2021年清华大一高数第一学期期末试题1.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -一.填空题 ( 此题共 5 小题，每道题 4 分，共 20 分).12lim (cos x) x（ 1）x0= .x（ 2）曲线 yx lnx 上与直线xy10 平行的切线方程为 .（ 3）已知f(e x ) x 2yxe，且f (1)0 、 就f ( x) .（ 4）曲线3x1 的斜渐近线方程为 .y2 y5(x1)2（ 5）微分方程x1的通解为 .二.挑选题 ( 此题共 5 小题，每道题4 分，共 20 分).（ 1）以下积分结果正确选项（）11 dx011dx2(A) 1 x(B)41 dx1 x211dx(C) 1x(D) x（ 2）函数f (x) 在 a、b内有定义，其导数f '( x) 的图形如图1-1 所示，就（） .(A) x1 、 x2 都为极值点 .y(B) x1、f (x1 ) 、x2 、f ( x2 )都为拐点 .yf( x )(C) x1 为极值点 .，x2 、f ( x2 )为拐点 .(D) x1、 f(x1 )为拐点，x 2 为极值点 .ax1图 1-1yC exC e 2xxexOx 2bx（ 3）函数12满意的一个微分方程为（） .（ A ） yy（ C） yy2 y3xex .2 y3 xex .（ B） yy（ D） yy2 y3ex .2 y3ex .limfx0fx0h（ 4）设f ( x) 在x0 处可导，就h0h为（） .(A) fx0.(B)fx0.(C) 0.(D) 不存在.（ 5）以下等式中正确的结果为（） .(A)f (x)dx)f (x).(B)df (x)f (x).d(C)f ( x)dxf (x).(D)f ( x) dxf ( x).算题（此题共4 小题，每道题6 分，共 24 分） .lim (x1)1求极限x1x1ln x.2.方程x ln sin ty costdyt sin t 确定 y为 x 的函数，求dx 与d2 ydx2 .3.3.运算不定积分arctanx (1x dxx).第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -304.运算定积分1xdx1x.四.解答题（此题共4 小题，共29 分） .1（此题 6 分）解微分方程y2 x5 y6 yxe2（此题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1 ），桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R ，水的密度为，运算桶的一端面上所受的压力3. （此题 8 分）设bf ( x)在 a、 b 上有连续的导数，f (a )f (b)0 ，且b2f( x) dx1a，试求axf ( x) f( x) dx.4. （此题8 分）过坐标原点作曲线面图形 D.(1) (1)求 D 的面积 A;ylnx 的切线，该切线与曲线ylnx 及 x 轴围成平(2) (2)求 D 绕直线 xe 旋转一周所得旋转体的体积V.五.证明题（此题共1 小题，共7 分） .x1. 证明对于任意的实数x ， e1x .一.填空题 ( 此题共 5 小题，每道题 4 分，共 20 分).211lim (cos x) x（1） x0= e .（2）曲线 yx lnx 上与直线xy10 平行的切线方程为 y1x1 .2f(e x )xe xf (1)0f ( x)f ( x)(ln x)（3）已知，且2、 就 2 .y（4）曲线xy3x1 的斜渐近线方程为 1 x1 .39y2 y5(x1)2y2 ( x71)2C ( x1)2 .（5）微分方程x1的通解为 3二.挑选题 ( 此题共 5 小题，每道题 4 分，共 20 分).（1）以下积分结果正确选项（D）11 dx011dx2(A) 1 x(B)41 dx1 x211dx(C)1x(D)x（2）函数f (x) 在 a、 b 内有定义，其导数f '( x) 的图形如图1-1 所示，就（D） .(A) x1 、 x2 都为极值点 .(B) x1 、f ( x1 ) 、x2 、f (x2 )都为拐点 .y(C) x1 为极值点 .，x2 、f ( x2 )为拐点 .yf( x )(D) x1、f ( x1)为拐点，x2 为极值点 .ax1O图 1-x 2bx第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -yC exC e 2xxex（3）函数12满意的一个微分方程为（D） .（ A ） yy（ C） yy2 y3xex .2 y3xex .（ B） yy（ D） yy2 y3ex .2 y3ex .xlimfx0fx0h（4）设f ( x) 在0 处可导，就h0h为（A） .(A) fx0.(B)fx0.(C) 0.(D) 不存在.（5）以下等式中正确的结果为（A） .(A)f (x)dx)f (x).(B)df (x)f ( x).d(C)f ( x) dxf (x).(D)f ( x)dxf ( x).三.运算题（此题共4 小题，每道题6 分，共 24 分） .lim (x1)1求极限x1x1ln x.lim (x1)limx ln xx1解x1x1ln xx 1=lim(xln x1) ln x-1 分x1 x1=xln x-2 分limx ln x=x1 x1xln x-1 分lim1ln x1=x1 1ln x12-2 分2.方程x ln sin ty costdyy (t )dy t sin t 确定 y为 x 的函数，求dxt sin t 、d 2 y2与 dx.解dxd 2 yx (t)(t sin t)-（ 3 分）dx2x (t )sin t tan tarctant sin t.xdx-（ 6 分）4.4.运算不定积分x (1x).解： arctanxdx2arctanxdx2分x (1x)(1=2arctanx)xd arctanx2 分= （arctanx）2C2分304.运算定积分1xdx1x.第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3解0 1分）xdx1x3 33 x(101x) dx x3(110x )dx-（ 3（或令32 (131xx) 2503t ）- -（ 6 分）.四.解答题（此题共4 小题，共29 分） .1（此题 6 分）解微分方程y5 y6 yxe 2x解：特点方程r 2 -5 r601分特点解 r12、 r23.1分次方程的通解Y = Ce2xC e3x .1分12令分*2 xyx(b0 xb1 )e1代入解得 b1 ， b1.012所以 y*1x(x21)e2 x1分所以所求通解yC e2 xC e3 x12x1分12x(x21)e.2（此题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-1 ），桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R ，水的比重为，运算桶的一端面上所受的压力解：建立坐标系如图RP2gxR2x2 dx4分0RgR20x2 d（ R2x2）1分g 2R2x22 R13（） 0分32g R31分3bf 2 ( x) dx13. （此题 8 分）设bf ( x)在 a、 b 上有连续的导数，f ( a)f (b)0 ，且a，试求axf ( x) f( x)dx.yx第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -bb解： xf (x) f (x)dxxf ( x)df (x)2分aa1bxdf 2 (x)2分2aa=xf 2 (x) b1 b f2 a2 ( x) dx2分=0112分224. （此题8 分）过坐标原点作曲线面图形 D.(3) (3)求 D 的面积 A;ylnx 的切线，该切线与曲线ylnx 及 x 轴围成平(4) (4)求 D 绕直线 xye 旋转一周所得旋转体的体积V.解 ： (1)设 切 点 的 横 坐 标 为x0 ， 就 曲 线ylnx 在点( x0 、 lnx0 ) 处的切线方程为1yln x0D1 ( x x0x0 ).-1 分O1ex由该切线过原点知ln x010 ，从而x0e.所以该切线的方程为y平面图形 D 的面积1 x. e-1 分1yA(e0ey)dy1 e1.2-2 分（2） 切线y1 x e与 x 轴及直线xe 所围成的三角形绕直线xe 旋转所得的圆锥体积为V11e2 .3-2 分曲线 ylnx 与 x 轴及直线 xe 所围成的图形绕直线xe 旋转所得的旋转体体积为V12(e0ey )2 dy，-1 分因此所求旋转体的体积为VV1V21e231(ee y )2 dy0(5e2612e3).-1 分五.证明题（此题共1 小题，共7 分） .1. 证明对于任意的实数x ， ex1x .第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -xe1x解法一：ex21x 2x解法二：设f ( x)e xx1. 就f (0)0. -1分由于 f( x)e1. -1 分当 x0 时，当 x0 时，f ( x)0.f ( x)0.f ( x)f ( x)单调增加，单调增加，f ( x)f ( x)f (0)0. -2分f (0)0. -2分所以对于任意的实数x ，f (x )0. 即 ex1x ；-1分解法三：由微分中值定理得，ex1exe0分e ( x0)e x ，其中位于 0 到 x 之间；2当 x0 时， e当 x0 时， e1， ex11 ， ex1x ；-2分x ；-2分所以对于任意的实数x ， ex1x ；-1分第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -