2022年《简单的线性规划问题》教案.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载简洁的线性规划问题教学设计（人教 A 版高中课标教材数学必修5 第三章第 3.3.2 节）祁东二中 谭雪峰一、内容与内容解析本节课是一般高中课程标准试验教科书数学等式中第 3.3.2 简洁的线性规划问题的第一课时 相关概念和简洁的线性规划问题的解法人教 A 版必修 5 第三章不 . 本课内容是线性规划的线性规划是运筹学中争论较早、进展较快、 应用广泛、 方法较成熟的一个重要分支,它是帮助人们进行科学治理的一种数学方法. 本节内容是在学习了不等式和直线方程的基础上,利用不等式和直线方程的有关学问绽开的 . 简洁的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划,其最优解可以用数形结合方法求出. 简洁的线性规划关怀的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源肯定的 条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务,如何合理规划,能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成 . 本节内容包蕴了丰富的数学思想方 法,突出表达了优化思想、数形结合思想和化归思想 . 通过这一部分的学习, 使同学进一步明白数学在解决实际问题中的应用,体 验数形结合和转化的思想方法, 培育同学学习数学的爱好、 应用数学的意识和解 决实际问题的才能 . 二、教学目标一）、学问目标 1. 明白线性规划的意义、明白线性约束条件、线性目标函数、可行解、可 行域、最优解等基本概念 . 2. 懂得线性规划问题的图解法 3. 会用图解法求线性目标函数的最优解 . 二）、才能目标细心整理归纳 精选学习资料 1. 在应用图解法解题的过程中培育同学的观看才能、懂得才能. 第 1 页,共 9 页 2. 在变式训练的过程中,培育同学的分析才能、探究才能. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3. 培育同学观看、联想、作图和懂得实际问题的才能,渗透化归、数形结 合的数学思想 . 三 、情感目标 1. 让同学体验数学来源于生活,服务于生活,品尝学习数学的乐趣 . 2. 让同学体验数学活动布满着探究与制造,精神 . 三、教学重点、难点培育同学勤于摸索、 勇于探究的重点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解 . 难点：借助线性目标函数的几何含义精确懂得线性目标函数在 y 轴上的截 距与 z 最值之间的关系 . 四、学习者特点分析1. 已经把握用平面区域表示二元一次不等式（组）2. 初步学会分析简洁的实际应用问题 3. 能依据实际数据假设变量,并从中抽象出不等的线性约束条件并用相应 的平面区域进行表示本节课同学在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：1. 将实际问题抽象成线性规划问题；2. 用图解法解线性规划问题中, 为什么要将求目标函数最值问题转化为经过 可行域的直线在 y 轴上的截距的最值问题？如何想到要这样转化？3. 数形结合思想的深化懂得 . 五、教学与学法分析本节课以同学为中心,以问题为载体,采纳启示、引导、探究相结合的教学方法 . 课堂中应注意创设师生互动、生生互动的和谐氛围,通过同学动手实践、动脑摸索等方法探究数学学问猎取直接体会,识等 . 进而培育同学的思维才能和应用意1. 设置“ 问题” 情境,激发同学解决问题的欲望；2. 供应“ 观看、探究、沟通” 的机会,引导同学独立摸索,有效地调动同学思维,使同学在开放的活动中猎取直接体会. 第 2 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3. 在教学中表达 “ 重过程、 重情感、重生活”的理念；让同学经受 “ 学数学、做数学、用数学” 的过程. 指导同学做到“ 四会”：会疑、会议、会思、会变. 4. 在教学中重视同学的探究经受和发觉新知的体验,学问的懂得和有效的学习策略 . 六、文本教学与信息技术整合点分析使同学形成自己对数学依据本节课教材内容的特点,为了更直观、形象地突出重点,突破难点,调 动同学的学习爱好,利用多媒体帮助教学,借助信息技术工具,以“ 几何画板”软件为平台, 将目标函数与直线方程进行转化,通过直线的平行移动的演示,观察纵坐标的变化,直观生动地出现图解法求最优解的过程,既加大课堂信息量,提高教学效率,同时让同学学会用“ 数形结合” 思想方法建立起代数问题和几何 问题间的亲密联系七、教学过程分析数学教学是数学活动的教学,我将整个教学过程分为五个环节：1.复习回忆： 幻灯片第 24 张 1）提问：如何作二元一次不等式表示的平面区域？直线定界；特别点定域 .2）巩固练习：画出下面不等式组所表示的平面区域. .xy50xy0x3【设计意图 】复习旧知,为本课的图解法解题热身预备2. 分析引例,形成概念,规范解答 在现实生产、生活中,常常会遇到资源利用、 人力调配、生产支配等问题 1 将实际生活问题转化为数学问题 老师组织同学学习引例 .数学建模 幻灯片第 58 张引例 ：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 运算,该厂全部可能的日生产支配是什么？师生活动： 通过老师引导, 让同学正确懂得题意, 用不等式组表示问题中的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载限制条件及作出相应的平面区域,将实际问题转化为数学问题 .