2022年不等式的各类题型归纳总结.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式不等式的解法一、学问导学1. 一元一次不等式 1 当 a>0 时,解为2 当 a0 时,解为ax>bxb；axb；a3 当 a0,b 0 时无解；当a0,b0 时,解为 R2. 一元二次不等式： 如下表 其中 a0,x1,x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两实根,且x1x 2类型ax2+bx+c0 ax2+bx+c0ax2+bx+c0 ax2+bx+c0解集 0 x xx1或 xx2 x xx1或 xx2 x x 1xx 2x x1xx 2 0 x x -b,R xx=-b2a2axR 0 R R 3. 简洁的一元高次不等式：可用区间法或称根轴法 求解,其步骤是：将 fx 的最高次项的系数化为正数；将 fx 分解为如干个一次因式的积；将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线；依据曲线显示出的 fx 值的符号变化规律,写出不等式的解集 .4. 分式不等式：先整理成 f x 0 或 f x 0 的形式,转化为整式不等式求解,即：g x g x f x 0 fx · gx 0g x f x 0f x 0 g x 0 或 f x g x 0g x 然后用“ 根轴法” 或化为不等式组求解 .二、疑难学问导析1. 不等式解法的基本思路解不等式的过程,实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程,因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原就,实际上高中阶段所解的不等式最终都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式,所以等价转化是解不等式的主要思路 . 代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路. 为此,一要能娴熟精确地解一元一次不等式和一元二次不等式,二要保证每步转化都要是等价变形. 第 1 页,共 24 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2. 不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,所以在解不等式组时,先要解出本组内各不等式的解集,然后取其交集,在取交集时,肯定要利用数轴,将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来,留意同一不等式解的示意线要一样高,不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集 .3. 集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用,其难点是区分何时取交集,何时取并集 . 解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解留意分类 .三、经典例题导讲 例 1 假如 kx 2+2kx k+2<0 恒成立,就实数 k 的取值范畴是 .A. 1k0 B. 1k<0 C. 1<k0 D. 1<k<0k 0错解 ：由题意：2 2 k 4 k k 2 0解得： 1<k<0错因 ：将 kx 2+2kxk+2<0 看成了肯定是一元二次不等式,忽视了 k0 的情形 .正解 ：当 k0 时,原不等式等价于20,明显恒成立, k 0 符合题意 .k 0当 k 0 时,由题意：2 2 k 4 k k 2 0解得： 1<k<0 例 21k:0,应选 C.B:x2xa 0,如 A 是 B 的充分不必要条件, 就 a 的13,命题命题Ax取值范畴是 A. 4, B.4, C., 4 D., 4错解 ：由 x1 3 得： 2 x4,又由（ x2）x a=0 得 x=2 或 x a,A是 B的充分不必要条件 , x| 2x4 x| 2x a a>4 应选 D.错因 ：忽视了 a 4 时, x| 2x4 x| 2 x a ,此时 A 是 B的充要条件,不是充分不必要条件 .正解 ：由 x1 3 得： 2 x4,又由（ x2）x a=0 得 x=2 或 x a,A是 B的充分不必要条件 , x| 2x4 x| 2x a a>4 应选 C. 例 3 已知 fx = ax + x b,如3f10,3f2,6求f3 的范畴 . 第 2 页,共 24 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3ab0学习必备欢迎下载错解：由条件得3 2 a b2 6 × 2 6 a 15 × 2得 8 b 2 3 3 3 + 得 103 a b 43, 即 10f 3 43 .3 3 3 3 3错因： 采纳这种解法,忽视了这样一个事实：作为满意条件的函数 f x ax x,其值是b同时受 a和 b 制约的 . 当 a 取最大（小）值时,b 不肯定取最大（小）值,因而整个解题思路是错误的 .f 1ab3 37 3.