2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价二十一第三章圆锥曲线的方程3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质含解析新人教A版选择性必修第一册202106082135.doc

二十一椭圆的简单几何性质(15分钟30分)1已知椭圆C：16x24y21，则下列结论正确的是()A长轴长为 B焦距为 C短轴长为 D离心率为【解析】选D.椭圆C：16x24y21，化为标准形式为1，可得a，b，则c，可得离心率为e.2若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A B C D【解析】选B.因为a22，b2m，e，所以m.3设F1，F2是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A B C D【解析】选C.如图，F2PF1是底角为30°的等腰三角形|PF2|F2F1|22ce.【补偿训练】 某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为()A B C D【解析】选B.如图(示意图)：F为月球的球心，月球半径约为×3 4761 738(km).依题意得|AF|1001 7381 838，|BF|4001 7382 138.所以2a1 8382 1383 976，解得a1 988.由ac2 138得c2 1381 988150，所以椭圆的离心率e.4(2020·盘锦高二检测)已知F是椭圆C：1(a>b>0)的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆(x)2y2(其中c为椭圆的半焦距)相切于点Q，且2，则椭圆C的离心率等于()A B C D【解析】选A.如图所示，设椭圆的左焦点为F1，连接PF1，设圆心为C，则圆心坐标为，半径为r，所以|F1F|3|FC|，因为PQ2QF，所以PF1QC，|PF1|b，所以|PF|2ab，因为线段PF与圆相切于点Q，所以CQPF，所以PF1PF，所以b2(2ab)24c2，所以b2(2ab)24，所以ab，则，所以e.5椭圆C：y21的左右焦点分别为F1，F2，点M为其上的动点，当F1MF2为钝角时，求点M的纵坐标的取值范围【解析】设M(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0).因为F1MF2为钝角，所以cos F1MF2<0，即|MF1|2|MF2|2<|F1F2|2(x)2y2(x)2y2<12.整理得x2y2<3.因为点M在椭圆y21上，将x244y2代入x2y23，解得y>或y<.又因为1y1，所以点M的纵坐标y的取值范围为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1(2020·嘉兴高二检测)已知椭圆y21(a>1)的离心率为，则其焦距为()A B2 C D2【解析】选B.根据题意得e，解得a24，因此c，所以焦距为2.2方程1(a>b>0，k>0且k1)与方程1表示的椭圆，那么它们()A有相同的离心率 B有共同的焦点C有等长的短轴、长轴 D有相同的顶点【解析】选A.对于椭圆1(a>b>0，k>0且k1)，aa，bb，c，则椭圆1的离心率为e，焦点坐标为(±，0)，短轴长为2b，长轴长为2a，顶点坐标为和；对于椭圆1，离心率为e，焦点坐标为，短轴长为2b，长轴长为2a，顶点坐标为和.因此，两椭圆有相同的离心率3已知椭圆C：1的右顶点是圆x2y24x30的圆心，其离心率为，则椭圆C的方程为()Ay21 By21Cy21 D1【解析】选A.由圆的方程知圆心为，所以a2，又椭圆的离心率为e，所以c，b1，所以椭圆C的方程为y21.4(2020·盘锦高二检测)若点O和点F分别为椭圆y21的中心和右焦点，P为椭圆上任意一点，则·的最小值为()A B C D【解析】选C.设点P的坐标为，则y21，且有x，F，·x2xy2x2x1x2x2x12，因为x，所以当x1时，·取得最小值.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5(2020·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，椭圆1上存在点P，使得PF13PF2，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为()A B C36 D【解析】选BD.设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义可得，解得PF1，PF2，由题意可得，解得，又0<<1，所以<1，所以，该椭圆离心率的取值范围是.6(2020·济南高二检测)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是()A卫星向径的取值范围是B卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【解析】选ABD.根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，A正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，B正确；1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7在平面直角坐标系中，椭圆1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e_.【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故a，解得e.答案：8设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A.在x轴负半轴上有一点B，满足，且，则椭圆的离心率为_【解析】由题意，根据，可知点B的坐标为(3c，0)，因为A(0，b)，F2(c，0)，所以(3c，b)，(c，b)，所以·3c2b23c2a2c2a24c20，解得，即e.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260°.(1)求椭圆离心率的范围(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关【解析】(1)设椭圆方程为1(a>b>0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mn cos 60°(mn)23mn4a23mn4a23·4a23a2a2(当且仅当mn时取等号).所以，即e.又0<e<1，所以e的取值范围是.(2)由(1)知mnb2，所以SPF1F2mn sin 60°b2，即PF1F2的面积只与短轴长有关10已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(2，0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围【解析】(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设P(x0，y0)，且1，所以2(x0m)2yx2mx0m212x2mx0m212(x04m)23m212.所以2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x04时，2最小，所以4m4，所以m1.又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1m4.【创新迁移】1已知椭圆1(a>b>0)的离心率e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根x1，x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内 B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外 D以上三种情况都有可能【解析】选A.因为x1，x2是方程ax2bxc0的两个实根，所以x1x2，x1·x2.所以xx(x1x2)22x1x21，因为a>b，所以<1，所以1<2，故点P(x1，x2)在圆x2y22内2已知定点A(a，0)，其中0a3，它到椭圆1上的点的距离的最小值为1，求a的值【解析】设椭圆上任一点为P(x，y)(3x3)，则|PA|2(xa)2y2(xa)2(364x2)4a2，当0a时，有0a3.所以当xa时，(|PA|2)min4a21，解得a(舍)；当a3时，有3a，当且仅当x3时，(|PA|2)mina26a91，解得a2或a4(舍)，综上可得a2.