；（7）x 1y 14；（8）x xy yxy 1.；（ 9）x2 xyy9xy3y2c的值是例 2、如方程组xa2c3 b yxy 343是关于x,yab的二元一次方程组,就代数式x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2、二元一次方程（组）的解1、如x y22是二元一次方程axby3的一个解,就ab1. 2、方程组2xy83和axby2同解,求a、b的值；3 xyaxby43、已知x y2 1是二元一次方程组mxny8 1的解,就2mn的算术平方根为. . nxmy4、已知x y2 1是二元一次方程组ab的值为ax axby by7 1的解,就. 三：多元一次方程（组）的解法 方法：代入消元法；加减消元法,整体思想（整体代入法；整体加减法）；换元法；1）代入消元法：由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法,简称代入法. 解以下方程组（1）x2 y3（2）xy9x3 y2x4y3（3） 4x y =52x 4y=24 （4）1.5x305.y12xy52）加减消元法：当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法；例题用加减法解方程组3 x4y16_即可；5x6y33想一想： 此题假如用加减法消去x 该怎么办？把×_,×（1）5 x2 x2y7,2 2y3 z4 y1;7 5y6 z3 xx2y2（4）3 xyy122y75x4（5）4a5 b19,（6）3 x232y5x2283 a2 b3.x2 x3）整体思想：例 1、解以下方程组：（1）7x 5x3y 6y56；（2）2x01xyy358. 1120x11000400例 2、解以下方程组：（1）19x18y17； 22022 x2022 x2022 y2022 y6031 602917x16y154）换元法：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 已知方程组5 m1 m24 n8学习好资料欢迎下载28的解；13 30 .9的解是. 的解是m n4 3,求方程组5x34y1n5x3y252例 2、已知方程组：2 a3 a3 b5 b13 30 .9的解是：a b.8 3.1 2,就方程组：2 3x x2 23 5y y1 14310例 3 3x2 5y2x5 2y13 x2y2x5yx2yx3y5x2yx3y1题型四：模糊以及抄错题问题例 1、小华不当心将墨水溅在同桌小丽的作业本上,结果二元一次方程组 中第一个方程 y 的系数和其次个方程 x 的系数看不到了,现在已知小丽的结果是 xy 12 你能由此求出原先的方程组吗？ax by 2,x 1,x 2,例 2、甲、乙两位同学一起解方程组 甲正确地解得 乙仅因抄错了题中的 c ,解得cx 3 y 2y 1y 6求原方程组中 b,c的值题型五：由实际问题抽象出二元一次方程组的问题名师归纳总结 例 1、（2022.泰安）某班为嘉奖在校运会上取得较好成果的运动员,花了 400 元钱购买甲 乙两种奖品共30 件,其中甲种奖品每件16 元,乙种奖品每件12 元,求甲乙两种各买多少件？该问题中,如设购买甲种奖品x 件,乙种奖品 y 件,就可列方程. 第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、xxy30400B、学习好资料C、欢迎下载30D、16 xy12y30xy3012x16y1216y16 x12y400xy400x400例 2、（2022.丹东）某校春季运动会竞赛中,八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当,关于竞赛结果,甲同学说：（ 1）班与（ 5）班得分比为 6：5；乙同学说：（1）班得分比（ 5）班得分的 2 倍少 40 分如设（ 1）班得 x分,（ 5）班得 y 分,依据题意所列的方程组应为 . 6 x 5 y 6 x 5 y 5 x 6 y 5 x 6 yA、x 2 y 40 B、x 2 y 40 C、x 2 y 40 D、x 2 y 40例 6、（2022.长春）端午节时,王老师用 72 元钱买了荷包和五彩绳共 20 个,其中荷包每个 4 元,五彩绳每个 3元设王老师购买荷包 x 个,五彩绳 y个,依据题意,下面列出的方程组正确选项 . x y 20 x y 20 x y 72 x y 72A、3 x 4 y 72 B、4 x 3 y 72 C、4 x 3 y 20 D、3 x 4 y 20例 7、（2022.巴中）巴广高速大路在 5 月 10 日正式通车,从巴中到广元全长约为 126km一辆小汽车,一辆货车同时从巴中,广元两地相向开出,经过 45 分钟相遇,相遇时小汽车比货车多行 6km,设小汽车和货车的速度分别为 x km/h , y km/h,就以下方程组正确选项 . 3A、4545 xx y y 1266 B、34 x y 126 C、34 x y 126 D 43 x y 126x y 6 45 x y 6 x y 64例 8、（2022.株洲）“ 鸡兔同笼” 是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“ 鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露,看来脚有 100 只,几多鸡儿几多兔” 解决此问题,设鸡为 x 只,兔为 y 只,就所列方程组正确选项 . x y 36 x y 36 x y 36 x y 36A、x 2 y 100 B、4 x 2 y 100 C、2 x 4 y 100 D、2 x 2 y 100例 9、（2022.台州）四川 5.12 大地震后,灾区急需帐篷某企业急灾区所急,预备捐助甲、乙两种型号的帐篷共 2000 顶,其中甲种帐篷每顶安置 6 人,乙种帐篷每顶安置 4 人,共安置 9000 人,设该企业捐助甲种帐篷 x 顶、乙种帐篷 y 顶,那么下面列出的方程组中正确选项 . A、4 xx 4 yy 9000 2000 B、6 xx 4 yy 9000 2000 C、4 xx 46 yy 20009000 D、6 xx 44 yy 20009000例 10、“ 甲、乙两数之和为 16,甲数的 3 倍等于乙数的 5 倍” ,如设甲数为 x ,乙数为 y ,就列出方程组：（1）3 xx y5 y 16 ；（2）5 xy y3 x 16；（ 3）165 y x3 x y0；（4）16x yy x中,其中正确的有；5 3A、1 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组例 12、现用 190 张铁皮做盒子,每张铁皮做 8 个盒身或做设用 x 张铁皮做盒身,y 张铁皮做盒底,就可列方程组为题型七：方程及方程组的应用问题1）工作量问题22 个盒底,而一个盒身与两个盒底配成一个盒子,. 名师归纳总结 2）思路导航： 工程问题 . 一般分为两类,一类是一般的工程问题,一类是工作总量为1 的工程问题 . 第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载基本等量关系为：工作量工作效率×工作时间；例 1、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台改进生产技术后,方案其次季度生产这两种机器共 554台,其中甲种机器产量要比第一季度增产 10,乙种机器产量要比第一季度增产 20该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？例 2、一批机器零件共840 个,假如甲先做4 天,乙加入合做,那么再做8 天才能完成；假如乙先做4 天,甲加入合做,那么再做9 天才能完成,问两人每天各做多少个机器零件？4 天挖完了这块地的一半；后又加一台乙例 3、重庆市政府准备把一块荒地建成公园,动用了一台甲型挖土机,型挖土机,两台挖土机一起挖,结果行程问题1 天就挖完了这块地的另一半；乙型挖土机单独挖这块地需要几天？思路导航： 行程问题 . 包括追及问题和相遇问题,基本等量关系为：路程速度× 时间；例 1、某学校组织同学到 100 千米以外的夏令营去,汽车只能坐一半人,另一半人步行 . 先坐车的人在途中某处下车步行,汽车就立刻回去接先步行的一半人 . 已知步行每小时走 4 千米,汽车每小时走 20 千米（不计上下车的时间）,要使大家下午 5 点同时到达,问需何时动身 . 例 2、通讯员要在规定时间内到达某地,他每小时走 15 千米,就可提前 24 分钟到达某地；假如每小时走 12 千米,就要迟到 15 分钟；求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？例 3. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,假如他以每小时 50 千米的速度行驶,就会迟到 24 分钟；假如他以每小时 75 千米的高速行驶,就可提前24 分钟到达乙地,求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达. 3）安排问题思路导航： 这类问题要搞清资源的变化情形名师归纳总结 例 1、现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮可以做8 个盒身或做22 个盒底,一个盒身与两个盒底可以配成一个完第 6 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载整的盒子,问：用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以恰好制成一批完整的盒子？例 2、某家具厂生产一种方桌,设计时1m3的木材可做50 个桌面或做300 条桌腿；现有10 m3的木材,求怎样安排生产桌面和桌腿使用的木材,可使生产的桌面、桌腿刚好配套,并指诞生产多少张方桌（1 张方桌有一个桌面,4 条桌腿） . 通讯员要在规定时间内到达某地,他每小时走 15 千米, 就可提前 24 分钟到达某地； 假如每小时走 12 千米, 就要迟到 15 分钟；求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？例 3、某服装厂要生产一批服装,已知 3 米长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条,一件上衣和一条裤子为一套,方案用 600 米长的这种布料生产这一批服装,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？4）利率问题思想导航： 储蓄问题中基本量之间的关系：本息和 本金 利息 本金 1 利率 期数 ,利息 =本金 利率 期数,利率 =利息本金 .例 1、小明的妈妈为了预备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱,一种是年利率为 2.25 的训练储蓄,另一种是年利率为 2.25 的一年定期存款,一年后可取出 2042.75 元,问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额×20%,训练储蓄没有利息所得税）例 2、某同学的父母用甲、乙两种形式为其储备了一笔训练储蓄金 10 000 元,甲种形式年利率为 2 . 25 00,乙种形式年利率为 2 . 5 00 , 一年后,这名同学得到本息和共 10242.5 元,那么该同学的父母为其储备的甲、乙两种形式的训练储蓄金各为多少元？5）盈亏问题例 1、某服装商贩同时卖出两套服装,每套均卖168 元,按成本运算,一套赚了20%另一套亏了20%；就商贩在这次买卖中盈亏了多少？例 2、新华书店一天内销售两种书籍,甲种书籍共卖得1560 元,为了进展农业科技, 乙种书籍送下乡共卖得1350名师归纳总结 元,按甲、 乙两种书籍的成本分别运算,甲种书籍盈利2500,乙种书籍亏本1000,试问该书店一天共盈利（亏第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载本）多少元？6）数字问题例 1、一个两位数的数字之和是7,这个两位数减去27,它的十位和个位上的数字就交换了位置,就这个两位数是多少？例 2、一个两位数,十位上数字是个位上数字的两倍,把这个两位数个位上数字与十位上数字对调得的新两位数比原两位数小27,求原两位数 . 0,得和为 2342,乙在同一个加数后面少写了一个0,例 3、甲乙两人做加法,甲在其中一个数后面多写了一个得和为 65,你能求出原先的两个加数吗？7）和、差、倍、分问题思路导航：基本等量关系为：和差 ÷2大数； 和差 ÷2小数；和倍问题：和÷倍数 +1 小数 小数 ×倍数大数 或者 和小数大数 差倍问题：差÷倍数 1小数 小数 ×倍数大数 或 小数差大数 例 1、有两缸金鱼, 假如从甲缸中取出 5 条放入乙缸, 两缸内的金鱼数相等；已知原先甲缸的金鱼数是乙缸的 1又 2/3 倍,甲缸原有金鱼多少条？例 2、 有两筐苹果,假如从第一筐拿出9 个放到其次筐,两筐苹果个数相等；假如从其次筐拿出12 个放到第一筐,就第一筐苹果的个数等于其次筐的 2 倍；原先每筐各有几个苹果？例 3、在读书活动中,某校将一批书按以下原就分给各班：第一班取走100 本,又取走余下的非常之一：其次班取走 200 本,又取走余下的非常之一 .以此类推,最终全部书被各班取走,而且各班所得的书相等,问共多少本书,班数是多少 . 8）年龄问题例 1、师傅对徒弟说“ 我像你这样大时,你才4 岁,将来当你像我这样大时,我已经是52 岁的人了”. 问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？例 2、 甲乙两人在谈天,甲对乙说："当我的岁数是你现在岁数时,你才4 岁； ” 乙对甲说： “当我的岁数是你名师归纳总结 现在的岁数时,你将61 岁； ” 你能算出他们两人各几岁吗？第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载9 几何问题例 1 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图请你依据图中的信息,如小明把100 个纸杯整齐叠放在一起时,它的高度约是（）20A、106cm B、110cm C、114cm D、116cm 例2、用 6 块相同的长方形地砖拼成一个矩形,如下列图,例 1 那么每个长方形地砖的面积是2 cm 10 航行问题v 顺水v 静水v 水,v 逆水v 静水-v 水v 顺水v 逆水2v 静水,v 顺水v 逆水2例 2 v 水例 1、甲乙两港间的水路长280 千米,一艘轮船从甲港开往乙港,顺水14 小时到达；从乙港返回甲港,逆水小时到达；求这艘轮船在静水中的速度和水流速度；例 2、一只小船来回于长江上的AB两地之间,从A 到 B 需要 6 小时,从 B 到 A 需要 8 小时,一个木排从A 到 B需要多长时间？例 3、某河有相距 45 千米的上下两港,每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时动身相向而行,这天甲船从上港动身掉下一物,此物浮于水面顺水漂下,4 分钟后与甲船相距1 千米,估计乙船动身后几小时可与此物相遇；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页