正解：由题意有f2 2 ab,2解得：a12f2f1 ,b22f1f2,33f3 3ab16f25f 1 .把f1 和f2 的范畴代入得16f3993 例 4 解不等式（ x+2）2x+3x200 ,错解 ：（x+2）20原不等式可化为：x+3x 20原不等式的解集为x| x3 或 x2 错因 : 忽视了“” 的含义,机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解 ：原不等式可化为：（x+2）2x+3x 20 或（ x+2）2x+3x 2解得： x= 3 或 x 2 或 x2解得： x 3 或 x2原不等式的解集为x| x3 或 x2 或 xb2 xR 第 3 页,共 24 页 例 5解关于 x 的不等式axabb xab解：将原不等式绽开,整理得：abxaba争论：当ab时,xabab ；如ab<0 时ab当ab时,如ab0 时 x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当ab时,xabab学习必备欢迎下载ba点评： 在解一次不等式时,要争论一次项系数的符号 . 例 6 关于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集为 x | x 2 或 x 12求关于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集解：由题设知 a 0,且 x 2 x 1是方程 ax 2bx c 0 的两根2b 5,c 1a 2 a从而 ax 2bx c 0 可以变形为 x 2 bx c0a a即：x 2 5x 1 01x 22 2点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解此题的关健,这也表达了方程思想在解题中的简洁应用 . 例 7 不等式 log 2 x 1 6 3 的解集为xx 1 2解：log 2 x 1 6 3, 0x 16 8,xx x x 1 6 0xx 0 , 或 x 13 2 2 x 3 2 2 或 x 0解得 x 3 2 2, 3 2 2 1反思 ：在数的比较大小过程中 ,要遵循这样的规律 ,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分 ,再去比较它们剩余部分 ,就会很轻易啦 .一般在数的比较大小中有如下几种方法：1作差比较法和作商比较法 ,前者和零比较 ,后者和 1 比较大小； 2找中间量 ,往往是 1,在这些数中,有的比 1 大,有的比 1 小； ,3运算全部数的值；4选用数形结合的方法 ,画出相应的图形；5利用函数的单调性等等 .四、典型习题导练细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1. 解不等式x23x20学习必备欢迎下载x22x32. 解不等式x33x22x6002x23. 解不等式x24x5x24. 解不等式x2 2x1 3x1 xk15. 解不等式161x1x2x22kx6. k 为何值时,下式恒成立：4x26x37. 解不等式3x4x308. 解不等式2 x26x4x2§ 5.2 简洁的线性规划一、学问导学1. 目标函数 : 是一个含有两个变量 和的 函数,称为目标函数2. 可行域 : 约束条件所表示的平面区域称为可行域 .3. 整点 : 坐标为整数的点叫做整点4. 线性规划问题 : 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题只含有两个变量的简洁线性规划问题可用图解法来解决5. 整数线性规划 : 要求量取整数的线性规划称为整数线性规划二、疑难学问导析线性规划是一门争论如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学争论、工业设计、经济治理中实际问题的特地学科 . 主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、 物力、财务等资源肯定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 .1. 对于不含边界的区域,要将边界画成虚线2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“ 选点法” ：任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满意所给的不等式,如适合, 就该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否就, 直线的另一侧为所求的平面区域如 直 线 不 过原点,通 常 选 择 原 点 代入检验3. 平 移 直 线 k 时,直线必需经过可行域4. 对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的正确位置一般通过这个凸多边形的顶点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5. 简洁线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；解. 