（1）、老师提问：同学们,你们能用不等式组表示问题中的限制条件吗？引导同学设定未知数（设甲、乙两种产品分别生产件得到二元一次方程组：x 2 y 84 x 164 y 12x 0y 0（2）、让同学画出不等式组所表示的平面区域 . x、y 件）, 分析已知条【设计意图 】数学是现实世界的反映 . 通过引入同学感爱好的实际生活问题,激发同学爱好, 使同学产生急于解决问题的内驱力,引发了同学的摸索, 同时师生之间通过互动复习旧知,培育同学从实际问题抽象出数学模型的才能 . （3）、老师进一步提出新问题：如生产一件甲产品获利2 万元,生产一件乙产品获利3 万元,采纳哪种生产支配利润最大？引导同学如设定工厂获得的利润为 为即求 z 的最大值的问题了 . z,就易得 z = 2x + 3y,此时问题转化【设计意图 】添加优化问题,定义目标函数,引出新问题 .2）分析问题,形成概念 幻灯片第 917 张 师生活动： 老师依据引题得出线性规划问题相关概念 . （1）、就在同学爱好顿起的时候,老师就此给出了相关概念： 上述问题中,不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,所以又叫线性约束条件 有时也用一次方程表示 . 欲求最大值或最小值的函数. 线性约束条件除了用一次不等式表示外,z=2x+3y 叫做目标函数 . 由于 z=2x+y 又是x、y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数 . 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题 . 细心整理归纳 精选学习资料 满意线性约束条件的解 x,y叫做可行解 . 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 由全部可行解组成的集合叫做可行域 . 使目标函数取得最大值或最小值的可行解,它们都叫做这个问题的最优解. （2）、 引导同学懂得,引题的问题就是一个线性规划问题 . 图中阴影部分（即可行域）的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产支配 . 于是问题就转化为当点（ x,y）在可行域运动时如何求z=2x+3y 的最大值问题 . 3）探究沟通,解决问题 幻灯片第 1820 张 （1）、老师提问：如何求z=2x+3y 的最大值问题？先让同学自主探究, 再分组争论沟通, 然后试着这样引导同学： 由于已经将 x ,y 所满意的条件几何化了, 你能否将式子 z=2x+3y 作某种几何说明？同学自然地想到它在几何上表示直线2x+3y-z=0. 当 z 取不同的值时可得到一族平行直线.于是问题又转化为当这族直线与可行域有公共交点时,如何求 z=2x+3y 的最大值 . （2）、这一问题对于部分同学仍有肯定难度,老师再次提问：在直线2x+3y-z=0 中, z 是否与这直线的某种几何意义有关？同学争论沟通后得出：将直线 2x+3y-z=0 改写成斜截式 y 2 x z,学3 3生此时会明白直线 y 2 x z , 它表示为斜率为 k 2 , 截距 b z 的直线,当3 3 3 3z 变化时,可以得到一组相互平行的直线,而且当截距 z 最大时, z 取最大值 . 3于是问题又转化为当2x+3y-z=0 这族直线与可行域有公共交点时,在可行域内找一个点,使直线经过此点时在 y 轴上的截距最大 . 接着让同学动手实践,用作图法找到点 E 并求出点 E 的坐标（ 4,2）,而求出 z 的最大值为 14,所以每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元 . 师生活动：老师引发同学摸索变形目标函数, 将 z=2x+3y 化成 y 2 x z 的3 3形式,挖掘几何含义, 作过原点直线 y 2x 并进行平移, 观看纵截距的最大值,3老师利用多媒体帮助教学工具作动态演示平移确定最值,并有意强调解题步骤 :画、作、移、求 . 【设计意图 】：让同学自主探究,体验数学学问的发生、进展过程,体验转化和数形结合的思想方法,通过目标函数的不同变式,让同学熟识求最值的方法,从而让同学更好地懂得数学概念和方法,突出了重点,化解了难点. 第 5 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载3. 反思过程,提练方法 幻灯片第 21 张 老师引导同学归纳、提炼求解步骤：第一步：画依据约束条件画出可行域；其次步：作过原点作目标函数直线的平行直线 0l ；第三步：移平移直线 0l 找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线,确定可行域内最优解的位置；第四步：求解有关方程组求出最优解,将最优解代入目标函数求最值 .4.仿照练习,强化方法,拓展题型 幻灯片第 2226 张 为了更好地懂得图解法解线性规划问题的内在规律,同时让同学把握解决简单线性规划问题的基本步骤,让同学做下面这个练习：练习（教材例 5）、养分学家指出,成人良好的日常饮食应当至少供应 0.075kg的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪, 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.07kg 蛋白质, 0.14kg 脂肪,花费 28 元；而 1 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.14kg 蛋白质, 0.07kg 脂肪,花费 21 元.为了满意养分专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A 和食物 B 多少 kg？