2022年高三数学文科立体几何知识点方法总结高三复习.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -立体几何学问点整理（文科）mll/ml/m一直线和平面的三种位置关系：l1. 线面平行方法二：用面面平行实现；l符号表示：；ll/l/2. 线面相交方法三：用平面法向量实现；l如 n 为平面的一个法向A符号表示：nl量 ,nl且 l, 就3. 线在面内l/；l符号表示：3.面面平行：方法一：用线线平行实现；二平行关系：l/l'1.线线平行：mlm/m '且相交/方法一：用线面平行实现；l,mll/l' m'l,'m '且相交ll/m方法二：用线面平行实现；ml/mmlm/且相交/方法二：用面面平行实现；l,ml/mll/m三垂直关系：m1. 线面垂直：方法三：用线面垂直实现；方法一：用线线垂直实现；如l,m,就l /m；lAC方法四：用向量方法：llABAlACAB如向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,就l /mACAC,AB2.线面平行：B方法二：用面面垂直实现；方法一：用线线平行实现；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -lmlm ,lml余弦定理：2b2c2abccosa2 ab运算结果可能是其补角 ：2. 面面垂直：方法二：向量法；转化为向量的夹角方法一：用线面垂直实现；C运算结果可能是其补角llABcosABAClABAC二 线面角方法二：运算所成二面角为直角；lm1 定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ,作3.线线垂直：PO于 O,连结 AO ,就 AO 为斜线 PA 在面内方法一：用线面垂直实现；的射影,PAO 图中为直线 l 与面所成的角；llPmmAO方法二：三垂线定理及其逆定理；AlPPOOAlPA2范畴：0, 90或l/Ol当0时, ll当90 时, l3求法：方法三：用向量方法：0,就lm；方法一：定义法；如向量 l 和向量 m 的数量积为步骤 1：作出线面角,并证明；三夹角问题；步骤 2：解三角形,求出线面角；一异面直线所成的角：1 范畴：0, 90 三 二面角及其平面角1定义：在棱 l 上取一点 P,2求法：nP方法一：定义法；两个半平面内分别作l 的垂AO线（射线） m、 n,就射线步骤 1：平移,使它们相交,找到夹角；步骤 2：解三角形求出角；常用到余弦定理 l的平面角；m 和 n 的夹角为二面角细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -四距离问题；ml1点面距；nP方法一：几何法；P2范畴：0, 180三垂线定理 ,并证明；AO3求法：方法一：定义法；步骤 1：过点 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求；步骤 1：作出二面角的平面角步骤 2：运算线段PO 的长度； 直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法 步骤 2：解三角形,求出二面角的平面角；2线面距、面面距均可转化为点面距；方法二：截面法；和,3异面直线之间的距离且步骤 1：如图,如平面 POA 同时垂直于平面方法一：转化为线面距离；就交线 射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角；mn步骤 2：解三角形,求出二面角；P如图, m 和 n 为两条异面直线,nAm/,就异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直O线 m 与平面之间的距离；方法三：坐标法运算结果可能与二面角互补方法二：直接运算公垂线段的长度；步骤一：运算cosn1n 2方法三：公式法；n 1n 2BaAmcdnbDm'Cn 1n2如图, AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段,n 1n 2步骤二：判定与n 1n 2的关系,可能相等或m/ m ',就异面直线m 和 n 之间的距离为：者互补；dc2a2b22 abcos高考题典例考点 1 点到平面的距离A2 , D 为CC中点B A D B 11A 第 3 页,共 9 页 例 1 如图,正三棱柱ABCA B C的全部棱长都为（）求证：AB 平面A BD；（）求二面角 1A DB的大小；C C 1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（）求点C 到平面A BD的距离解答过程 （）取 BC 中点 O ,连结 AO ABC为正三角形,AOBCA C A DA 1别 为B C,C C 1正三棱柱ABCA BC中,平面 ABC 平面 1 1 1BCC B,AO 平面BCC B连结 1 11BO ,在正方形BB C C中, O 1 1,D分O F 的中点,B OBD,AB 1BDD C 1在正方形ABB A中,AB 1A B,AB 平面A BD1B AB 1于 F , 连 结（）设AB与1AB 交于点 G ,在平面ABD中,作GFAD为二面角B的平面角AF ,由（）得AB 平面 11ABD AFA D 1,AFG在AAD中,由等面积法可求得AF4 5,5又AG1AB12,sinAFGAG2102AF4 545所以二面角AA DB的大小为arcsin10E、D分别4（）A BD 1中,BDA D5,A B2 2,SA BD6,SBCD1在正三棱柱中,1A 到平面BCCB的距离为3设点 C 到平面1A BD 的距离为 d 由VA 1BCDV CA BD 1,得1SBCD31SA BDd,d3 SBCD233SA BD 12点 C 到平面1ABD的距离为22考点 2 异面直线的距离例 2 已知三棱锥SABC,底面是边长为42的正三角形,棱SC 的长为 2,且垂直于底面 .为BC、AB的中点,求CD 与 SE 间的距离 . 第 4 页,共 9 页 解答过程 ： 如下列图,取BD 的中点 F,连结 EF ,SF,CF ,EF 为BCD 的中位线,EF CD,CD 面 SEF ,CD细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -到平面 SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD 上一点 C 到平面 SEF的距离,设其为h,由题意知,BC42,D、E、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点,h23CD26,EF1CD6,DF2,SC22VSCEF11EFDFSC116222333232在 RtSCE中,SESC 2CE223在 RtSCF 中,SFSC 2CF2424230又EF6 ,SSEF3由于VCSEFV SCEF1SSEFh,即13h233,解得333故 CD 与 SE 间的距离为233. 考点 3 直线到平面的距离C 1例 3 如图,在棱长为2 的正方体AC 中, G 是AA 的中点,求BD 到平面GB 1D 1的距离 . 思路启发 ：把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解. D 1O 1B 1解答过程 ：解析一BD 平面GB 1D 1,A 1 第 5 页,共 9 页 BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求H C 点 O 平面GB 1D 1的距离 , G D B 1D 1A 1 C 1,B 1D 1A 1A,B 1D 1平面A 1ACC 1, A O B 又B 1D 1平面GB 1D 1平面A 1ACC 1GB 1D 1,两个平面的交线是O1 G, 作OHO 1G于 H,就有OH平面GB 1D 1,即 OH 是 O 点到平面GB 1D 1的距离 . 在O1 OG中,SO 1OG1O 1 OAO1222. 22又SO1 OG1OHO 1G13OH2,OH236. 22即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析二BD 平面GB 1D 1,BD 上任意一点到平面GB 1D 1的距离皆为所求,以下求点B 平面GB 1D 1的距离 . , 设点 B 到平面GB 1D 1的距离为 h,将它视为三棱锥BGB 1D 1的高,就VBGB 1D1VD 1GBB1,由于SGB 1D 112236,VD 1GBB11122242323h4236,6即 BD 到平面GB 1D 1的距离等于236. 小结 ：当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离 .所以求线面距离关键是选准恰当的点, 转化为点面距离.本例解析一是依据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离. 考点 4 异面直线所成的角AOC可以通过 RtAOB以直线 AO 为轴旋转例 4 如图,在 RtAOB中,OAB,斜边AB4 Rt6得到,且二面角BAOC 的直二面角D 是 AB 的中点zA（I）求证：平面 COD平面 AOB；（II）求异面直线AO 与 CD 所成角的大小D解答过程 ：（I）由题意, COAO , BOAO ,BOC 是二面角 BAOC 是直二面角,OEBCOBO ,又AOBOO ,CO平面 AOB,又 CO平面 COD 平面 COD平面 AOBAO,A C（II）作 DEOB ,垂足为 E ,连结 CE （如图）,就 DECDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角OE25D在 RtCOE中,COBO2,OE1BO1,CECO2215xCO又DE1AO3在 RtCDE中,tanCDECE52ByDE33异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctan153小结 ： 求异面直线所成的角经常先作出所成角的平面图形,作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上挑选“ 特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二；补形法：把空间 第 6 页,共 9 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图形补成熟识的几何体,其目的在于简单发觉两条异面直线间的关系,如解析三 .一般来说, 平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法 .同时要特殊留意异面直线所成的角的范畴：0 , . 2考点 5 直线和平面所成的角例 5. 四棱锥 S ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC 底面 ABCD 已知ABC 45,AB 2,BC 2 2,SA SB 3S（）证明 SA BC ；（）求直线 SD 与平面 SAB所成角的大小解答过程：（） 作 SOBC,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC C B 底 面D AA B,得 SO 底面 ABCD 由于 SA SB,所以 AO BO ,S又ABC 45, 故A O B 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,AOBO,由三垂线定理,得 SABCC OB（）由（）知 SABC,依题设 ADBC,D A故 SAAD,由 AD BC 2 2,SA 3,AO 2,2得 SO 1,SD 11SA B 的面积 S 1 1AB SA 2 1AB 22 2连结 DB ,得DAB 的面积 S 2 1AB AD sin135 22设 D 到平面 SAB的距离为 h ,由于 V D SAB V S ABD,得 1h S 1 1 SO S,解得 2 h 23 3设 SD 与平面 SAB所成角为,就 sin h 2 22SD 11 11所以,直线 SD与平面 SBC所成的我为 arcsin 2211小结 ：求直线与平面所成的角时,应留意的问题是（1）先判定直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时,常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角,证明论证作出的角为所求的角,运算常用解三角形的方法求角,结论点明直线和平面所成的角的值. P C A Q 考点 6 二面角CB,例 6如图, 已知直二面角PQ, APQ , B,C, CABAP45,直线 CA 和平面所成的角为 30 （I）证明 BCPQ（II）求二面角 BACP 的大小B 细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -过程指引 ：（I）在平面内过点 C 作 COPQ于点 O ,连结 OB C 由于,PQ ,所以 CO,H 又由于 CA CB ,所以 OA OB P B O A Q 而 BAO 45,所以 ABO 45,AOB 90,从而 BOPQ,又 COPQ,所以 PQ 平面 OBC 由于 BC 平面 OBC ,故 PQBC（II）由（ I）知, BOPQ,又,PQ ,BO,所以 BO 过点 O 作 OHAC 于点 H ,连结 BH ,由三垂线定理知,BHAC故BHO 是二面角 B AC P 的平面角由（ I）知, CO,所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角,就 CAO 30,不妨设 AC 2,就 AO 3,OH AO sin 30 32在 RtOAB 中 ,ABO BAO 45, 所 以 B O A O 3, 于 是 在 RtBOH 中 ,t a n BHO BO 3故二面角 B AC P 的大小为 arctan2 OH 32小结 ：此题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,补形构造几何体发觉棱；解法二就是利用平面对量运算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面对量运算的方法求出二面角的大小A 1. 考点 7 利用空间向量求空间距离和角例 7 如图,已知ABCDA BC D 是棱长为 3的正方体,D 1点 E 在AA 上,点 F 在 1CC 上,且 1AEFC 11C 1B 1（1）求证：E, , ,D 1四点共面；FME垂 足 为A（2）如点 G 在 BC 上,BG2,点M在BB 上, GMBF,CDHGB3细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -H ,求证： EM 平面 BCC B ；（3）用表示截面EBFD 和侧面BCC B 所成的锐二面角的大小,求tanD 1B 1A 1过程指引 ：（1）如图,在DD 上取点 N ,使DN1,连结 EN , CN ,就AEDN1,CFND 12C 1由于 AEDN,ND 1CF,所以四边形ADNE ,CFD N 都为平行四FNME边形从而 ENAD,FD 1CNDAH又由于 ADBC,所以 ENBC,故四边形 BCNE 是平行四边形,由此CGB推知 CNBE,从而FD 1BE因此,E, , ,D 1四点共面（2）如图, GMBF,又 BMBC,所以BGMCFB,BMBGtanBGMBGtanCFBBGBC231CF32BF于是EHM由于 AEBM,所以 ABME 为平行四边形,从而ABEM又 AB 平面BCC B ,所以 EM 平面BCC B （3）如图,连结 EH 由于 MHBF,EMBF,所以 BF 平面 EMH ,得 EH是所求的二面角的平面角,即EHM由于MBHCFB,所以MHBMsinMBHBMsinCFBBMBCCF2133223,tanEM13MH 第 9 页,共 9 页 BC2213细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -