2022年直线与圆的位置关系.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载直线与圆的位置关系（教案）- 距离与最值的问题题型四：直线与圆的位置关系例 5. （2022,江苏）在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x2y 30 被圆 x 2 2y 1 24 截得的弦长为 _|2 23| 3解析：由题意可得,圆心为 2 ,1 ,r 2,圆心到直线的距离 d1 22 25 5,9 2所以弦长为 2 r 2d 22 455 55 . 例 6. （2022,浙江）已知圆 x 2y 22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为4,就实数 a 的值是 A 2 B 4 C 6 D 8 解析：圆的标准方程为 x 1 2y 1 22a,r 22a,就圆心 1,1 到直线 x| 11 2|y20 的距离为2. 由 2 2 2 22a,得 a 4, 应选 B. 2例 7. （2022,湖北）直线 l1： yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x 2y 21 分成长度相等的四段弧,就 a 2b 2_. 解析：依题意得,圆心O到两直线 l1：y xa,l2：yxb 的距离相等,且每段弧长1 |a| |b|等于圆周的 4,即 221× sin 45 ° ,得 |a|b| 1. 故 a 2b 22. 例 8. （2022,全国）直线 l1 和 l2是圆 x 2y 22 的两条切线如 l1与 l2 的交点为 1 ,3 ,就 l 1与 l 2 的夹角的正切值等于 _解：依据题意, OAPA, OA2,OP10,所以 PAOP 2OA 22 2,所以 tan OA 2 1 2tan OPA 4 4OPAPA2 22,故 tan APB1tan 2OPA3,即 l 1与 l 2 的夹角的正切值等于 3. 评注： 解决圆与圆的位置关系的问题时,要留意运用数形结合思想,要用平面几何中有关圆的性质,养成勤画图的良好习惯题型七：最值问题例 11. （2022,北京）已知圆 C： x 3 2y 4 21 和两点 A m,0 , Bm,0m0 如圆 C上存在点 P,使得 APB 90° ,就 m的最大值为 A7 B6 C 5 D4 解析：由图可知, 圆 C上存在点 P 使APB 90° ,即圆 C与以 AB为直径的圆有公共点,名师归纳总结 所以3 2 4 21m3 2421,即 4m6. 应选 B第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载例 12. （2022,四川）设 m R,过定点 A 的动直线 x my0 和过定点 B的动直线 mxym30 交于点 Px ,y ,就 |PA| |PB| 的取值范畴是 A 5, 2 5 B 10,2 5 C 10,4 5 D2 5,4 5 解析：由题意可知,定点 A0,0 ,B1,3 ,且两条直线相互垂直,就其交点 Px ,y落在以 AB为直径的圆周上,所以 |PA| 2 |PB| 2|AB| 210,即 |PA| |PB| |AB| 10. 又|PA| |PB| （|PA| |PB| ）2|PA| 22|PA|PB|PB| 2 2（|PA| 2|PB| 2） 2 5,所以 |PA| |PB| 10,2 5 ,应选 B. 例 13. （2022,江西师大附中）已知 P 是直线 3 x 4 y 8 0 上的动点, PA、PB 是圆2 2x y 2 x 2 y 1 0 的切线, A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB面积的最小值是 A2 B 2 C2 2 D 4解析：由题意,圆 x 2y 2 2 x 2 y 1 0 的圆心是 C（ 1,1）,半径为 1,PA=PB；易知四边形 PACB 面积1 PA PB PA , 故 PA 最小时,四边形 PACB 面积22最小；由于 | PA | | PC | 1 , 故 PC最小时, PA最小；此时 CP垂直直线 3 x 4 y 8 0,| PC | 3 4 8|3,| PA | | PC | 21 2 2 四边形 PACB面积的最小值是 2 2 . 5例 14. （2022,江苏）如图,为爱护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形爱护区规划要求：新桥 BC与河岸 AB垂直；爱护区的边界为圆心 M在线段 OA上并与BC相切的圆,且古桥两端 O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m经测量,点 A 位于点 O正北方向 60 m 处,点 C位于点 O正东方向 170 m 处OC 为河岸 ,tan BCO4 3. 1 求新桥 BC的长； 2 当 OM多长时,圆形爱护区的面积最大？解： 1 如下列图,以 O 为坐标原点, OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系名师归纳总结 xOy. 由条件知 A0, 60, C170,0 ,直线 BC 的斜率 kBC tan BCO4 3. 又由于ABBC, 第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载所以直线 AB的斜率 k AB3 4. 设点 B 的坐标为 a ,b ,就 k BC b 0 a170 4 3, k AB b60 a 0 3 4,解得 a 80, b120,所以 BC（17080）2（ 0120）2 150. 