三、经典例题导讲xy10（1）查找线性约束条件,线性目标函（3）在可行域内求目标函数的最优 例 1画出不等式组2x3y60表示的平面区域. xy10x2y20xy10错解 ：如图（ 1）所示阴影部分即为不等式组2x3y60表示的平面区域. xy100x2y2错因 一是实虚线不清,二是部分不等式所表示的平面区域弄错了0. . xy10表示的平面区域正解 ：如图（ 2）所示阴影部分即为不等式组2x3y6xy100x2y2 例 2已知 1xy2, 且 2x+y4, 求 4x2y 的范畴 . 错解 ：由于1x y2 , 2x+y4 , + 得 32x6 × 1+ 得： 02y3 . × 2+× 1 得. 34x2y12 错因： 可行域范畴扩大了. 正解 ：线性约束条件是：1x-y22xy4令 z4x2y,画出可行域如右图所示,由x-y1得 A 点坐标（1.5 ,0.5 ）此时 z4× 1.5xy22× 0.5 5. 细心整理归纳 精选学习资料 由x-y2得 B 点坐标（ 3,1）此时 z4× 32× 第 6 页,共 24 页 xy4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载110. 54x2y10 第 7 页,共 24 页 - - - - - - - - - 例 3已知7x5y2300, 求 x2+y 2 的最值 . x7y114xy1007x5y230错解 ：不等式组x7y110表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括边界） ,4xy100令 z= x2+y2由7x5y230得 A点坐标（ 4, 1）,4xy100此时 z x2+y242+1 2 17,由7x5y230得 B点坐标（ 1, 6）,4xy100此时 z x2+y2（ 1）2+ 6237,由xx7y110得 C点坐标（ 3,2）,4y100此时 z x2+y2（ 3）2+2 213,当x1时 x2+y2取得最大值37,当x3时 x2+y2取得最小值13. y6y2错因 ：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值. 7x5y230正解：不等式组x7y110表示的平面区域如下列图ABC的内部（包括边界） ,4xy100令 z= x2+y2, 就 z 即为点（ x,y）到原点的距离的平方. 由7x5y230得 A点坐标（ 4, 1）,4xy100此时 z x2+y242+1 2 17,由7x5y230得 B点坐标（ 1, 6）,4xy100此时 z x2+y2（ 1）2+ 6237,由xx7y110得 C点坐标（ 3,2）,4y100此时 z x2+y2（ 3）2+2 213,而在原点处,x0,此时 zx2+y20 2+0 20,y0当x1时 x2+y2取得最大值37,当x0时 x2+y2取得最小值0. y6y0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 例 4 某家具厂有方木料学习必备欢迎下载. 已知生产每张90m 3,五合板600m 2,预备加工成书桌和书橱出售书桌需要方木料 0.1m 3,五合板 2m 2,生产每个书橱需要方木料 0.2m 3,五合板 1m 2,出售一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. 假如只支配生产书桌,可获利润多少？假如只支配生产书橱,可获利润多少？怎样支配生产可使得利润最大？分析 ： 数据分析列表书桌书橱资源限制x0.2y90木料（ m 3）0 1 02 90 五合板（ m 2）2 1 600 利润（元 / 张）80 120 方案生产（张）x y 0 .1 x设生产书桌x 张,书橱 y 张,利润 z 元,就约束条件为2xy600NyN目标函数 z=80x+120y 作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100,400）2x+y-600=0 A100,400 x+2y-900=0 2x+3y=0 时,即合理支配生产,生产书桌100 张,书橱 400 张,有最大利润为 zmax=80× 100+400× 120=56000 元 如只生产书桌,得0<x300,即最多生产300 张书桌,利润为 z=80× 300=24000（元）如只生产书橱,得0<y450,即最多生产450 张书橱,利润为 z=120× 450=54000（元）答：略 例 5 某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成 规格小钢板的块数如下表：A、B、C三种规格,每张钢板可同时截得三种A 规格B规格C规格2 m 2,今需要 A、B、C三种规格的成品第一种钢板1 2 1 其次种钢板1 1 3 需求12 15 27 每张钢板的面积,第一种为1m 2,其次种为各 12、15、27 块,请你们为该厂方案一下,应当分别截这两种钢板多少张,可以得到所需的三种规格成品,而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？解：设需要截第一种钢板x 张,其次种钢板y 张,所用钢板面积为z m2,就xy122x3y15目标函数 z=x+2y xy27x,yN作出可行域如图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -作一组平行直线x+2y=t ,学习必备欢迎下载由xy129,15 2,2x+y=15 x3y27可得交点2但点9,15不是可行域内的整点,其邻近的整点22（4,8）或（ 6,7）可都使 z 有最小值,且 z min=4+2× 8=20 或 z min=6+2× 7=20 x+3y=27 x+y=12 如只截第一种钢板,由上可知x27,所用钢板面积最少为 z=27m 2; x+2y=0 如只截其次种钢板,就y 15,最少需要钢板面积z=2×15=30m 2. 它们都比 zmin大,因此都不行 . 答：略x 4 y 3 例 6 设 z 6 x 10 y ,式中 ,x y 满意条件 3 x 5 y 25,求 z 的最大值和最小值 . x 1解：由引例可知：直线 0l 与 AC 所在直线平行,就由引例的解题过程知,当 l 与 AC 所在直线 3 x 5 y 25 0 重合时 z 最大,此时满意条件的最优解有很多多个,当 l 经过点 B 1,1 时,对应 z 最小,z max 6 x 10 y 50,z min 6 1 10 1 16说明 ：1线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,即满意条件的最优解有很多多个. 四、典型习题导练1画出不等式x +2y4 0 表示的平面区域 . x y 6 0x y 02画出不等式组 表示的平面区域y 3x 55 x 3 y 15 ,3. 求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满意约束条件 y x ,1x 5 y 3 .4. 某工厂用两种不同原料均可生产同一产品,如采纳甲种原料, 每吨成本 1000 元,运费 500元,可得产品 90 千克；如采纳乙种原料,每吨成本为 1500 元,运费 400 元,可得产品 100千克, 假如每月原料的总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 24 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5. 某工厂家具车间造学习必备欢迎下载. 已知木工做一A、B型两类桌子, 每张桌子需木工和漆工两道工序完成张 A、 B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、 B型桌子各多少张,才能获得利润最大？6在约束条件x0,s5时,目标函数y0,s ,下,当 3yxz3x2y2x4.y 的最大值的变化范畴是A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8 § 5.3 基本不等式的证明一、学问导学1. 比较法： 比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小次序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法 商法 . 简称为求差法 和商值比较法 简称为求1 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ - 0 ；- 0 ”. 其一般步骤为：作差：考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体；变形： 把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为如干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是常常使用的变形手段； 判定： 依据已知条件与上述变形结果,判定不等式两边差的正负号,最终确定所求证不等式成立的结论 . 应用范畴：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法 . 2 商值比较法的理论依据是：“ 如,R +, / 1； / 1” . 其一般步骤为：作商：将左右两端作商；变形：化简商式到最简形式；判定商与 1 的大小关系,就是判定商大于 数式时,一般使用商值比较法 . 1 或小于 1. 应用范畴：当被证的不等式两端含有幂、指2. 综合法： 利用已知事实 已知条件、 重要不等式或已证明的不等式 作为基础, 借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的规律推理,最终推出所要证明的不等式,其特点和思路是“ 由因导果” ,从“ 已知” 看“ 需知” ,逐步推出“ 结论”成立的必要条件从而得出结论 . . 即从已知逐步推演不等式3. 分析法： 是指从需证的不等式动身,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“ 执果索因” ,即从“ 未知” 看“ 需知” ,逐步靠拢“ 已知”. 用分析法证明书写的模式是：为了证明命题成立,只需证明命题 1 为真,从而有 ,这只需证明 2 为真,从而又有 , 这只需证明为真,而已知为真,故必为真 . 这种证题模式告知我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件 . 4. 反证法： 有些不等式的证明,从正面证不好说清晰,可以从正难就反的角度考虑,即要证明不等式>,先假设,由题设及其它性质,推出冲突,从而确定>. 凡涉 第 10 页,共 24 页 - - - - - - - - - 及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“ 至多” 、“ 至少” 、“ 不存在” 、“ 不可能” 等词语时,可以考虑用反证法. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载5. 换元法： 换元法是对一些结构比较复杂,变量较多, 变量之间的关系不甚明白的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新的启发和方法 . 主要有两种换元形式.1 三角代换法：多用于条件不等式的证明,当所给条件较复杂, 一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一个参数表示 . 此法假如运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角问题； 2 增量换元法：在对称式 任意交换两个字母,代数式不变 和给定字母次序 如 >>等 的不等式, 考虑用增量法进行换元,其目的是通过换元达到减元,使问题化难为易,化繁为简 . 如 + =1,可以用 =1- , =或 =1/2+ , =1/2- 进行换元 . 二、疑难学问导析1. 在用商值比较法证明不等式时,要留意分母的正、负号,以确定不等号的方向 . 2. 分析法与综合法是对立统一的两个方面,前者执果索因, 利于摸索, 由于它方向明确,思路自然,易于把握；后者是由因导果,宜于表述,由于它条理清晰,形式简洁,适合人们 的思维习惯 . 但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的 书写形式,由于它表达较繁,假如把“ 只需证明” 等字眼不写,就成了错误 . 而用综合法书写的形式,它掩盖了分析、探究的过程. 因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的 . 假如使用综合法证明不等式,难以入手常常用分析法探究证题的途径,之后用综合法形式写出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律 分析,一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的. 仍有的不等式证明难度较大,需一边 . 这充分说明分析与综合之间互为前提、相互渗透、相互转化的辩证统一关系 . 分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点 . 3. 分析法证明过程中的每一步不肯定“ 步步可逆” ,也没有必要要求“ 步步可逆” ,因为这时仅需查找充分条件,而不是充要条件. 假如非要“ 步步可逆” ,就限制了分析法解决问题的范畴,使得分析法只能使用于证明等价命题了 . 用分析法证明问题时,肯定要恰当地用好“ 要证” 、“ 只需证” 、“ 即证” 、“ 也即证” 等词语 . 4. 反证法证明不等式时,必需要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出冲突 . 5. 在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有肯定的限制,应引起高度重视,否就可能会显现错误的结果 应用 . 三、经典例题导讲. 这是换元法的重点,也是难点,且要留意整体思想的 例 1 已知 a>bab0, 比较1 与 a1 的大小 . b错解 ： a>bab0 ,1 < a1 . b错因 ：简洁的认为大数的倒数必定小,小数的倒数必定大 时,大数的倒数必定小,小数的倒数必定大 . . 正确的结论是：当两数同号细心整理归纳 精选学习资料 正解 ：11ba,又 a>bab0 ,bba0,1 < a1 . b 第 11 页,共 24 页 abab1 当 a、b 同号时,即a>b>0 或 b<a<0 时,就 ab>0,b a<0, ab2 当 a、b 异号时,就a>0,b<0, 1 >0, a1 <0 b1 > a1 . b）11 例 2当 a、b 为两个不相等的正实数时,以下各式中最小的是（A.a2bB.abC.a22b2D.a12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载错解 ：所以选 B. 2 2错因是由于在 a b、ab 、a b 中很简洁确定 ab 最小,所以易误选 B. 而事2 2实上三者中最小者,并不肯定是四者中最小者,要得到正确的结论,就需要全面比较,不行1 1遗漏 a b 1与前三者的大小比较 . 2正解 ：由均值不等式 a b ab 及 a 2+b 22ab, 可知选项 A、B、C中,ab 最小,而21 1 a b 12 ab,由当 a b 时,a+b>2 ab , 两端同乘以 ab ,可得（ a+b）·ab2 a b2ab, 2 abab ,因此选 D. a b1 1 例 3 已知： a>0 , b>0 , a+b=1, 求a+ a 2+b+ b