2021年计算不定积分应该注意的几个问题.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-目录摘要 1关键词 1Abstract1 Keywords1引言 11 根本概念.定理及公式22 直接积分法易犯错误举例剖析32.1 运算中漏掉“ C .“32.2 自创运算法那么致误32.3 对公式1xdxln xCx0 的错误运用 42.4 对公式xa dxxa 1Caa11 的错误运用 43 第一换元积分法应留意问题53.1 牢记凑微分公式 53.2 留意解的不同表示方法64 其次换元积分法中易犯错误剖析65 分部积分法应本卷须知86 运算某类特别积分本卷须知96.1 有理函数的不定积分96.2 分段函数的不定积分10.可修编 -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-参考文献 12致 13.可修编 -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.运算不定积分应当留意的几个问题摘要不定积分为一个特别根本且又特别重要的概念，我们应当敏捷地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来运算不定积分，由此积分法成为数学教学中富有探干脆的一个领域 .文章归纳整理了我们在使用各种方法运算不定积分时简洁显现的问题，并对这些问题进展了分析和探讨 .例如：直接积分法.第一换元积分法.其次换元积分法.分部积分法以及特别积分法 .关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特别积分法Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several IssuesAbstractIndefinite integral is a concept which is basic and important、we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral、 Integration bees into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This papercollates and analyzes the error-prone issueswhich we use various methods to calculate the indefinite integral、these issues are analyzed and discussed.such as: directintegration method、integration by firstsubstitution、integration bysecond substitution、division integral method、and special integral method.KeywordsIndefinite integralDirect integral method Integration by substitution Division integral methodSpecial integral method引言不定积分为求导的逆运算，对不定积分的懂得和把握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分.面积分及重积分等后继容学习，我们在初学这些容时容易显现一些普遍的错误， 下面我们将对这些错误进展剖析，以便更好的把握这局部学问.1 根本概念.定理及公式定义 11设函数 f 与 F 在区间 I 上有定义 .假设 F( x)f (x)、 xI 、那么称 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数 .定义 2 1 函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为f 在 I 上的不定积分 、记作f (x)dx、其中称为积分号 、 f( x) 为被积函数 、f (x)dx 为被积表达式 、 x 为积分变量 .留意函数不定积分为一个函数族、求函数的不定积分或原函数时、留意被积函数的定义.word.zl.第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-域为很重要的因素 、要引起足够的重视 .定理 1 假设函数 f 在区间 I 上连续，那么f 在 I 上存在原函数 F ，即F ( x)f (x)、 xI .定理 2 设 F 为 f 在区间 I 上的一个原函数，那么i FC 也为 f 在 I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；ii f 在 I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.定理 3 假设函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数， k1 . k2 为两个任意常数，那么k1 fk2 g在I上也存在原函数，且 k1 f(x)k2 g ( x)dxk1f (x)dxk2g (x)dx常用根本积分公式 :10 dxC .2a xa xdxC ( aln a0、 a1) .31dxdxxC .4cos axdx1 sin aaxC (a0) .x11(5)x dxC (1、 x 10) .6sin axdxcos axC (aa0) .71dx xln xC (x0) . 8dx1x2arcsin xCarccos xC1 .xx9e dxeC10dx2arctan xCarc cotxC11x2直接积分法易犯错误举例剖析直接积分法为依据根本积分公式利用不定积分根本运算法那么或通过简洁代数.三角恒等变形后再利用根本积分公式的一种方法，这为一种最根本最简洁最直接积分方法，这也为我们初学不定积分应当把握的最根本的运算方法，下面我们将对一些常常显现错误的地方详细举例剖析一下.2.1 运算中漏掉 “ C .“例1求x3 dx .可修编 -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -错解x3dx.4x4 .例2求x34dx .错解x34 dxx3dx4dx4x44 xC .剖析发生这类错误，有三种可能的情形：1不定积分概念不清晰以及对“意义不清晰； 2对“ C 显现的意义不明确，这应当指的为函数的全部原函数才对并不单独指某一个原函数； 3马虎大意 .为削减这类错误的发生， 我们再学习这局部容时， 应当留意强调函数的不定积分指的为该函数的全部原函数以及利用一切可能的时机强调符号“的意义及有关的运算法那么，通过肯定量的训练让我们能够正确的进展一些根底运算，为后边的容打下一个坚实的根底.2.2 自创运算法那么致误例3求x3x23dx .3232x413错解xx3 dxx dxx3 dxx433xC .例4求x4x21x4dx .x4dx1 x5错解dxx21x21 dx5C .1 x3x3剖析发生这类错误主要为我们依据思维定势自创运算法那么造成，我们受之前的 极限四那么运算法那么及导数四那么运算法那么的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四那么运算法那么，且很简洁自创如下错误法那么f ( x)g ( x) dxf( x) dxg( x)dx1；f (x)dxf ( x) dx2.g (x)g ( x )dx我们在解题过程中错误的运用这两个运算法那么导致许多不该犯的错误就为没有搞清.word.zl.第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-楚实际上不定积分有加减运算法那么但没有乘法运算法那么也没有除法运算法那么，因此我们在运算不定积分时第一应熟记运算法那么，不要无中生有以致不该显现的误会.2.3 对公式1 xdxln xCx0的错误运用 2例5求13dx .x1错解x3 dxln x3C .例6求错解11cos2 xdxdx .2.2cosxln cosxC剖析这种错误主要为源于对公式的特点识别有误，要想真正把握根本积分公式， 我们再听积分根本公式的推导时要区分各种公式的模式特点，在做例题时，认真分析题目，有意识的培育自己识别所解问题为否符合公式模式，对不符合公式模式的查找其他的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定根底.2.4 对公式xa dxxa 1a1Ca1 的错误运用 2例7求sin3 xdx .错解sin 3 xdx1 sin 44xC .例8求sin2 xd sin x .错解 由cosxsin x、xaaxa 1、cos3 xsin 2 xd sinxC .3剖析这类错误主要为对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看，第一个例题不能直接用幂函数积分公式，只有当被积表达式化为(x) a d(x) 形式时才能用，但其次个例题正好符合公式，错误主要为没有真正把握换元思想，下面我们将会介绍换元和公式的结合.总结以上主要列举了用直接积分法运算不定积分时我们常常显现错误的地方，其实.可修编 -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -类似这类错误仍有许多，如：.1 dxd 1 .dxd x2x12x.像这类系数问题.符号问题也为不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以上所列举的几种类型主要为提示我们在初学运算不定积分时，必需熟识根本积分公式.根本运算性质.根本积分方法.肯定的解题策略，并能对被积函数进展适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进展凑微分.变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初学运算不定积分时要细心认真，把握最根本的为下面运算更加复杂的积分奠定一个良好的根底 .3 第一换元积分法应留意问题3第一换元积分法假设函数 u( x)D a、b ，且( x)，u、 有F (u)f (u ) ，那么函数f ( x)( x) 存在原函数F ( x) ，即f(x)(x)dxF( x)C.第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用根本积分公式，它为不定积分的根本方法 .但为有些凑微分法需要肯定的方法技巧，而且往往要多次尝试， 我们初学者只有多看多做扩宽视野多积存经受才能熟能生巧，下面将对依据自己所把握的对利用第一 换元积分法运算不定积分需要留意的问题归纳整理，期望对学习不定积分有肯定的帮忙.3.1 牢记凑微分公式在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样才能对娴熟运用第一类换元积分法起到事半功倍的成效. 4例 9求ln xxdx .解原式 =ln xdln x12lnxC .2分析由凑微分公式 1 dxd lnxx 可以看出中间变量可以确定为ln x ，即可求解 .例 10 求tan xdx .word.zl.第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-解 原 式 =tan xdxsinx dx1d cos xln cosC .cos xcos x分析由于tan xsin x，由凑微分公式sinxdxd cos x 可知中间变量为cos x ，cos x其解可依据上述公式求出.从以上可以看出，娴熟把握凑微分公式，对敏捷运用第一类换元积分法有较大的作用，但为我们在运算过程中肯定要留意保证凑微分过程的精确性，否那么将会带来很大的麻烦，易导致最终的结果错误.3.2 留意解的不同表示方法我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方确而解有所不同的地方，这时不要疑心方法的正确性，这主要为由于由于中间变量选定的差异，可能造成解的形式有差异，但为这些解经过肯定的变形后可化成一样形式. 4 例 11求sinx cos xdx .解法一原式 =sinxd sin x1 sin 22xC .解法二原式 =cos xdcos x12cosxC =121sinxC= 1 sin221211xC122=1 sin22xC .2解法三原式 = 1sin 2 xdx1sin 2 xd 2 x1 cos 2 xC=1 12sin 2xC22444= 1 sin2 xC122412=sin 2xC .从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要认真的检查自己选的中间变量为否正确.总结以上主要列举了用第一换元积分法运算不定积分时最需要留意的两个问题，仍有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可以了，此类积分法主.可修编 -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.要就为确定中间变量，一个积分有可能有许多不同的中间变量，我们肯定要留意观看，用适合自己的方法解决此类问题.4其次换元积分法中易犯错误剖析其次换元积分法设函数x(t)D、 a(t)b ，且(t )0 ，函数f ( x) 在a、b有定义，t、有G (t )f(t)(t)，那么函数f ( x) 在a、b 存在原函数， 且f ( x)dxG1( x)C.其次类换元积分法一般为先做变量代换，然后再求积分， 一共分为四个步骤来完成，即换元.整理.积分.回代，其中第一步为关键步骤，下面叙述的一类错误主要就为有关换元过程中忽视一些条件所引起的.5例 12求x2a2dx (ax0) .错解令xa sect ，那么原式可化为2原式= a tan2tdta tan ta sect tan tdta sectasec t1 dtatan ttCx2a2a arccos aC.x剖析从题目中我们可以看出原先被积函数的定义域为xa ， 经过变量代换xa sect 后， t 对应定义域为2t，因此2x2a2a2 tan2 tatant ， 但为上述解法却直接把肯定值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在xa 的定义域，从而导致只运算了一半把另一半忽视了.例 13 求sin 3 xsin 5xdx .错解sin3 xsin5xdxsin3 x1sin2x dx.word.zl.第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-3=sin 2 xcos2 xdx (令tsin x )3t 2 dt52 t 2C52 sin 255xC .剖析依据在化简过程可以确定被积函数的定义域x2 k2kkz ，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽视了在其次象限，导致题目漏解.总结通过以上两个例题的分析，指出了用其次换元积分法运算不定积分时最简洁显现错误的地方，即就为在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情形，这应当引起我们的重视，因此在遇到类似情形时第一就算一下被积函数的定义域，然后在进展下面过程，这样就很简洁防止类似错误发生.5 分部积分法应本卷须知分部积分法假设u ( x) 与v(x) 可导， 不定积分u (x)v(x)dx 存在，那么u ( x)v(x)dx也存在，并有u( x)v ( x)dxu (x)v( x)v(x)u(x)dx分部积分法为积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能运算的积分，该方法主要为依据两个函数乘积的微分法那么建立起来的，但为有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果，在运算过程中肯定得认真认真.6 例 14求cos xsin xdx .错解原式 =1 sind sin xx1sinsin xxsin xd1sin x1sin x1sin 2cos xdxx1cos xdx、 sin xdx等式两边消去cos x，得 1=0.sin x.可修编 -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.剖析此题错误主要为错在最终一步，不定积分为原函数加上一个任意常数C 、因此不定积分不为一个确定的函数，不行在等式两边消去不定积分，假设为按上面做法为求不出结果的，而且消去不定积分得“0=1”更为错误的 .留意有时用分部积分法运算不定积分几次分部后，又显现原积分，可移项求解， 此时要求：1移项后的一样不定积分系数可合并，但不行为零；2移项后等式另一边要加上“ C .例 15求ex cos xdx .解原式 =cos xdexex cos xe x sinxdxex cos xsinxdexex cos xexsinxex cos xdx那么2ex cos xdxex (cos xsin x)Cex (sin xcos x)C从而ex cos xdx.226运算某类特别积分本卷须知运算不定积分除了以上几个比拟常用的方法外，我们在运算过程中可能会遇到更复杂的不定积分如：有理函数的不定积分.分段函数的不定积分等，这时我们会发觉再用平常的积分方法根本解决不了问题，但为不管再复杂，我们仍为可以依据肯定的步骤运算出来，运算这类特别积分必需熟记它所代表的类型以及所用的解题方法，下面将列举几个例子来分析一下 .6.1有理函数的不定积分有理函数由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为R( x)P( x)nn 1xx01.n，Q( x)mm 1xx01.m其中 n 、 m 为非负整数，0 、1、.、n 与 0 、1 、.、m 都为常数，且00、00 .word.zl.第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-依据代数学问，有理真分式必定可以表示成假设干个局部分式之和，因而问题归 结为求那些局部分式的不定积分，因而求此类积分分为以下步骤1把被积函数作局部分式分解； 2把所求积分化为局部分式不定积分；3逐一求每一个分式积分，然后合并起来 .下面我们将举例详细介绍此类不定积分的解题步骤.例 16 求26 x11x24 dx .xx16 x211x4ABC解第一步：设22xx1xx1x1有6 x211x42Ax1BxCxx1AC62 ABC11A4解得 A =4、 B =-1、 C =2、6 x211x44dxdx其次步：2xx1dxdxxx1 22x1第三步：经过前两步做好后可以直接运算得出结果6x211x412dxxx14lnx2lnx1C .x1留意上述运算不定积分的方法特别通用，但为有时候这种分解会很繁琐的，而且必需为得知道分母根时才能进展这种分解，所以在遇到题目时要敏捷，不能死套此做法，要和前面几种方法结合起来才为最好的.7 例 17求xdx x4x21dx21解原式 =xdx122222x2132213x2222.可修编 -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -= 11arctanx212.32x2C =arctan.1C.23333226.2分段函数的不定积分求分段函数的不定积分时，应先求函数在各段对应区间的不定积分，然后考察被积函数在各分段点处的连续性.8例 18令f (x)x2、x0;求f ( x) dx .sin x、x0.x31x2dxC、x0;错解f( x)sin3xdxcos xC2 、x0.剖析由于分段函数f (x) 在分段点 x0 处连续f ( x)在、连续f ( x)的原函数在、存在，留意到对每一组确定的C1，C2 、明显原函数在 x0 连续，故C1C 、所以x3f ( x)dxC1、x0;123cos xC11、x0.留意1假设被积函数在分段点上连续，那么该分界点相邻两分段不定积分中的C1、 C2相关，依据原函数在该点的连续性，确定出C1 、C2 的关系； 2假设被积函数在分段点上为第一类连续点， 那么在包含该点的某区域， 不定积分不存在 .故该分点相邻两分段求出的不定积分中的C1、 C2 为无关的 .0、x0;例 19 令 g (x)x2 x、1、0xx1.1; 求g (x)dx解由于 x0 为 g( x) 第一类连续点， 那么在该点邻近原函数不存在， 但 x1 为 g( x)连续点，从而g (x) 在、不存在原函数，g ( x)不定积分只能在、0 与 0、得到.word.zl.第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-g( x) dxC1、1 x2x2xC 、00;x1; 其中C 与 C 相互独立，C与 C 相关，从而22xC3、1223x1.11C1C ，化简得 1CC ，那么：232322C1、x0;g( x) dx1 x22x2CxC2 、01 、xx1;1.22以上我们一共介绍了五种方法在运算不定积分过程中需留意的几个问题，需要指出的为，通常所说的“求不定积分，为指用初等函数的形式把它表示出来.在这个意义下，但并不为任何初等函数的不定积分都能求出来，例如:ex 2 dx、dx 、sin xdx 等等.最终顺便ln xx指出我们可以利用现成的积分表来运算有些不定积分，但为作为初学者，我们第一应把握各种根本的积分方法 .参考文献1 华东师高校数学系.数学分析 (上册 )M.3 版 .：高等训练，2001: 176-181.2 唐小丹 .不定积分运算中几类常见错误分析J.训练学院学报，2004、 15(2): 4-5.3 纪修 .数学分析上册M.2 版.：高等训练， 2004.5.4 雷.利用第一换元积分法求不定积分应留意问题J.训练学院学报，2006、 20(11): 98-99.5 毕迎鑫 .不定积分其次类换元积分法错误会析J.六盘水师高等专科学校学报，2021、 22(3): 52-54.6 邓乐斌 .数学分析的理论.方法与技巧M. ：华中科技高校，2005.12.7 惠民 .数学分析习题课讲义M.：训练， 2003.7.8 后邘 .微积分全程导学M.2 版.：科学技术，2004.8.可修编 -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -