北京市西城区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案.pdf

北京市西城区 2017 年高三年级统一测试数学（理科）2017.4第卷第卷（选择题共 40 分）一、选择题：一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集U R R，集合A x|x 2，B x|x 0，那么A（A）x|0 x 2（C）x|x 02在复平面内，复数（A）第一象限（C）第三象限（B）x|0 x 2（D）x|x 2UB i的对应点位于1i（B）第二象限（D）第四象限223函数f(x)sin xcos x的最小正周期是（A）2（B）（C）32（D）2x4函数f(x)2 log2|x|的零点个数为（A）0（B）1 （C）2（D）35在ABC中，点D满足BC 3BD，则（A）AD 2 1ABAC33（B）AD 2 1ABAC331 2（C）AD ABAC331 2（D）AD ABAC336在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为 1，那么该四面体最长棱的棱长为（A）2 5（B）4 2（C）6（D）4 31/117数列an的通项公式为an|nc|(nN N*)则“c1”是“an为递增数列”的（A）充分而不必要条件（C）充要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件8将五个 1，五个 2，五个 3，五个 4，五个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过 2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m，则m的最大值为（A）8（B）9（C）10（D）11第卷第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在(1 2x)5的展开式中，x2的系数为_（用数字作答）10设等比数列an的前n项和为Sn若a13，S29，则an_；Sn_11执行如右图所示的程序框图，输出的S值为_x cos,12 曲线（为参数）与直线x y 1 0相交于A,B两点，y 1sin则|AB|_13 实数a,b满足0 a2，b1 若ba2，则14 如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动平面区域W由所有满足A1P5的点P组成，则W的面积是_；四面体P A1BC的体积的最大值是_b的取值范围是_a2/11三、解答题：三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 13 分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且atanC 2csin A（）求角C的大小；（）求sin Asin B的取值范围16（本小题满分 14 分）如图，在正四棱锥P ABCD中，PA AB，E，F分别为PB，PD的中点（）求证：AC 平面PBD；（）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（）若平面AEF与棱PC交于点M，求17（本小题满分 13 分）在测试中，客观题难度的计算公式为Pi参加测试的总人数现对某校高三年级 240名学生进行一次测试，共5道客观题 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号考前预估难度Pi10.920.830.740.650.4PM的值PCRi，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为N测试后，随机抽取了 20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号实测答对人数11621631441454（）根据题中数据，估计这 240名学生中第 5题的实测答对人数；（）从抽样的 20名学生中随机抽取 2名学生，记这 2名学生中第 5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设Pi为第i题的实测难度，请用Pi和Pi设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理3/1118（本小题满分 13 分）已知函数f(x)exx2设l为曲线y f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线，其中x01,1（）求直线l的方程（用x0表示）；（）设O为原点，直线x1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求AOB的面积的最小值19（本小题满分 14 分）12x2y21如图，已知椭圆C:221(a b 0)的离心率为，F为椭圆C的右焦点A(a,0)，ab2|AF|3（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M直线OM与直线x 4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x 4交于点E求证：ODF OEF20（本小题满分 13 分）如图，将数字1,2,3,入的数字依次为a1,a2,n,2n(n3)全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字第一行填,an，第二行填入的数字依次为b1,b2,bn|anbn|记Sn|aibi|a1b1|a2b2|i1（）当n 3时，若a11，a23，a35，写出S3的所有可能的取值；（）给定正整数n试给出a1,a2,都只有一个取值，并求出此时Sn的值；（）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同,an的一组取值，使得无论b1,b2,bn填写的顺序如何，Sn4/11北京市西城区 2017 年高三年级统一测试高三数学（理科）（理科）参考答案及评分标准2017.42017.4一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分.1A2A3B4C5D6C7A8C二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.9401032n1；3(2n1)1161412213,214；432注：第注：第 1010，1414 题第一空题第一空 2 2 分，第二空分，第二空 3 3 分分.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15（本小题满分 13 分）解：（）由atanC 2csin A，得asinC 2sin A 1 分c cosCsin A sinC 2sin A 3 分sinC cosC由正弦定理得所以cosC 1 4 分2因为C(0,)，5 分所以C 6 分32（）sin AsinB sin Asin(A)7 分333sin Acos A 8 分223sin(A)9 分62因为C，所以0 A，10 分335所以 A，11 分6661所以 sin(A)1，12 分26所以sin Asin B的取值范围是(3,313 分25/1116（本小题满分 14 分）解：（）设ACBD O，则O为底面正方形ABCD中心连接PO因为P ABCD为正四棱锥，所以PO 平面ABCD 1 分所以PO AC 2 分又BD AC，且POBD O，3 分所以AC 平面PBD 4 分（）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O-xyz 5 分因为PB AB，所以RtPOB Rt AOB所以OA OP 6 分设OA 2所以A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,1,1)所以AE (2,1,1)，PC (2,0,2)7 分所以|cosAE,PC|AE PC|AE|PC|363 9 分6即 异面直线PC与AE所成角的余弦值为（）连接AM设 PM，其中0,1，则PM PC (2,0,2)，10 分PC 所以AM AP PM (22,0,2 2)设平面AEMF的法向量为n n (x,y,z)，又AF (2,1,1)，所以n n AE 0,n n AF 0,2x y z 0,即2x y z 0.所以y 0令x 1，z 2，所以n n (1,0,2)12 分因为AM 平面AEF，所以n n AM 0，13 分即22 2(2 2)0，1PM114 分解得，所以3PC3 6/1117（本小题满分 13 分）解：（）因为20人中答对第 5题的人数为 4人，因此第 5题的实测难度为40.2 2 分20所以，估计 240人中有2400.2 48人实测答对第 5题 3 分（）X的可能取值是 0，1，2 4 分21C16C1C21232316C4；P(X 1)2；P(X 2)24 7 分P(X 0)295C2019C20C2095X的分布列为：X01219132952395P 8 分EX 0123233810 分1219959595（）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为 240名学生第i题的实测难度122 P P定义统计量S(P11)(P22)n2 P(Pni为第i题的预估难度并规n)，其中P定：若S 0.05，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理 11 分1S(0.8 0.9)2(0.8 0.8)2(0.7 0.7)2(0.7 0.6)2(0.2 0.4)25 0.01212 分因为S 0.012 0.05，所以，该次测试的难度预估是合理的13 分注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断如“预估难度与实测难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的平均值”等，学生只要言之合理即可18（本小题满分 13 分）解：（）对f(x)求导数，得f(x)ex x，1 分x所以切线l的斜率为f(x0)e0 x0，2 分12由此得切线l的方程为：y(ex0 x0)(ex0 x0)(x x0)，212即y (ex0 x0)x(1 x0)ex0 x0.4 分27/11（）依题意，切线方程中令x 1，121得y (ex0 x0)(1 x0)ex0 x0(2 x0)(ex0 x0).5 分22所以A(1,y)，B(1,0).1所以SAOB|OB|y|211|(2 x0)(ex0 x0)|2211|(1x0)(ex0 x0)|，x01,1.7 分2211设g(x)(1x)(exx)，x1,1.8 分2211111则g(x)(exx)(1x)(ex)(x1)(ex1).10 分22222令g(x)0，得x 0或x 1g(x)，g(x)的变化情况如下表：x1(1,0)00(0,1)1g(x)g(x)3 11()2 2e111(e)22所以g(x)在(1,0)单调递减；在(0,1)单调递增，12 分所以g(x)min g(0)1，从而 AOB的面积的最小值为 113 分19（本小题满分 14 分）解：（）设椭圆C的半焦距为c依题意，得c1，a c 3 2 分a2解得a 2，c 1所以b2 a2c23，x2y2所以椭圆C的方程是1 4 分43（）解法一：由（）得A(2,0)设AP的中点M(x0,y0)，P(x1,y1)设直线AP的方程为：y k(x 2)(k 0)，将其代入椭圆方程，整理得(4k23)x216k2x16k2120，6 分8/1116k2所以2 x12 7 分4k 38k26k所以x02，y0 k(x0 2)2，4k 34k 38k26k,2)8 分即M(24k 3 4k 36k24k 3 3，9 分所以直线OM的斜率是8k24k24k 3所以直线OM的方程是y 33x令x 4，得D(4,)10 分k4k4k4k，所以EF OM，记垂足为H；413直线OE的方程是y kx令x 4，得E(4,4k)11 分由F(1,0)，得直线EF的斜率是31因为直线DF的斜率是k，所以DF OE，记垂足为G13 分41k在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都与EOD互余，所以ODF OEF14 分解法二：由（）得A(2,0)设P(x1,y1)(x1 2)，其中3x12 4y1212 0因为AP的中点为M，所以M(所以直线OM的斜率是kOMx1 2 y1,)6 分22y1，7 分x12所以直线OM的方程是y y14y1x令x4，得D(4,)8 分x1 2x1 2直线OE的方程是y y14y1x令x 4，得E(4,)9 分x1 2x1 24y1，10 分3(x1 2)由F(1,0)，得直线EF的斜率是kEF因为kEFkOM4y1y14y12 1，23(x1 2)x123(x14)所以EF OM，记垂足为H；12 分9/11同理可得kDFkOE4y1y14y12 1，3(x12)x1 23(x124)所以DF OE，记垂足为G13 分在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都与EOD互余，所以ODF OEF14 分20（本小题满分 13 分）解：（）S3的所有可能的取值为 3，5，7，9.3 分（）令aii(i 1,2,n)，则无论b1,b2,bn填写的顺序如何，都有Sn n2 5 分因为aii，所以bin1,n2,因为aibi(i 1,2,n,2n，(i 1,2,n)6 分,n)，nnn所以Sn|aibi|(biai)biaii1i1i1i1in1ii ni12nn2 8 分注：a1,a2,an1,2,n，或a1,a2,ann1,n2,2n均满足条件（）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变不妨设ai bi，记Aai，B bi，其中i 1,2,i1i1nnnnnn,n则Sn|aibi|(aibi)aibi AB 9 分i1i1i1i12n因为A B i i12n(2n1)n(2n1)，2所以A B与n具有相同的奇偶性11 分又因为A B与AB具有相同的奇偶性，所以Sn AB与n的奇偶性相同，所以Sn的所有可能取值的奇偶性相同13 分10/11解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变|aibi|，不妨设考虑如下表所示的任意两种不同的填法，Sn|aibi|，Sni1i1nnai bi，ai bi，其中i 1,2,n 9 分a1a2ana1a2anb1nb2nbnnb1nb2nnbn(bi ai)(bi ai)(bibi)(aiai)Sn Sni1i1i1i1i1i1对于任意k 1,2,2n，若在两种填法中k都位于同一行，的表达式中或者只出现在bibi中，或只出现在aiai中，且则k在Sn Sni1i1i1i1nnnn出现两次，的结果中得到2k11 分则对k而言，在SnSn 若在两种填法中k位于不同行，的表达式中在bibi与aiai中各出现一次，则k在Sn Sni1i1i1i1nnnn的结果中得到0则对k而言，在Sn Sn由 得，对于任意k 1,2,必为偶数,2n，Sn Sn所以，对于表格的所有不同的填法，Sn所有可能取值的奇偶性相同13 分11/11