2022年圆的知识点总结3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 圆的总结 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心,定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线点与圆的位置关系: 点 C 在圆内ABrdddOd=r点在圆内d<r 点在圆上d=r 点 B 在圆上点在此圆外d>r 点 A 在圆外直线与圆的位置关系: 直线与圆相离d>r 无交点rC直线与圆相切d=r 有一个交点直线与圆相交d<r 有两个交点圆与圆的位置关系: rd外离（图 1）R无交点d>R+r dr图 4dRrdr外切（图 2）有一个交点d=R+r R相交（图 3）有两个交点R-r<d<R+r 图 5d内切（图 4）有一个交点d=R-r 内含（图 5）无交点d<R-r drR图 2Rr图 1图 3垂径定理 : 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即：AB 是直径AB CD CE=DE BC .BD . AC. AD推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中, AB CD 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - A圆心角定理CDBODAOBEFDOEABC圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只CC要知道其中的1 个相等, 就可以推出其它的3 个结 论 也 即 ： AOB= DOE AB=DE OC=OF BA .ED .圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半BOA即： AOB 和 ACB 是所对的圆心角和圆周角 AOB=2 ACB 圆周角定理的推论：DC推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧即：在 O 中, C、 D 都是所对的圆周角 C=D CBOCAA推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径O即：在 O 中, AB 是直径或 C=90°B C=90°AB 是直径推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形即：在ABC 中, OC=OA=OB BOCAB ABC 是直角三角形或C=90°O注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；弦切角定理 :弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；即： MN 是切线, AB 是弦 BAM= BCA NAM圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；CD即：在 O 中,四边形ABCD 是内接四边形 C+BAD=180 °B+D=180 °DAE= C 切线的性质与判定定理BAE（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： MN OA 且 MN 过半径 OA 外端名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - MN 是 O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心O以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最终一个条件MN 是切线MPABBANECAMN OA O切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA、 PB 是的两条切线PA=PB PO 平分 BPA 圆内相交弦定理及其推论：（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等O即：在 O 中,弦 AB 、CD 相交于点 P DPA·PB=PC·PA （2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；即：在 O 中,直径AB CD 2EAg EBCE2DE（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项BCOAD即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线PPA2PCgPB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）PDgPEPDAOE即：在 O 中, PB、PE 是割线PCgPB圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦CB即： O1、 O2 相交于 A 、B 两点O1O2 垂直平分 AB 两圆公切线长的运算公式：CO22O1AO2（1）公切线长：在Rt O1O2C 中,BAB2CO12O1O22（2）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长： CO2 是半径之和 圆内正多边形的运算（1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在Rt BOD 中进行, OD:BD:OB= 1:3: 2第 3 页,共 8 页（2）正四边形1:1:2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同理,四边形的有关运算在Rt OAE 中进行, OE :AE:OA= 1:3 : 2（3）正六边形Rt OAB 中进行, AB:OB:OA= 同理,六边形的有关运算在COSBO2C1lRAOOSAlBDAAEDBB弧长、扇形面积公式nR（1）弧长公式：l180nR（2）扇形面积公式：3602总结归纳： 圆的学问考点圆与三角形、四边形一样都是讨论相关图形中的线、角、周长、面积等学问；包括性质定理与判及公式；一、圆的有关概念1、圆；. . .静（集合）.封闭曲线围成的图形2、弦、直径、切线；直线 3、弧、半圆；曲线4、圆心角、圆周角；5、三角形的外接圆、外心；用到：线段的垂直平分线及性质 6、三角形的内切圆、内心；用到：角的平分线及性质二、圆的有关性质 （涉及线段相等、角相等,求线、角）轴对称 1、圆的对称性；中心对称2、垂径定理及其推论；3、弧、弦、圆心角之间的关系定理 4、圆周角定理及推论；同圆、等圆,同弧、等弧,圆周角5、切线的性质定理；6、切线长定理；三、判定定理切线的判定两种思路：连半径,证垂直；作垂直,证半径名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、点、直线、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系 位置关系 数量关系点在圆外 d>r 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 2、直线与圆的位置关系：位置关系 数量关系 相离 d>r 相切 d=r 相交 d<r 3、圆与圆的位置关系：位置关系 数量关系外离 d>R+r 外切 d=R+r 相交 R-r<d<R+r 内切 d=R-r 内含 d<R-r 五、正多边形和圆1、有关概念 正多边形的中心、半径、中心角及其度数、边心距 2、方法思路：构造等腰（等边）三角形、直角三角形,在三角形中求线、角、面积；六、圆的有关线的长和面积；1、圆的周长、弧长C=2r, l=nr（即 S 扇形=nr2=1lr）1802、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积S圆=r2 , S扇形=nr2,或 S扇形=1lr36023602S 圆锥= r底面圆l母线3、求面积的方法名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直接法由面积公式直接得到间接法即：割补法（和差法）进行等量代换与 圆 有 关 的 计 算一、周长：设圆的周长为C,半径为 r,扇形的弧长为l,扇形的圆心角为n.A 、B、C 循环,将圆的周长： C R；扇形的弧长：ln r；180例题 105 崇文练习一）某小区建有如下列图的绿地,图中4 个半圆,邻近的两个半圆相切；两位老人同时动身,以相同的速度由A 处到 B 处漫步,甲老人沿. ADA A EA A FB . .的线路行走,乙老人沿.ACB 的线路行走,就以下结论正确选项 （A）甲老人先到达B 处 （B）乙老人先到达B 处（ C）甲、乙两老人同时到达B 处（ D）无法确定例题 2如图, ABC 是正三角形,曲线CDEF 叫做正三角形的“渐开线 ” ,其中.CD 、.DE 、.EF 的圆心依次按它们依次平滑相连接；假如AB=1 ,试求曲线CDEF 的长；例题3（ 06 芜湖）已知如图,线段AB CD , CBE=600,且AB=60cm,BC=40cm,CD=40cm ,O 的半径为 10cm,从 A 到 D 的表面很粗糙,求 所经过的距离； O 从 A 滚动到 D,圆心 O例题 4如图,一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动旋转直至回到原动身位置时,就这个圆共转了（）圈；A 4 B 3 C 5 D 3.56. 例题 5 08 大兴二模 如图,一个人握着板子的一端,另一端放在圆柱上,某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动,假设滚动时圆柱与地面无滑动,板子与圆柱也没有滑动已知板子上的点 B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的 点 C 间的距离 BC 的长为 L m ,当手握板子处的点 C 随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时,人 前进了 _ m o 例题 608 房山二模 如图, ACB 60,半径为 2 的 0 切 BC 于点 C,如将 O 在 CB 上向右滚动,就当滚动到 O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为 . 二、面积：设圆的面积为 S,半径为 r,扇形的面积为 S扇形,弧长为l. 圆 的 面 积 ：Sr2 扇 形 的 面 积 ：S 扇形n r21lr 弓 形 面 积 ：3602S 弓形S 扇形SV ABC 内接于 O, BD 是 O 的直径,假如 A 120 °, CD 2,就扇形例题 1（05 丰台练习二）如图,OBAC 的面积是 _；例题 2（江西省）如图, A、 B、 C 两不相交,且半径半径都是0.5cm.图中的三个扇形（即三个阴影部第 6 页,共 8 页分）的面积之和为（）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A cm2 B cm2 C cm2 D cm212 8 6 4例题 308 大兴 北京市一居民小区为了迎接 2022 年奥运会, 方案将小区内的一块平行四边形 ABCD 场地进行绿化, 如图阴影部分为绿化2地,以 A、B、C、D 为圆心且半径均为 3m 的四个扇形的半径等于图中O 的直径, 已测得 AB 6 m,就绿化地的面积为 m A. 18 B. 36 C. 45 D. 9 4 2例题 4如图, O 的半径为 20,B、 C 为半圆的两个三等分点,A 为半圆的直径的一个端点,求阴影部分的面积；例题 508 房山 如图 1 是一种边长为 60cm 的正方形地砖图案,其图案设计是： 三等分 AD（ AB=BC=CD ） 以点 A为圆心,以 AB 长为半径画弧,交 AD 于 B、交 AG 于 E； 再分别以 B、E 为圆心, AB 长为半径画弧,交 AD 于 C、交 AG 于 F 两弧交于 H；用同样的方法作出右上角的三段弧图 2 是用图 1 所示的四块地砖铺在一起拼成的大地砖,就图 2 中的阴影部分的面积是 _cm2（结果保留）例题 6. 08 西城 如图 ,在 Rt ABC 中, BAC 90 ,AB=AC=2, 如以 AB 为直径的圆交 BC 于点D,就阴影部分的面积是 . ACDB例题 7. 08 朝阳 已知：如图,三个半径均为 1 m 的铁管叠放在一起,两两相外切,切点分别为 C、D、E,直线 MN （地面）分别与 O2、 O3相切于点 A、 B（1）求图中阴影部分的面积； （ 2）请你直接写出图中最上面的铁管（ O1）的最低点 P 到地面 MN 的距离是 _m例题 8 08 海淀 如图,一种底面直径为 8 厘米,高 15 厘米的茶叶罐,现要设计一种可以放三罐的包装盒,请你估算包装用的材料为多少（边缝忽视不计）；三、侧面绽开图：圆柱侧面绽开图是形 ,它的长是底面的,高是这个圆柱的；圆锥侧面绽开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧长是这个圆锥的底面的例题 1 05 丰台 圆柱的高为 6cm,它的底面半径为4cm,就这个圆柱的侧面积是 A. 482 cmB. 242 cm2 C. 48 cm2 D. 24 cm例题 2（05 丰台）假如圆锥的底面半径为4cm,高为 3cm,那么它的侧面积是 A. 15cm2B. 20cm2C. 24cm2D. 40cm2例题 305海淀）如图圆锥两条母线的夹角为 120 ,高为 12cm,就圆锥侧面积为 _,底面积为_；例题 4（05 朝阳）假如圆柱的母线长为5cm,底面半径为2cm,那么这个圆柱的侧面积是（）A. 10cm22 B. 10 cmC. 20cm22 D. 20 cm例题 5.假如一个圆锥的轴截面是等边三角形,它的边长为4cm,那么它的全面积是 A. 8 cm 2B. 10 cm 2C. 12 cm 2D. 9 cm 2四、正多边形运算的解题思路：正多边形连 OAB等腰三角形作垂线OD直角三角形；_；第 7 页,共 8 页转化转化可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的学问进行求解；例题 1（05 朝阳）正 n 边形的一个内角是 135 ,就边数n 是（）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 例题 2如图,要把边长为6 的正三角形纸板剪去三个三角形,得到正六边形,它的边长为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题 3如图扇形的圆心角为直角,正方形OCDE 内接于扇形,点C、 D、E 分别在 OA、 OB 、.AB 上,过点 A 作 AF ED,交 ED 的延长线于点 F,垂足为 F；如正方形的边长为1,就阴影部分的面积为_；（福建福州）名师归纳总结 第 8 页,共 8 页- - - - - - -