2021年概率论大题附答案.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第一章随机大事及其概率1.6 假设一批100 件商品中有4 件不合格品 抽样验收时从中随机抽取4 件，假如都为合格品，就接收这批产品，否就拒收，求这批产品被拒收的概率p解以表示随便抽取的4 件中不合格品的件数，就pP11P014C96C410010.84720.15281.7 从 0、1、2、10 等 11 个数中随机取出三个，求以下大事的概率：A1 = 三个数最大的为5 ；A2 = 三个数大于.等于和小于5 的各一个 ；A3 = 三个数两个大于5，一个小于7 C11解从 11 个数中随机取出三个，总共有3165 种不同取法， 即总共有3C11 个基本领件， 其中有利于A1 的C5取法有210 种（三个数最大的为5，在小于5 的 5 个数中随便取两个有210 种不同取法） ；C5有利于A2 的取法有5×5=20 种（在小于5 的 5 个数中随便取一个，在大于5 的 5 个数中随便取一个，有 5×5=25 种不同取法） ；有利于A 的取法有5×C270 种(在小于5 的 5 个数中随便取一个，在大于5 的 5 个数中随便取两3个)于为，最终得5P( A1 )101650.&06&， P( A1 )251650.1&5&， P( A1 )501650.3&0&1.8 考虑一元二次方程x2BxC0 、 其中 B、 C 分别为将一枚色子接连掷两次先后显现的点数(1)求方程无实根的概率，(2) 求方程有两个不同实根的概率解明显，系数B 和 C 各有 1、2、3、4、5、6 等 6 个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36 个基本领件考虑方程的判别式B 24C 大事 无实根 和 有两个不同实根 ，等价于大事0 和 0 下表给出了大事 0 和 0 所含基本领件的个数B1234560 含基本领件数00236617由对称性知 0 和 0 等价，因此易见，方程无实根的概率和有两个不同实根的概率为1.15 已知概率P ( A)p、 P ( B)q 、 P( AB )170.4736r 分别求以下各大事的概率：AB， AB，AB ， AB ， A( AB) 解由大事运算的性质，易见P( AB)1P( AB )1r，P( AB)P( AB)1r，P( AB)1P( AB)1 pqr ，P( AB )P( AB)1 pqr ，P( A AB)P( AAB )P( A)p1.18假设箱中有一个球，只知道不为白球就为红球现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -球，结果为白球求箱中原先为白球的概率解引进大事：A 取出的为白球 ， H 1 箱中原先为白球 ， H 2 箱中原先为红球 ，就 H 1 、 H 2 构成完全大事组，并且P(H 1 )P(H 2 )0.5 由条件知P( A| H 1 )1， P( A | H 2 )0.5 由贝叶斯公式，有P( H| A)P( H 1 )P( A | H 1 )2 1P( H)P( A | H )P( H ) P( A | H)311221.21假设 一厂 家生产的每台仪器，以概率0.7 可以直接出厂；以概率0.30 需进一步进行调试，经调试以概率 0.90 可以出厂，以概率0.10 定为不合格品不能出厂现在该厂在生产条件稳固的情形下，新生产了20台仪器求最终20 台仪器(1) 都能出厂的概率；(2) 至少两台不能出厂的概率解这里认为仪器的质量状况为相互独立的设可以出厂 由条件知H 1 = 仪器需要调试 ，H 2 = 仪器不需要调试 ， A= 仪器P( H 1 )0.30，P(H 2 )0.70，(1) 10 台仪器都能出厂的概率P( A | H1 )0.80， P( A | H 2 )10P( A)P( H 1 )P( A | H 1 )P(H 2 ) P( A | H 2 )0.300.800.700.94 ；0100.94100.5386(2) 记 10 台中不能出厂的台数，即10 次伯努利试验“胜利 (不能出厂 ) ”的次数由 (1) 知胜利的概率为 p=0.06易见， 10 台中至少两台不能出厂的概率109P21P0P11.23设A、 B 为任意二大事，证明：10.94100.940.060.1175(1) 如大事 A 和 B 独立且 AB ，就P( A)0 或P( B )1 ；(2) 如大事 A 和 B 独立且不相容，就A 和 B 中必有一个为0 概率大事证明(1) 由 于 AB ，可见P( AB)P( A)P( B)， P( AB )P( A)， P( A)P( A) P( B)因此，如P( A)0 ，就P( B)1 ；如P(B)0 ， P( A)0 (2) 对于大事A 和 B ，由于它们相互独立而且不相容，可见因此，概率P( A) 和P( A) P( B)P( B) 至少有一个等于0P( AB)0 ，补充：其次节大事的关系和运算第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1.设 A 、 B 、 C 为三个随机大事、 用大事 A 、 B 、 C 的运算关系表示以下大事：A 、B 、C 三个都发生；A 发生而B 、 C 都不发生；A 、 B 都发生 、C 不发生；A 、B 、C 恰有一个发生；A 、 B 、C 恰有两个发生；A 、 B 、 C 至少有一个发生；A 、B 、C 都不发生 .解：（ 1） ABC（ 2） ABC（ 3） ABC（4） ABCABCABC(5) ABCABCABC(6)ABC(7)ABC第三节大事的概率1. PA0.4 、 PB0.3 、PAB0.6 、 求 PAB 、 PAB、 PAB、 PAB.解： 由 P ( AB)P ( A)P ( B)P( AB ) 知，P( AB)P ( A)P( B )P ( AB)0.40.30.6 =0.1P( AB)1P ( AB)10.10.9P( AB )P ( AB)1P ( AB )10.60.4P( AB )P( A)P ( AB)0.40.10.32. PA0.7 、PAB0.3、 求 PAB.解： 由 PABPAPAB，得 PABPAPABP( AB)P( A)P ( AB)0.70.30.4 ，P( AB )1P( AB )10.40.63. 已知 PA0.9 、 P B0.8 、 试证PAB0.7 .解： 由 P ( AB)P ( A)P ( B)P( AB ) 知，P( AB)P ( A)P( B )P ( AB)0.90.810.74. 设A、 B、C 为三个大事、 且 P (A)P(B)P(C )1 、 P( AB)4P (BC )0 、P( AC )1 、 求8A、 B、C 至少有一个发生的概率.解： 由条件P( AB )P ( BC )0 ，知P( ABC )0 ，P( ABC )P( A)P ( B)P (C )P ( AB)P (BC )P( AC )P ( ABC )11115000444885. 设 A 、 B 为两大事 、 且 PA0.6 、 PB0.7 、 问第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - 在什么条件下、 PAB 取到最大值 、 最大值为多少？ 在什么条件下、 PAB 取到最小值 、 最小值为多少？解： 由 P ( AB)P ( A)P ( B)P( AB ) 知，P( AB)P ( A)P (B)P( AB )又由于P ( A)P ( AB) ，P( B )P( AB ) ，所以 maxP( A)、 PBP( AB) ，所以 0.7P ( AB)1 ，所以 0.3P ( AB)0.6 .第四节条件概率及与其有关的三个基本公式1设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有90% 呈阳性反应，而未患该病的人中有5% 呈阳性反应，设人群中有 1% 的人患这种疾病，如某病人做这种化验呈阳性反应，就他患有这种疾病的概率为多少？解： 设 A 某疾病患者 ， A非某疾病患者 ， B 检查结果为阳性 . 依条件得 、BAA，且P ( A)0.01、P( A)0.99 、P( B | A)0.9P(B| A)0.05所以 PAPAB BPBPA PPA PBABAPA PBA0.010.90.010.90.990.050.15第五节大事的独立性和独立试验1设有 n 个元件分别依串联.并联两种情形组成系统I 和 II 、已知每个元件正常工作的概率为p ，分别求系统 I . II 的牢靠性（系统正常工作的概率）解： A 系统 I 正常工作 ， B 系统 II 正常工作 ， B系统II 不正常工作 Ci 每个元件正常工作， i1、2、L、 n ，且P (Ci )p ，Ci 每个元件都不正常工作 ， P(Ci )1p由条件知，每个元件正常为相互独立的，故nP ( A)P (C C LC )P (C )P(C )LP (C )p n ，12n12nP(Ci )1p ， P(B)P(C1C2 LCn )P(C1 ) P(C2 ) LP(Cn )(1p)P (B )1P( B)1(1p )n2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为p ，求这个装置通达的概率 .假定各个元件通达.不通达为相互独立的.解 : 设 Ai 第i 条线路通达 ，i1、2、3、A 代表这个装置通达 、Ai 第i条线路不通达， i1、2、3、A 代表这个装置不通达 ，由条件知，P( Ai )22p， P( Ai )1p ，第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -P( A)1P( A)1P( A1 A2A3)1(1p )23其次章 随机变量及其分布2.8 口袋中有7 个白球， 3 个黑球，每次从中任取一球且不再放回(1) 求 4 次抽球显现黑球次数X 的概率分布；(2) 抽球直到首次显现白球为止，求抽球次数Y 的概率分布C10解(1) 随机变量X 有 4 个可能值0、1、2、3，如以 W 和 B 分别表示白球和黑球，就试验“4 次抽球”相当于k4“含 7 个 W 和 3 个 B”的总体的4 次不放回抽样，其基本领件总数为4210 ，其中有利于 Xk(k0、1、2、3)的基本领件个数为：C3 C7k ，因此Ck Ck 4C4P Xk3710(k0、1、2、3) ，或01230123351056371131210210210210621030X (2)随机变量 Y 明显有 1、2、3、4 等 4 个可能值； 以 Wk 和 Bk 分别表示第k (k1、2、3、4)次抽到白球和黑球，就“不放回抽球直到首次显现白球为止”相当于“自含7 个白球 3 个黑球的总体的4 次不放回抽样” ，其基P本领件总数41010987120 易见P Y1784 ，P Y23728 ，10120109120P Y33277 ，P Y432171 1098120109871201234842871120120120120Y 2.11 设 X 听从泊松分布，且已知P X1P X2 ，求P X4 解以 X 表示随便抽取的一页上印刷错误的个数，以X k ( k1、2、3、 4) 表示随便抽取的第k 页上印刷错误的个数，由条件知X 和X k (k1、2、3、4) 听从同一泊松分布，未知分布参数打算于条件：2P X1P X2，ee2.于为=2由于随机变量X k ( k1、2、3、4) 明显相互独立，因此24222P X =4=e=e0.09024！32.14 设随机变量X 听从区间 2，5 上的匀称分布，求对X 进行 3 次独立观测中，至少有2 次的观测值大于3 的概率解设 Y 3 次独立试验大事A X3 显现的次数，就Y 听从参数为(3、 p) 的二项分布，其中p2 3因此第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -P( B)P Y2PY33p2 (1p)p34820927272.17 设随机变量X 听从正态分布N (3、4)，且满意P XCP XC和 P XC2P XC，分别求常数C1解 （ 1）由 XC与 XC为对立大事，又P XCP XC 得P XC 所以 C=322C3(2) 由题意可知P XC= （） 所以反查表可得C3.88322.22 设随机变量X 听从 1、2 上的匀称分布，求随机变量Y 的分布律，其中1，如 X0，Y0，如X0， 1，如 X0解由于 X 听从 1、2 上的匀称分布，知随机变量Y 的概率分布为P Y1P X0P1X01， PY30P X00，P Y1P X0P0X2-11Y 12 33补充：其次节离散随机变量2 ；31. 从学校乘公交车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的大事为相互独立的，并且概率都为14，设 X 遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布列及至多遇到一次红灯的概率；012327279164646464解： 由条件知，随机变量X 的分布列如下：XP设 A至多遇到一次红灯 ，就P( A)P(X0)P( X1)54642.设每分钟通过交叉路口的汽车流量X 听从泊松分布， 且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率；解： A= 在一分钟内至少有两辆车通过 ， A 在一分钟内至多有一辆车通过k e由条件知，P( XK )、 kk .0、1、2、L、 l ，且P( X0)P( X1) ，0即ee，求出，1故：0.1.P( X0)e1 ， P( X1)e 1 ，第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -P(A)P( X0)P( X1)2e 1P( A)1P(A)12e 13.运算机硬件公司制造某种特别型号的芯片，次品率达0.1% ，各芯片成为次品相对独立，求在1000 只产品中至少有2 只次品的概率；以X 记产品中的次品数；解：设A在1000只产品中至少有2只次品 ，A 在1000只产品中至多有1 只次品，B= 生产的产品为次品 ， B= 生产的产品不为次品由条件知，P( B )0.001 ， P( B )0.999 ，P( B)0.999P( A)P( X0)P( X1)C 0(10.001)1000C10.001(1 0.001)99910001000(10.001)1000(10.001)999P( A)1(10.001)1000(10.001)999 第三章 随机向量及其概率分布3.6 设随机变量X 和 Y 的联合密度为6x2xy，如 0x1、0y2，f ( x、 y)720，如不然(1) 试求 X 的概率密度f 1( x) ；(2) 试求大事“X 大于 Y ”的概率 P XY ；解(1) 易见，当x(0、1) 时f1 ( x) =0；对于 0x1，有1f (x)f ( x、 y)dy62x2xy62dy(2 xx)70276 (2 x2f1 ( x)7x)，如 0x1，0，如不然(2) 大事“ X 大于 Y ”的概率P XYf ( x、 y)dxdy61 dxxx2xydy6513x dx15 x y7 00274 0563.11 设随机变量X 和 Y 的联合密度为f ( x、 y)2e 2 x y，如 x0， y0，0，如 x0 或 y0求随机变量X 和 Y 的联合分布函数和概率P X1、Y1 解设 F ( x、 y)P Xx、Yy为 X 和 Y 的 联 合 分 布 函 数 当 x0 或 y0 时 F ( x、 y)0 ； 设x0， y0 ，就第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 y- - - - - - - - - - - - -F ( x、 y)2于为xye 2u e00v dudv(1e2 x )(1e) F ( x、 y)(1e2 x )(1e y )，如 x0， y0，0，如 x0 或 y0P X1、Y1x 1、 y 1f (x、 y)dxdy2e 2 xdx11e ydye 33.12 设 G 为曲线yx2 和直线 y4 所围成的封闭区域， 而随机向量( X 、Y ) 在区域 G 上匀称分布， 求 X 和Y 的概率密度f1 ( x)和f2 ( y) 解设 G 为 yx和 yx 2 所围区域，其面积SG 为22GS（4- x ） dx016，3因此 X 和 Y 的联合概率密度为3 ，如 ( x、 y )G，f (x、 y )160 ，如(x、 y)G2(1) X 的密度对于 x(0，2) ，f1 ( x)4 3 dy3 (4-x ) ；2x 1616于为3 (4f1 ( x)16x2 )，如x 20，其他y 33(2) Y 的密度对于 0y4，f 2 ( y)dxy于为3f 2 ( y)16y，如01616y 40，其他补充：第一节二元随机向量及其分布1. 设 二 维 随 机 变 量 ( X 、Y )的 联 合 分 布 函 数 为 ：F ( x、 y)A(Barctan x)( Carctan y)， 求 常 数A、 B 、 C.x、y、解 : 由条件知，F (、)1 ， F ( x、)0 、 F (、 y)0 、即：第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -A( B)(C)1221A( Barctanx)(C)02求出， A2 ， BC2A( B)(C2arctan y)06、 x2yx2设 X 和Y的联合概率密度函数为（fx、y ），0、其他，求 x 和 y 的边缘密度函数；解： 设fx (x、 y) 为 （fx、y ）关于 x 的边缘密度函数，fy (x、 y) 为f (x、 y) 为关于 y 的边缘密度函数，且，f X (x)f ( x、 y) dy，fY ( y)f ( x、 y) dx当 0x1 时，f X ( x)x2 6dyx6( xx2) ，当 x0、 x1 时，f X (x)0当 0y1 时，yYf ( y)6dxy6(yy)当 y0 ， y1 时，fY ( y)0第四章随机变量的数字特点4.3设随机变量X 的概率密度为f ( x)kx ，如0x1，0， 其他已知 EX0.75 ，求未知常数k 与的值解由题设知1EXxf ( x)dxkx1 01dxkx220k0.75， 2另一方面，由于于为，得关于k 与的方程组f ( x)dx1kx dx01kx110k1， 1k0.75， 2k1，1其解为2、 k3 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -4.5 设随机变量X 听从参数为2 的泊松分布，求E (3 X2) 解熟知，参数为2 的泊松分布的数学期望EX2，故E (3 X2)3EX232244.6 求 EX ，已知随机变量X 具有概率密度为x，如0x1，f ( x)2x，如1x2，0，其他解由数学期望的定义，知EXxf ( x)dx1x2dx2x(2x)dx011221 x330x21 x311314.7 设随机变量X 具有概率密度如下，f( x)2(x01)，如1x2，其他 .求 Z1 X 的数学期望解由随机变量函数的数学期望，知EZzf(x)dx2 12( x21)dx2 x2ln x2ln 21 x114.11 设随机变量X 1、X 2 、X 3 相互独立，且X1 听从区间 (0、6) 上的匀称分布，而X 2 N (0、 22 )，X付出参3数为 3 的泊松分布，试求YX 12 X 23X 3 的方差解由条件知DX 13、 DX 24、 DX 33 ，而由方差的性质可得DYD ( X12 X 23 X3 )DX 14DX 29DX 334493464.12 设随机变量X 与Y望.方差以及概率密度相互独立， 且 X N (1，2)， Y N (0，1)，试求随机变量Z2XY3 的数学期解由条件知，X N (1、2)、 Y N (0、1) 从而由期望和方差的性质得EZ2EXEY35， DZ4DXDY9由于 Z 为 X 和 Y 的线性函数，且X 、Y 为相互独立的正态随机变量，故Z 也为正态随机变量，而正态分布完全打算于其期望和方差，因此Z N (5、9)，于为， Z 的概率密度为22 91( z 5)fZ (z)e( 32z)4.16已知随机向量( X 、 Y ) 的概率密度f ( x、 y)x y，如0x1，0y 1，0 ，如不然第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -求 EX 、 EY 、DX 、 DY 、EXY 、 cov( X 、Y )、XY 解(1) 求 EX 、EY、DX 、DY ；EXxf (x、 y)dxdy11117xdx( xy)dyxxdx；000212EX 2x2 f ( x、 y)dxdy1x2 dx1(xy)dy1x2x1dx5 ；0002212DXEX 2( EX ) 25711 1212144由对称性，有EY7 ，DY11 (2)求 EXY 、 cov( X 、 Y )、XY 12144EXYxyf ( x、 y)dxdy1xdx1y( xy)dy1 xx1dx1；cov( X 、Y)EXYEX EY000177131212144；233cov( X 、 Y)1 1441XYDXDY11 14411第六章数理统计的基本概念和抽样分布6.4 假设总体X 听从参数为的泊松分布、 ，而( X1 、 X 2 、 Xn )为来自总体X 的简洁随机样本求( X 1、 X 2 、 X n )的概率函数解总体 X 的概率函数为p( x;)xe，如x .x为自然数 、0， 如 x不为自然数 由于 X1 、 X 2 、 X n 独立同听从参数为的泊松分布，可见( X1、 X2 、 X n ) 的概率函数为p(x1 、 x2 、 xn ； )P X1x1 、 X 2nx2 、 X nnexn iip(x；)x1 x2xn (x0、1、2、)2i 1x1 . x2 .Lxn .6.5 假设总体数.X N (、) ，而 ( X1 、 X 2 、 X n ) 为来自总体X 的简洁随机样本求X1 、 X 2 、 X n 的概率函解由于X1 、 X 2 、 X n 独立同分布，可见( X1 、 X 2 、 X n ) 的密度为f ( x1、 x2 、L、 xn )n1ei 1