2022年高中数学选修-知识点小结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 选修 2-1、2-2 学问点选修 2-1 第一章 常用规律用语1. 命题及其关系 四种命题相互间关系：原命题 互 逆 逆命题如 p 就 q 如 q 就 p 逆否命题同真同假 互 否2. 充分条件与必要条件 互 为 逆 互p 是 q 的充要条件：p q 否 为 逆 否p 是 q 的充分不必要条件：p q q . p 互 否p 是 q 的必要不充分条件：q p p . q 逆否命题 互 逆 逆否命题p 是 q 的既充分不必要条件：p 靠 q q p 如 q就 p 如 q就 p3. 规律联结词“ 或” “ 且” “ 非”4. 全称量词与存在量词 留意命题的否定形式（联系反证法的反设）,主要是量词的变化 . 例：“a=1” 是“x 0,2 x a 1” 的（）xA 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件其次章 圆锥曲线与方程1. 三种圆锥曲线的性质（以焦点在 x 轴 为例）椭圆 双曲线 抛物线与两个定点的距离差的确定与两个定点的距离和等于值等于常数 与一个定点和一条定义常数 2 2 a | F F 2 |2 2 a | F F 2 | 定直线的距离相等2 2 2 2标准方程 x2 y2 1 a b 0 x2 y2 1 , a b 0 y 22 px p 0a b a b图形顶点坐标 ± a,0,0,± b ± a,00,0 名师归纳总结 对称轴ex 轴,长轴长2a 1ex 轴,实轴长2a 1x 轴第 1 页,共 7 页y 轴,短轴长2b y 轴,虚轴长2b 焦点坐标 ±a22 b,0 ±a22 b ,0 p ,0 2离心率c ac1b20c1b2eee1 aa22xaapxa2xa2准线2cc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 渐近线ybxa2.焦半径|PF1|aex0|PF|x0p|PF2|aex02a,b,c,e,p 知二求二“ 回来定义”是一种重要的解题策略；如：（1）在求轨迹时,如所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,就依据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的学问来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决；3. 直线与圆锥曲线的位置关系（ 1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情形：相交、相切、 相离 .联立直线与圆锥曲线方程 ,经过消元得到一个一元二次方程（留意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为 0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 0 、0、0 . 应留意数形结合 例如双曲线中, 利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系 常见方法：联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等；点差法（主要适用中点问题,设而不求, 留意需检验, 化简依据：x 12x 22x0,y 12y22y 0,y2y 1k）x2x 1（2）有关弦长问题,应留意运用弦长公式及韦达定理来解决；（留意斜率是否存在） 直线具有斜率 k ,两个交点坐标分别为A x y 1, B x y 211y 1y2AB1k2x 1x 21k2 x 1x224x x 2k2 直线斜率不存在,就ABy 1y 2. （3）有关对称垂直问题,要留意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算；考查三个方面：A 存在性（相交） ；B 中点； C 垂直（k k 21）注 : 1. 圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既娴熟 把握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算；2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法 . 3.圆锥曲线中参数取值范畴问题通常从两个途径摸索 二是建立不等式,通过解不等式求范畴；:一是建立函数,用求值域的方法求范畴；4.留意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）名师归纳总结 （ 4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建设现（限）代化）、代入法（利第 2 页,共 7 页用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等；例 1. 已知定点F 1,30 ,F2,3 0,在满意以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C）；A PF1PF24BPF1PF26CPF1PF210DPF12PF2212- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 已知双曲线的离心率为2,F1、F2 是左右焦点, P 为双曲线上一点,且F 1PF260,SPF 1F 2123求该双曲线的标准方程（答：2 xy21）3. 412例 3 已知椭圆的一个顶点为A（0,-1）,焦点在x 轴上,如由焦点到直线的距离为（ 1）求椭圆分方程； （2）设椭圆与直线相交于不同的两点范畴；（答：2 xy21;m1, 2）32M,N ,当 |AM|=|AN| 时,求 m 的取值例 4 过点 A（ 2,1）的直线与双曲线x2y21相交于两点P1、P2,求线段 P1P2中点的轨迹2方程；第三章空间向量与立体几何x2x 12y 2y 12z 2z 121.空间向量及其运算aa a2 x 12 y 12 z 1d ,共线向量定理：a/ /bab b0a b c 构成一组基共面对量定理：p a b 共面pxayb x yR ；四点共面MPxMAyMB x yR 空间向量基本定理pxaybzc x y zR （不共面的三个向量底,任意两个向量都共面）名师归纳总结 2.平行：（直线的方向向量,平面的法向量）（a b 是 a,b 的方向向量,n 是平面的法向量）第 3 页,共 7 页3.线线平行：a/ /ba/ /b线面平行：a/ /an或a/ /b , b或axbyc b c,是内不共线向量）面面平行：/n 1/ /n 2垂直4.