2022年高中物理竞赛解题方法之降维法例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图,即应选两个合适的平面去观看,当遇到一个空间受力问题时, 将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解；由于三维问题不好想像,选取适当的角度,可用降维法求解；降维的优点是把不易观看的空间物理量的关系在二维图中表示出来,使我们很简洁找到各物理量之间的关系,从而正确解决问题；赛题精讲例 1：如图 131 所示,倾角 =30° 的粗糙斜面上放一物体,物体重为 G,静止在斜面上； 现用与斜面底边平行的力 F=G/2推该物体,物体恰好在斜面内做匀速直线运动,就物体与斜面间的动摩擦因数 等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析 ：物体在重力、 推力、 斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动,所以受力平稳； 但这四个力不在同一平面内, 不简洁看出它们之间的关系；我们把这些力分解在两个平面内,就可以将空间问题变为平面问题,使问题得到解决；将重力沿斜面、垂直于斜面分解；我们从上面、侧面观看,图 131甲、图 131乙所示；如图 131甲所示,推力F 与重力沿斜面的分力G1 的合力 F为：FF22 G 12G2F 的方向沿斜面对下与推力成 角,就tanG1145F这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F 平稳,即fF2G/2h 的光滑的螺旋所以摩擦因数：fG2 G/26F Ncos 303例 2：如图 132 所示,一个直径为D 的圆柱体,其侧面刻有螺距为形凹槽,槽内有一小球,为使小球能自由下落,必需要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？名师归纳总结 - - - - - - -解析： 将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽绽开成为平面上的斜槽,如图 132甲所示,当圆柱体转一周,相当于沿斜槽下降一个螺距h,当圆柱转n 周时,外侧面上一共移动的第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 水平距离为2Dn1at2优秀学习资料欢迎下载22nh1 gt 22圆弧槽内小球下降的高度为解、两式,可得,为使螺旋形槽内小球能自由下落,圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为 a Dgh例 3：如图 133 所示, 表面光滑的实心圆球 B 的半径 R=20cm,质量 M=20kg ,悬线长 L=30cm ；正方形物块 A 的厚度h=10cm,质量 m=2kg ,物体 A 与墙之间的动摩擦因数 =0.2,取 g=10m/s 2；求：（1）墙对物块 A 的摩擦力为多大？（2）假如要物体 A 上施加一个与墙平行的外力,使物体 A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度 a=5m/s 2 匀加速直线运动,那么这个外力大小方向如何？解析： 这里物体 A、B 所受的力也不在一个平面内,混起来考虑比较复杂,可以在垂直于墙的竖直平面内分析A、B 间压力和 A 对墙的压力； 在与墙面平行的平面内分析 A 物体沿墙水平运动时的受力情况；（1）通过受力分析可知墙对物块 A 的静摩擦力大小等于物块 A的重力；（2）由于物体 A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动,所以摩擦力沿水平方向,合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反；又由于物体受竖直向下的重力,所以推力 F 方向应斜向上；设物体 A 对墙的压力为 N,就沿垂直于墙的方向,物体 B 受到物体 A 的支持力大小也为 N,有 f N , 而 N Mg tan又由于 sin h R 3 所以 tan 3L R 5 4在与墙面平行的平面内,对物体 如图 13 3甲所示有F sin mgA 沿竖直方向做受力分析,名师归纳总结 F沿水平方向做受力分析,有20F cos,fma/得第 2 页,共 14 页由以上各式解mg2fma25N,aar c si n 5 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此, 对物体 A 施加的外力优秀学习资料欢迎下载A 水平F 的大小为 205 N,方向沿墙面斜向上且与物体运动方向的夹角为 arcsin 5 / 5 .例 4：一质量 m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平行长直圆柱上,如图 134 所示,钢件的重心与两柱等距,两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径 r=0.025m ,钢件与圆柱间的动摩擦因数 =0.20 ；两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动,角速度40 rad / s . 如沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为0 .0 050 m / s 的匀速运动, 求推力是多大？ （设钢件不发生横向运动）解析： 此题关键是搞清滑动摩擦力的方向,滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,由于钢件和圆柱都相对地面在运动,直接不易观看到相对地面在运动,直接不易观看到相对运动的方向,而且钢件的受力不在同一平面内,所以考虑“ 降维”,即选一个合适的角度观看；我们从上往上看,画出俯视图,如图 134甲所示；我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力,先分析相对运动的方向, 钢件有向前的速度 0,左边圆住有向右的速度 r ,就钢件相对于圆柱的速度是 0与 r 的矢量差,如图中v,即为钢件相对于圆柱的速度,所以滑动摩擦力 f 的方向与v,的方向相反,如图 13 4甲所示；以钢件为争论对象,在水平面上受到推力 F 和两个摩擦力 f 的作用,设 f 与圆柱轴线的夹角为 ,当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时,应有F2fcos2fv02f2 v 0v0r22N图 134乙v再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出FN,如图134乙所示,钢件受重力G 和两个向上的支持力FN,且G=2FN,v0所以把F NG,fFN代入式,得2推力F2FN2 v 0v0r22mgv22r20例 5：如图 135 所示,将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上,圆锥顶角为 ,设圆锥底面水平,链条静止时也水平,求链条内的张力；解析： 要求张力,应在链条上取一段质量元m 进行争论；由于该问题是三维问题,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载各力不在同一平面内,所以用“ 降维法” 作出不同角度的平面图进行争论；作出俯视图 135甲, 设质量元 m 两端所受张力为 T,其合力为 F,由于它所对的圆心角 很小,所以 F 2T sin,即 F=T ；2再作出正视图 13 5乙,质量元受重力 m g、支持力 N 和张力的合力 F 而处于平衡状态,由几何学问可得：F mg cot Mg cot2 2 2所 以 链 条 内 的 张 力TFMgcot222例 6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁；演员骑摩托车从底部开头运动, 随着速度增加, 圈子越兜越大, 最终在竖直圆筒壁上匀速率行驶,如图13v,每6 所示；假如演员和摩托车的总质量为M ,直壁半径为R,匀速率行驶的速率为绕一周上升的距离为h,求摩托车匀速走壁时的向心力；解析： 摩托车的运动速度v,可分解为水平速度v1 和竖直分速度为v2,就向心力速度为a2 v 1 ；处理这个问题的关键是将螺旋线绽开为R一个斜面,其倾角的余弦为cos a22Rh2,如图136甲R 2所示；所以有v 1vcos 22Rh2vB、C 两球各被一长为L=2.00mR 2向心加速度为：av2 1v222Rh22RRR 2向心力FMaMv2 442Rh222 R例 7：A、B、C 为三个完全相同的表面光滑的小球,的不行伸和的轻线悬挂于天花板上,两球刚好接触,以接触点O 为原点作始终角坐标系名师归纳总结 Oxyz,z轴竖直向上, Ox 与两球的连心线重合,如图13 7 所示；今让A 球射向 B、C 两第 4 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载球,并与两球同时发生碰撞；碰撞前,A 球速度方向沿 y 轴正方向, 速率为 vA 0 .4 00 m / s；相碰后, A 球沿 y 轴负方向反弹,速率 v =0.40m/s；（1）求 B、C 两球被碰后偏离 O 点的最大位移量；（2）争论长时间内 B、C 两球的运动情形； （忽视空气阻力,取 g=10m/s 2）解析：（1） A、 B、C 三球在碰撞前、后的运动发生在 Oxy 平面内,设刚碰完后, A 的速度大小为 v ,B、C 两球的速度分别为 v 与v ,在 x 方向和 y 方向的分速度的大小分别为 v Bx,v By 和 v Cx , v Cy,如图 13 7甲所示,由动量守恒定律,有 mv Cx mv Bx 0 mv Ax mv By mv Cy mv A 由于球面是光滑的,在碰撞过程中, A 球对 B 球的作用力方向沿 A、B 两球的连心线,A 球对 C 球的作用力方向沿A、C 两球的连心线,由几何关系,得vBxvBytan6vCy1 . 27 m/s图 137 甲vCxvCytan6由对称关系可知vBx解、式可得vBxvCyv BxvCy2 . 20 m/s.2 54m/s由此解得vBxv Cy设 C 球在 x>0, y>0, z>0 的空间中的最大位移为守恒定律可写出1mv2m g z QC2OQQ 点的 z 坐标为 zQ,就由机械能名师归纳总结 所以z Q2 v C代入数值解得zQ=0.32m 2z Q2Lz Q第 5 页,共 14 页2g而 Q 点到 Oz轴的距离为QD2 LLz Q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料0欢迎下载所以 C 球离 O 点的最大位移量OQ2 z QOD22Lz Q代入数值,得OQ1. 13 m的空间的最大位移量OP 为由对称性,可得B 球在x0,y0,zOPOQ.1 13 m（2）当 B、C 两球各达到最大位移后,便做回到原点的摇摆,并发生两球间的碰撞,两球第一次返回 O 点碰撞前速度的大小和方向分别为vBx 1 . 27 m / s 方向沿正 x 轴方向v By =2.20m/s 方向沿 y 轴方向vCx 1 . 27 m / s 方向沿正 x 轴方向v Cy =2.20m/s 方向沿 y 轴方向设碰撞后的速度分别为 v 和 B 1 v C 1,对应的分速度的大小分别为 v 1、v B 1、v 1和v 1,由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿 x 轴方向,故碰撞后,沿 y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（由于小球都是光滑的）,即v 1 = v By 方向沿负 y 轴方向 v 1 = v Cy 方向沿负 y 轴方向 碰撞过程中,沿 x 轴方向的动量守恒,就 mv C 1 x mv B 1 x mv Bx mv Cx由于 v Bx v Cx 所以 v C 1 x v B 1 x即碰撞后两球在 x 方向的分速度大小也相等,方向相反,详细数值取决于碰撞过程中是否机械能缺失；在 A 球与 B、C 两球同时碰撞的过程中,碰撞前,三者的机械能1 2E 1 mv AD 8 m 碰撞后三者的机械能21 2 1 2 1 2E 2 mv A mv B mv C 6 . 59 m E 2 E 12 2 2说明在碰撞过程中有机械能缺失,小球的材料不是完全弹性体,故 B、C 两球在碰撞过程中也有机械能缺失,即名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1m v21Xv2Y1mv2优秀学习资料m 欢迎下载2Y11v2X1v2XvBB 1C 1XC 1BB222由、和11三式,和v B 1XvC 1xvBxv Cx12或vB 1v C 1vBvC当 B、C 两球其次次返回O 点时,两球发生其次次碰撞,设碰撞后两球的速度分别为v 和 2v C2,对应的分速度的大小分别为v B2X,vB2y,v C2x和v C2y,就有vB2yv C2yvB 1yv C 1yv B1xv C 1yvB 2xv C2x或vB2vB 1v C2v C1由此可见, B、 C 两球每经过一次碰撞,沿x 方向的分速度都要变小,即vBXv CxvB 1xv C1xvB 2xvC2xv B3xvC 3x 而 y 方向的分速度的大小保持不变,即v B y v Cy v B 1 y v C 1 y v B 2 y v C 2 y v B 3 t v C 3 y 当两球反复碰撞足够多次数后,沿 x 方向的分速度为零,只有 y 方向的分速度；设足够多的次数为 n,就有 v B nx v C nx 013v B n y v C n y v B y 2 . 20 m / s14即最终, B、C 两球一起的 Oyz 平面内摇摆,经过最低点 O 的速度由14式给出,设最2高点的 z 轴坐标为 z Qn,就 1mv Cny 2mgz Qn 得 z Qn v Cny2 2 g代入数值,得 zQn 0 . 24 m15最高点的 y 坐标由下式给出：y Qn L 2 L z Qn 2 2 L z Qn z Qn代入数值,得：yQn 0 . 95 m16例 8：一半径 R=1.00m 的水平光滑圆桌面,圆心为 O,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心邻近,立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线 C,如图 138 所示； 一根不行伸长的松软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上某一点,另一端系一质量为 m=7.5× 102kg 的小物块；将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小物块一个方向与绳垂名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直、大小为v 04 0.m/s优秀学习资料欢迎下载的初速度,物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上；已知当绳的张力为 T 0=2.0N 时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动；（1）问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少？（2）如绳刚要断开时,桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少？已知桌面高度H=0.80m ,物块在桌面上运动时未与立柱相碰；取重力加速度大小为 10m/s 2；解析：（1）这一问题比较简洁；绳断开前,绳的张力即为物块所受的向心力,由于初速度与绳垂直,所以绳的张力只转变物块的速度方向,而速度大小不变,绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度可求出；设绳的伸直部分长为x,就由牛顿其次定律得：T 0m2 v 0x代入已知数值得：x=0.60m （2）选取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析平面上,然后由平抛运动的学问求解； 如图 138甲所示, 设绳刚要断开时物块位于桌面上的 P 点,并用 A 点表示物块离开桌面时的位置, 先取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析平面上,其位置用 D 点表示,易知 D点应在直线 PA 的延长线上, OD 即等于物块落地点与桌面圆心 O 的水平距离,而 AD 等于物块离开桌面后做平抛运动的水平射程；即 AD v 0 2 H故 OD x 2 R 2x 2v 0 2 H 2g g代入已知数值得物块落地点到桌面圆心 O 的水平距离 OD .2 47 m例 9：如图 139 所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球 m 固定在边长为 L ,质量可忽视不计的等边三角形的顶点 A 上；它的对边 BC 跟竖直线成不大的夹角,摆球可以绕固定轴 BC 摇摆；求摆做微小振动的周期；解析： 如 m做微小振动, 就其轨迹肯定在过 A点,垂直于 BC 的平面内的以 O 为圆心, OA 为半径的圆弧上；因此我名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载们可以作一个过 A 点垂直于 BC 的平面 M ,如图 139甲所示, 将重力 mg 沿 M 平面和垂直于 M 平面方向分解,就在平面 M 内,m 的振动等效于一个只在重力 m g mg sin作用下简谐运动,摆长 L L sin 60 3L .2所以周期 T 2 L2 3 Lg 2 g sin例 10：六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环,六个结点依次为 1、2、3、4、5 和 6,如图 1310 所示；现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为D 1、D2、 、 D 5；现将 D 1 的 1、3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,如图 1310甲所示；然后将 D 2 的 1、 3、5 三点分别与 D 3 的 2、4、6 三点用导线连接 依次类推,最终将 D5的 1、3、5 三点分别连接到 D 4 的 2、4、6 三点上；证明：全部接好后,在 D1上的 1、3、两点间的等效是电阻为724R；R 的导627解析： 由于连接电阻线,连接环 D 之间的导线均不计电阻,因此,可转变环的半径,使五个环的大小满意：D1<D 2<<D 5. 将图 1310甲所示的圆柱形网络变成圆台形网络,在沿与底面垂直的方向将此圆台名师归纳总结 - - - - - - -形网络压缩成一个平面,如图1310乙所示的平面电路图；现将圆形电阻环变成三角形,1、 3、5 三点为三角形的顶点,2、 4、6 三点为三角形三边的中点,图1310乙又变为如图1310丙所示电路图；不难发觉,图1310丙所示的电路相对虚直线3、6 具有左右对称性；第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载可以用多种解法求；如将电路等效为图 1310丁；A 1B 1以内的电阻RA 1B 14R5A 2B2以内的电阻R A 2B 2R A 1B 12R RR52RR2 R RR A 1B114 19RR A 2B22R A 3B 3以内的电阻R A 3B 3R A 2B22 R R71A 4B4以内的电阻2 R R194R A4B4R A 3B 3R A 3B 32R R265A 5B5以内的电阻R A5B5R A4B 42R R724RRA 4B 42R R627即为 D 1 环上 1、3 两点间的等效电阻；例 11：如图 1311 所示,用 12 根阻值均为 求 AG 两点间的等效电阻；r 的相同的电阻丝构成正立方体框架；试解析： 该电路是立体电路,我们可以将该立体电路“ 压扁”,使其变成平面电路,如图 1311甲所示；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1311乙m=0.2kg ,半径考虑到 D、E、 B 三点等势, C、F、H 三点等势,就电路图可等效为如图所示的电路图,所以AG 间总电阻为Rrrr5r3636例 12：如图 1312 所示,倾角为 的斜面上放一木制圆制,其质量为 r,长度 L=0.1m ,圆柱上顺着轴线 线圈,线圈平面与斜面平 行,斜面处于竖直向上的匀 强 磁 场 中 , 磁 感 应 强 度B=0.5T ,当通入多大电流 时,圆柱才不致往下滚动？解析：要精确地表达各 物理量之间的关系, 最好画 出正视图, 问题就比较简洁求解了；OO 绕有 N=10 匝的如图 13 12甲所示,磁场力 Fm 对线圈的力矩为M B=NBIL ·2r·sin ,重力对D 点的力矩为：M G=mgsin ,平稳时有： M B=M G就可解得：I mg 1 . 96 A NBL 2 例 13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图 1313 所 示,每段电阻丝的电阻均为 r,试求 A、B 间的等效电阻 RAB；解析 ：设想电流 A 点流入, 从 B 点流出, 由对称性可 知,网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势,故可 撤去这根电阻丝, 而把空间网络等效为图 13 13甲所示 的电路；（1）其中竖直线电阻 rr 并 分别为两个 r 串联和一个 联 后 的 电 阻 值 , 所 以r2rr2rr,此3 r3横线每根电阻仍为时将立体网络变成平面网络；（2）由于此网络具有左名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载1313右对称性,所以以AB 为轴对折,此时网络变为如图13 13乙所示的网络；其中横线每根电阻为r 1r,竖线每根电阻为rrr223AB 对应那根的电阻为r2r,此时由左右无限大变为右边无限大；3（3）设其次个网络的结点为CD ,此后均有相同的网络,去掉 AB 时电路为图丙所示；再设RCD=Rn 1（不包含 CD 所对应的竖线电阻）就R ABR N,网络如图1313丁所示；此时R n2 r 1rrR n112rrR n1rrrR n113 rR n2R n13R n3当 n时, Rn=R n1 上式变为R nrrrRnr24 rRn3 R nr3 R n由此解得：Rn3621 rr即RAB3621 rr补上 AB 竖线对应的电阻2r,网络变为如图1313戊所示的电路；r221r3RAB2rRAB23621r22 321r23213 23rRAB2 3r3621r2132121213 213例 14：设在地面上方的真空室内,存在匀强电场和匀强磁场,已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0V/m ,磁感应强度的大小B=0.15T ,今有一个带负电的质点以v=20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m 以及磁场的全部可能方向（角度可用反三角函数表） ；名师归纳总结 解析：由于带负电的质点做匀速直线运动,说明此质点所受的第 12 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载合外力为零；又由于电场强度和磁感应强度的方向相同,所以该带电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面,且必受重力作用,否就所受合外力不行能为零,设质点速度方向垂直纸面对里；由此该带电质点的受力图如图1314 所示；由平稳条件有有水平方向：EqcosBqvsin在竖直方向：mgEqsinBqvcos解得：tan44 ar c t an3q/m=2 3同理,当质点速度方向垂直纸面对外时受力情形如图1314甲,由平稳条件可解出 值与上式解出的一样,只是与纸平面的夹角不同,故此带电质点的电量与质量之比为 2；磁场的全部可能方向与水平方向的夹角都是arctan4或tan433针对训练1如图 13 15 所示,一个重 1000N 的物体放在倾角为 30° 的斜面上,物体与斜面间的摩擦系数 为 1/3；今有一个与斜面最大倾斜线成 30° 角的力 F 作用于物体上,使物体在斜面上保持静止,求力 F 的大小；2斜面倾角 =37° ,斜面长为 0.8m,宽为 0.6m,如图 13 16 所示；质量为 2kg 的木块与斜面间的动摩擦因数为 =0.5,在平行于斜面方向的恒力 F 的作用下,沿斜面对角线从 A 点运动到 B 点（ g=10m/s 2,sin37° =0.6）；求：（1）力 F 的最小值是多大？（2）力 F 取最小值时木块的加速度；3质量为 0.8kg 的长方形木块静止在倾角为 30° 的斜面上,如用平行于斜面沿水平方向大小等于 3N 的力推物体, 它仍保持静止,如图 1317 所示,就木块所受摩擦力大小为,方向为；4如图 13 18,四周体框架由电阻同为 AB 间的等效电阻；R 的 6 个电阻连接而成,试求任意两个顶点名师归纳总结 5如图 1319 所示三棱柱由电阻同为R 的电阻线连接而成,试求AB 两个顶点间的第 13 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载等效电阻；6将同种材料粗细匀称的电阻丝连接成立方体的外形,如图 1320 所示,每段电阻丝电阻均为 r；试求：（1）AB 两点间等效电阻 RAG；（2）AD 两点间等效电阻 RAD；参考答案名师归纳总结 10.288 ×103NF0.577 ×103N 53 °第 14 页,共 14 页217.2N 2（2）0.8m/s35N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为4RABR25RAB4R96（1）R AG5r（2）RAD7r612- - 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