因此新桥 BC的长是 150 m. 2 设爱护区的边界圆 M的半径为 r m, OM d m 0 d60 由条件知,直线 BC的4方程为 y3x 170 ,即 4x3y6800. 由于圆 M与直线 BC相切,故点 M0, d 到直|3d 680| 6803d线 BC的距离是 r ,即 r 4 23 25 . 由于 O和 A 到圆 M上任意一点的距离均不6803dr d 80,5d80,少于 80 m,所以 即 解得 10d35. 故r （ 60d）80,680 3d5（ 60d）80,680 3d当 d10 时, r 5 最大,即圆面积最大,所以当 OM10 m 时, 圆形爱护区的面积最大评注：解决最值问题时,要借助图形的几何性质,利用数形结合求解.与圆有关的最值问题的求法： 1圆 O 外一点 A 到圆上一点的距离的最小值为 |AO|r,最大值为 |AO| r；2求axbyax by其中 x,y为圆上点 的取值范畴转化为直线与圆的位置关系；3求 cxdy其中 x,y为圆上点 的最值,可转化为求直线的斜率；4 求xa 2y b2 型的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题13（14 分）已知以点C t , 2 t t R, t 0 为圆心的圆与x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点O、B,其中 O为原点1 求证： AOB的面积为定值；2 设直线 2xy 40 与圆 C交于点 M、N,如 |OM|ON| ,求圆 C的方程；3 在2 的条件下, 设 P、Q分别是直线 的最小值及此时点 P的坐标l ：x y20 和圆 C的动点, 求|PB| |PQ|2 2 4 413、1 由题设知,圆 C的方程为 x t 2 ytt 2t 2,化简得 x 2 2tx y 2t y0,当 y0 时, x0 或 2t ,就 A2t ,0 ；当 x0 时, y0 或4 t,就 B 0,4t, S AOB1 2|OA| ·|OB| 1 2|2t|·4t4 为定值2 |OM| |ON| ,就原点 O在 MN的中垂线上,设 2MN的中点为 H,就 CHMN, C、名师归纳总结 H、O三点共线, 就直线 OC的斜率 kt t2 t 21 2, t 2 或 t 2, 圆心 C2,1 或 C第 3 页,共 5 页2,1 圆 C 的方程为 x 22y 125 或x 22y 125,由于当圆方程为x22y 125 时,直线 2xy 40 到圆心的距离d>r ,此时不满意直线与圆相交,故舍去 . 圆 C的方程为 x 22y 125 3 点 B0 ,2 关于直线 xy20 的对称点为B 4,2 ,就|PB| |PQ| |PB |PQ| |BQ|, 又 B 到圆上点Q的最短距离为 |B C| r （ 6）23 2535- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 52学习好资料欢迎下载5. 所以 |PB| |PQ| 的最小值 25,直线 B C的方程为 y1 2x,就直线 B C与直线 xy20 的交点 P的坐标为4 3,2 3 . 二：有关面积的最值例 2已知圆 C 通过不同的三点Pm,0、Q2,0、 R0,1,且 CP的斜率为 1. 1试求 C 的方程；2过原点 O 作两条相互垂直的直线 l1,l2,l1交 C 于 E,F 两点,l2交 C 于 G,H 两点,求四边形【解答】1设圆 C 的方程为 x 2y EGFH 面积的最大值2Dx EyF0,就 C 点的坐标为D 2, E 2,且 PC 的斜率为 1,由于圆 C 通过不同的三点 Pm,0,Q2,0, R0,1,1EF0,42D F 0,D1,所以有D 22m,解得 E 5,E 2 0 1,F 6,m 3.D 2m所以圆 C 的方程为 x 2y 2x5y 60. 或写成 x1 2 2 y5 2 225 2 . 2圆心 C 1 2, 5 2,设圆心 C 到 l1,l2 的距离分别为 d1,d2,就 d 2 1d 2 2OC 213 2,又EF2 2d 2 1R 2,GH2 2d 2 2R 2,两式相加,得 EF 2GH 2742EF ·GH , S1 2EF ·GH 37 2,即 S 四边形 EFGH max37 2 . 三：某些参量的取值问题例 3 已知圆 x2 y2 2ax 2ay 2a2 4a 00<a 4的圆心为C,直线 l： y x m. 1如 m 4,求直线l 被圆 C 所截得弦长的最大值；名师归纳总结 2如直线 l 是圆心下方的切线,当 a 在0,4变化时, 求 m 的取第 4 页,共 5 页值范畴【解答】1x2 y2 2ax 2ay 2a24a 0, xa 2 ya24a. 圆心为C a, a,半径为 r 2 a. 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为2t,圆心 C 到直线 l 的距离为 d. - - - - - - -m 4 时,直线l： x y 4 0,精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2圆心 C 到直线 l 的距离 d直线 l 是圆 C 的切线,dr,即|m2a|2 a. 2m2a±2 2a. |aam|m 2a|,2 2直线 l 在圆 C 的下方,m2a2 2a 2a 1 21. a0,4, m 1,84 2. 如曲线 x 2y 2 2x4y10 上的任意一点关于直线 2axby2 0a, b R的对称点仍在该曲线上,就 a1 b的最小值是 _4【解析】由题意知,已知圆的圆心 1,2在直线 2axby 20a,bR上,所以解得abb2b aa b4. ab1,所以1 a1 ba b名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页