线线垂直： ababa b0线面垂直：aa/ /n或ab ,ac,是 b c内不共线向量）面面垂直：n 1n 2夹角问题线线角cos| cosa b|a b|（留意异面直线夹角范畴02）|a b|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 线面角sin| cosa n|a n|a|n|二面角|cos | |cosn n 2|n n 1 2|（一般步骤求平面的法向量；运算法向量夹角；|n 1|n 2|回答二面角（空间想象二面角为锐角仍是钝角或借助于法向量的方向）需说明理由） ）,只需说明二面角大小,无5.6.距离问题（一般是求点面距离,线面距离,面面距离转化为点到面的距离）P 到平面的距离d|PA n|（其中 A 是平面内任一点, n 为平面的法向量）|n|立体几何解题一般步骤坐标法：建系（挑选两两垂直的直线,借助于已有的垂直关系构造）；写点坐标；写向量的坐标；向量运算；将向量形式的结果转化为最终结果；基底法：挑选一组基底（一般是共起点的三个向量）将向量形式的结果转化为最终结果；几何法： 作、证、求；将向量用基底表示；向量运算；异面直线夹角平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；线面角找准面的垂线,借助直角三角形的学问解决；二面角定义法作二面角,三垂线定理作二面角；作交线的垂面 . 选修 2-2 第一章导数及其应用yfx 0x fx 01.平均变化率xx2.导数（或瞬时变化率）fx 0lim x 0fx 0x fx 0x导函数 导数 ：fxlim x 0fxx ffx x3.导数的几何意义：函数y fx在点 x0处的导数x0就是曲线 yfx在点 x0,fx0处的切线的斜率,即 k fx0应用：求切线方程,分清所给点是否为切点4. 导数的运算：1 几种常见函数的导数： C 0C 为常数 ； x x1x0,Q ；sinx cosx； cosx sinx；ex e x；a x axlnaa0,且 a 1；lnx 1；logax x1aa0,且 a 1xln2 导数的运算法就： ux± vx ux± vx；uxvx uxvx uxvx；名师归纳总结 uxuxvx 2uxvxvx0 .第 4 页,共 7 页vx vx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.设函数u x 在点 x 处有导数ux ,函数yf u 在点 x 的对应点u 处有导数yufu, 就 复 合 函 数yf x 在 点 x 处 也 有 导 数 , 且y'xy' uu'x或fx f x ；复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数；6. 定积分的概念,几何意义 ,区边图形的面积的积分形式表示,留意确定上方函数,下方函数的选取,以及区间的分割 . 微积分基本定理a bf x dx F x | ba F b F a . 物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题；7. 函数的单调性（1）设函数 y f x 在某个区间（ a,b）可导,假如 f 'x 0,就 f x 在此区间上为增函数；'假如 f x 0,就 f x 在此区间上为减函数；'（2）假如在某区间内恒有 f x 0,就 f x 为常数；反之, 如已知可导函数 y f x 在某个区间上单调递增,就 f ' 0,且不恒为零；可导函数 y f x 在某个区间上单调递减,就 f ' 0,且不恒为零 . 求单调性的步骤：8.确定函数yf x 的定义域（不行或缺,否就易致错）；“ ,” 隔开,不解不等式f' 0或f' 0；确定并指出函数的单调区间（区间形式 ,不要写范畴形式） ,区间之间用能用“” 连结；极值与最值对于可导函数f x ,在 xa 处取得极值,就f' 0. 最值定理：连续函数在闭区间上肯定有最大最小值. 如f x 在开区间 , a b 有唯独的极值点,就是最值点；求极值步骤： 确定函数 y f x 的定义域（不行或缺,否就易致错）； 解不等式 f ' =0； 检验 f ' =0 的根的两侧的 f ' x 符号（ 一般通过列表 ）,判定极大值,微小值,仍是非极值点 . 求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某某就是最大或者最小；9.恒成立问题“f x af x maxa ” 和“f af x mina ” ,留意参数的取值中“ =” 能否取到；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 y13 x ,过P 2 ,8的切线方程为333 2例 2 设函数 f 2 x 3 ax 3 bx 8 c 在 x 1, x 2 处取得极值；（1）求 a b 的值；（2）如对于任意的 x 0,3,都有 f x c 成立,求 c 的取值范畴；2（答： 1a=-3,b=4;2 c , 1 9, ）例 3 设函数 f x 1x 3 2 ax 2 3 a 2x b 0, a 1 .3（1）求函数 f x 的单调区间、极值 . （ 2）如当 x a 1 , a 2 时,恒有 | f x | a,试确定 a 的取值范畴 . （答：（ 1）f x 在（ a, 3a）上单调递增,在（- , a）和（ 3a,+）上单调递减；x a 时,f 微小 b 4a 3,x 3 a时,f 微小 b（2） a 的取值范畴是 4,1）3 5其次章 推理与证明1. 分清概念：合情推理与演绎推理2. 综合法 分析法的步骤规范3. 反证法 步骤： 提出反设；推出冲突；确定结论4. 数学归纳法 步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤（最终肯定说明当 n=k+1 时,结论成立,依据（1）（2）,结论对于 n N 或者其他 成立,必不行少）例 1 用综合法和分析证明 2sin 2 sin1 cos例 2 已知 a b c 0,求证：ab bc ca 0例 3 数列 a n 中,a 1 1 , a n 1 3 a n,求 a 2 , a 3 , a 的值,由此猜想 a n 的通项公式,并证明；2 a n 3（答：a n 3）n 5第三章 数系的扩充与复数的引入1. 复数的概念 三种表示形式：代数形式：z a bi ,复平面内点 Za,b ,向量 OZ . 2. 区分实数,虚数,纯虚数,复数3. 复数的 四就运算及其几何意义4. 复数的模例 1 a bi c di （a b c d R ）的充要条件是 _ 例 2 设复数 z 满意条件 z ,1 那么 z 2 2 i 的最大值是（）（A）3 （ B）4 （C）1 2 2（D）2 3例 3 实数 m 为何值时,复数 z m 2 1i 8 m 15 i m 6m 5 m 5（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）对应点在其次象限 . 例 4已知z1i, ,b为实数（1）如2 z3 z4,求；（2）如z2azb1i,求 a , b2 zz1的值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页