师生活动：老师引领同学懂得题意, 让同学领悟用表格形式描述数据的直观性. 让同学独立建立线性规划的数学模型,并正确设出变量,找好目标函数及约束条件后自行完成此题. 由一位同同学呈现自己的解题过程和结果. 老师规范解题步骤和格式 . 1.分析：将已知数据列成表格食物 kg 碳水化合物 kg 蛋白质 /kg 脂肪 kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 解：设每天食用 x（kg）食物 A,y（kg）食物 B,总成本为 z,那么0.105 x0.105 y0.075,y M 0.07 x0.14 y0.06,0.14 x0.07y0.06,x0,y0.N 细心整理归纳 精选学习资料 O 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - x - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -目标函数为z28x21y . 学习必备欢迎下载7x7y5,z28x21y ,将7x14y6,二元一次不等式组等价于14 x7y6,1）,即可行域考虑x0,y0.二元一次不等式组所表示的平面区域（图它变形为 y 4x z.这里 y 43 21 3线,z 是直线在 y 轴上的截距,当21z 4x 是斜率为,随 z 变化的一组平行直21 3z 取最小值时, z 的值最小当然直线要与21可行域相交,即在满意约束条件时目标函数z28x21y 取得最小值z 最小,21由图 1 可见,当直线z28x21y 经过可行域上的点M 时,截距即 z 最小解方程组7x7y5,得 M 的坐标为x1,y4. 14 x7y6.77所以z28x21y16kg,能够满意日常饮食要求,又A 为1 7kg,食物 B 为4 7答：每天食用食物使花费最低,最低成本为16 元.【设计意图】 1）. 通过一道完整的简洁线性规划问题,让同学把握解决简单线性规划问题的基本步骤,培育同学的数学建模意识 法的熟识 . 2）.通过此题检测同学对已学学问的把握情形,和精确作图的才能 . . 同时进一步加深对图解进一步培育同学的运算才能3）.呈现线性规划的另一类型题（可行域不封闭、最优解为最小值）,并与引例相比较, 对比可行域封闭与不封闭、 最优解为最大值与最小值两种情形的线性规划问题 .师生活动 : 由老师帮忙同学分析错解的缘由 全部可能的解都求出来 , 进行比较即可 . , 并提出问题 . 同学意识到可以把细心整理归纳 精选学习资料 师生一起反思练习的求解过程. 老师通过巡察发觉错解的同学,帮忙同学找 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载到错误的缘由 . 并提出问题： 有时如由于不行防止的误差带来错解,你如何解决 . 【设计意图】 通过反思及寻求问题答案,让同学深化摸索 , 培育同学科学严谨的学习态度和解决问题的才能 . 5.变式演练,深化探究,开阔视野 幻灯片第 27 张 师生活动 : 让同学自己动手解决问题,老师可用几何画板演示；在 ABC 中,三顶点分别为 A 2 4, ,B1,2,C 1,2 点 P x y 在 ABC 内部内其边界上运动,请探究及争论以下问题 :1. 设 z x y,就 z在 处有最大值（）在（,）处有最小值（）2. 设 z x y,就 z在（）处有最大值（）在（,）处有最小值（）3. 设 z=ax+y, 如使目标函数 z取得最大值的最优解有无穷多个,就 a的值为（）4. 设 z=ax-y, 如使目标函数 z仅在点（ 1 0）取得最大值,求 a的取值范畴 .【设计意图】 1.检测题主要考查同学对本节课重点学问的把握情形,检查学生能否运用所学学问解决问题的才能. 帮忙同学巩固新学学问, 仍能引导同学运用新学问,再一次深刻体会到数形结合的妙处,同时又巩固了旧学问,完善了 学问结构体系 . 2.用已知最优解反过来确定目标函数某些字母系数的取舍范畴来训练同学 从各个不同的侧面去懂得图解法求最优解的实质,培育同学思维的发散性 . 3.由于摸索题难度提升较大,可以为学有余力的同学拓宽思维的空间,详细 教学中可依据不同程度的教学对象及课堂同学的反应情形进行删减与调整 . 6. 课堂小结,作业布置 幻灯片第 2829 张 1）课堂小结：1.回忆引例和练习中呈现的两类线性规划应用问题,渗透数学建模的思想. 2.线性规划相关概念 3.图解法求解线性规划应用问题的基本步骤 师生活动： 先由同学总结学习的内容, 老师作补充说明, 特别是本节课是如 何经受的学问探究过程, 如何运用化归与数形结合思想得到方法,以及如何通过 数学建模解决实际问题 . 【设计意图】 通过总结, 培育同学数学沟通和表达的才能,养成准时总结的良好习惯,并将所学学问纳入已有的认知结构 . 2）作业布置细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载习题 3.3 A 组 3、4、B 组：3 摸索题：已知 x、 y满意不等式组2xy300,试求z300x900y取最大值时整点x2y250的坐标及相应的z的最大值 .x0,y0【设计意图】 让同学巩固所学内容, 并为下一课时解决实际问题中的最优解 是整数解的教学埋下伏笔 . 八、教学评判1.本节课的设计理念遵循：以问题为载体；以同学为主体；以合作沟通为手 段,以才能提高为目的 . 2.重视概念的提取过程,学问的形成过程,解题的探究过程,情感的自发过 程. 3.面对不同程度的教学对象,课堂上同学的反应情形不同,在教学时间上可 能仍要作适当的调整 . 4.变式演练难度较大,也要视教学对象的接受程度进行敏捷的删减细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -