概率论与数理统计 .ppt

概率论与数理统计概率论与数理统计 现在学习的是第1页，共12页3.4 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布，同上一章已经讨论过一维随机变量函数的分布，同样，我们可以讨论二维随机变量函数的分布样，我们可以讨论二维随机变量函数的分布一、问题的提法一、问题的提法 设设 是是n维随机变量，其联合分布已知维随机变量，其联合分布已知 ，是是n元实连续函数，则元实连续函数，则 的分布称为的分布称为 函数的分布函数的分布 需要注意的是，需要注意的是，n维随机变量函数形成的随机变量仍维随机变量函数形成的随机变量仍然是一维随机变量，这里我们主要讨论二维随机变量函数然是一维随机变量，这里我们主要讨论二维随机变量函数的分布问题，解决这类问题的关键是掌握其基本思想方法的分布问题，解决这类问题的关键是掌握其基本思想方法现在学习的是第2页，共12页二、二维随机变量函数的分布二、二维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 若若X与与Y相互独立，且相互独立，且 ,，则，则 这种性质称为这种性质称为可加性可加性，因此泊松分布具有，因此泊松分布具有可加性类似地，二项分布也具有可加性可加性类似地，二项分布也具有可加性.若若 相互独相互独立，则立，则 现在学习的是第3页，共12页2.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 设设 为联合概率密度函数，当为联合概率密度函数，当 是连续函数时，则是连续函数时，则 的概率密度函数的概率密度函数 可如下获取：可如下获取：第一步：求出第一步：求出 .对任意对任意 ，第二步：根据上式，利用分布函数与概率密第二步：根据上式，利用分布函数与概率密度的关系，或对度的关系，或对 求导，即可得到求导，即可得到 上述做法就是求二维随机变量函数分布上述做法就是求二维随机变量函数分布的一般方法，应充分理解和熟练掌握的一般方法，应充分理解和熟练掌握现在学习的是第4页，共12页 下面讨论几个具体的随机变量函数的分下面讨论几个具体的随机变量函数的分布：设是二维连续型随机变量，是其联合布：设是二维连续型随机变量，是其联合概率密度函数概率密度函数.图图3.6Dz（1）和的分布）和的分布 求求 的概率密度函数对于任的概率密度函数对于任意的实数意的实数Z，根据定义，由（，根据定义，由（311）有）有yx图3.6Dz现在学习的是第5页，共12页对固定的对固定的z和和y，先作变换，先作变换 由连续型随机变量概率密度函数的定义可得由连续型随机变量概率密度函数的定义可得 （327）同理同理 （328）特别当与相互独立时，特别当与相互独立时，于是，于是 现在学习的是第6页，共12页 （329）（330）定理定理3.5 若若X与与Y相互独立，且相互独立，且 ，则，则 （331）更进一步，还有更进一步，还有推论推论1 若若 ,相互独立且相互独立且，i=1,2,n，则，则 （332）由于正态随机变量的线性函数是正态随机变由于正态随机变量的线性函数是正态随机变量，因而我们还有量，因而我们还有 现在学习的是第7页，共12页推论推论2 相互独立的正态随机变量的线性组合相互独立的正态随机变量的线性组合仍然是正态随机变量仍然是正态随机变量（2）商的分布商的分布 求求 （Y0）的概率密度函数）的概率密度函数 对于任意的实数对于任意的实数z，根据定义，根据定义2.8，由（，由（311）有）有 现在学习的是第8页，共12页对固定的对固定的y和和z，先作变换，先作变换 ，则有，则有，所以所以 （333）若若X与与Y相互独立，则相互独立，则 （334）图3.7o现在学习的是第9页，共12页 类似可以求得类似可以求得 的概率密度函数为的概率密度函数为.（请读者自己证明）（请读者自己证明）（3）.随机变量最大值和最小值的分布随机变量最大值和最小值的分布 设设 的联合分布函数为的联合分布函数为 ，与的，与的边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为 、.若若X与与Y相相互独立，求互独立，求 及及 的分布函数的分布函数 由于由于 等价于等价于 且且 ，因此，因此,对于任意的实数对于任意的实数z，,即即 （335）现在学习的是第10页，共12页 类似地，由类似地，由 z 等价于等价于 且且 可得可得 ，即即 （336）更一般地，设更一般地，设 ,相互独立，它们的相互独立，它们的分布函数分别是分布函数分别是 ，则，则 的分布函数为的分布函数为 ,的分布函数为的分布函数为 现在学习的是第11页，共12页进而，若诸进而，若诸 的分布相同的分布相同,分布函数为分布函数为，则，则 现在学习的是第12页，共12页