2021年函数的单调性知识点与题型归纳.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -高考明方向1. 懂得函数的单调性.最大值.最小值及其几何意义2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.备考知考情1. 函数的单调性为函数的一个重要性质，为高考的热点，常见问题有：求单调区间， 判定函数的单调性， 求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等 客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简洁应用2. 题型多以挑选题.填空题的形式显现，如与导数交汇命题，就以解答题的形式显现.一.学问梳理 名师一号 P15留意：争论函数单调性必需 先求函数的定义域， 函数的单调区间为 定义域的子集单调区间 不能并 ！学问点一函数的单调性1. 单调函数的定义2.单调性.单调区间的定义如函数 f ( x) 在区间 D上为增函数或减函数 ，就称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间 .留意：1.名师一号 P16问题探究问题 1关于函数单调性的定义应留意哪些问题？(1)定义中 x1， x2 具有任意性 ，不能为规定的特定值(2)函数的 单调区间必需为定义域的子集；(3)定义的两种变式 ：设任意 x1，x2 a，b且 x1<x2，那么 f ( x1 )f ( x2 )0 f(x)在 a， b 上为增函数；x1x2f ( x1 )f ( x2 )0 f(x)在 a， b 上为减函数x1x2(x1 x2) f(x1)f (x2)>0 f(x)在a，b上为增函数；(x1 x2) f(x1)f (x2)<0 f(x)在a，b上为减函数2.名师一号 P16问题探究问题 2单调区间的表示留意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用 “或”联结学问点二单调性的 证明方法： 定义法及导数法名师一号 P16高频考点例 1规律方法(1) 定义法 :利用定义证明函数单调性的一般步骤为：第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -任取 x1.x2 D，且 x1<x2；作差 f(x1) f(x2)，并适当变形( “分解因式 ”.配方成同号项的和等)；依据差式的符号确定其增减性(2) 导数法 :设函数 y f(x)在某区间 D 内可导假如f x()>0，就 f(x)在区间 D 内为增函数；假如 f x()<0，就 f (x)在区间 D 内为减函数留意： (补充 )（1）如使得 f x()=0 的 x 的值只有有限个，就假如 f x()0 ，就 f(x)在区间 D 内为增函数；假如 f x()0 ，就 f (x)在区间 D 内为减函数（2）单调性的 判定方法：名师一号 P17高频考点例 2规律方法定义法及导数法.图象法.复合函数的单调性 ( 同增异减 ) .用已知函数的单调性等(补充)单调性的有关结论1如 f (x)，g(x)均为增 (减)函数， 就 f(x) g(x)仍为增 (减)函数2如 f (x)为增(减)函数，就 f(x)为减(增)函数，假如同时有f(x)>0，就1为减(增)函数，fx为增 (减)函数fx3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yf g(x) 为定义在 M 上的函数， 如 f (x)与 g(x)的单调性相同，就其复合函数 f g(x) 为增函数； 如 f (x).g(x)的单调性相反，就其复合函数 f g(x) 为减函数 简称”同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反函数单调性的应用名师一号 P17特色专题(1)求某些函数的值域或最值(2)比较函数值或自变量值的大小(3)解.证不等式(4)求参数的取值范畴或值(5)作函数图象 二.例题分析：（一)函数单调性的判定与证明例 1. （ 1）名师一号 P16对点自测1判定以下说法为否正确第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -(1)函数 f(x)2x1 在( ， )上为增函数 () 1(2)函数 f(x)x在其定义域上为减函数()(3)已知 f(x)x，g(x) 2x，就 yf (x)g(x)在定义域上为增函数 ()答案： × 例 1. （ 2）名师一号 P16高频考点例 1（1） x(2021 ·北京卷 )以下函数中，在区间 (0， )上为增函数的为 () A yx 1B y (x1)2Cy2Dy log0.5(x1)答案： A.例 2. （ 1）名师一号 P16高频考点例 1（2）判定函数 f (x) ax 在(1， )上的单调性，并证明x1法一：定义法设 1<x1<x2，就 f(x1) f(x2)ax1ax2x1 1ax1x2 1 ax2x1 1x11x21ax1 x2x1 1x21x21 1<x1<x2，x1 x2<0， x11>0，x21>0.当 a>0 时， f (x1)f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)，函数 yf (x)在(1， )上单调递增同理当 a<0 时， f (x1)f (x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)，函数 yf (x)在(1， )上单调递减法二：导数法留意：名师一号 P17高频考点例 1规律方法1.判定函数的单调性应先求定义域；2.用定义法判定 (或证明 )函数单调性的一般步骤为： 取值 作差变形 判号 定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解.配方法等；3. 用导数判定函数的单调性简洁快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数.分段函数的单调性区间例 1. 名师一号 P16高频考点例 2（ 1）求函数 y x |1x|的单调增区间；1，x1，yx|1x|2x 1，x<1.作出该函数的图象如下列图由图象可知，该函数的单调增区间为(， 1例 2. （ 1）名师一号 P16高频考点例 2（2）第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -求函数 y log13(x24x 3)的单调区间解析: 令 ux2 4x3，原函数可以看作ylog13u 与 u x2 4x 3 的复合函数令 ux2 4x3>0.就 x<1 或 x>3.函数 y log13(x24x 3)的定义域为( ，1)(3， )又 ux2 4x3 的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x 3 在(，1)上为减函数， 在(3， )上为增函数而函数 y log13u 在(0， )上为减函数，y log13(x24x 3)的单调递减区间为 (3， )，单调递增区间为 ( ， 1)留意：名师一号 P17高频考点例 2规律方法求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和.差或复合函数，求单调区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义 (3)图象法：假如 f (x)为以图象形式给出的，或者f (x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间2例 2. （ 2） ( 补充)ylog 1 x4log 1 x2211答案：增区间：、 4；减区间：0、4练习:y2log 2 xlog 2 x答案：增区间：2、；减区间：0、2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小例 1. （ 1）名师一号 P17特色专题典例(1)已知函数 f (x)log2x1，如 x1(1、2)， x2 (2， )，就()1xA f (x1)<0， f(x2)<0Bf (x1)<0， f(x2 )>0 Cf (x1)>0， f(x2)<0D f(x1)>0， f(x2 )>0【规范解答】函数 f(x)log 2x1在(1， )上为增函数，且f(2) 0，1 x当 x1 (1、2)时， f(x1)<f(2)0， 当 x2(2， )时， f(x2)>f(2)0，即 f(x1)<0，f(x2)>0.第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 1. （ 2）名师一号 P17特色专题典例(2)x24x3，x0，已知函数 f (x)就不等式x2 2x3，x>0，f(a2 4)>f(3a)的解集为 ()A (2、6)B(1、4)C(1、4)D( 3、5)【规范解答】 作出函数 f(x)的图象， 如下列图，就函数f (x)在 R 上为 单调递减的由f(a24)>f (3a)，可得 a24<3a，整理得 a2 3a4<0， 即(a1)(a 4)<0，解得 1<a<4， 所以不等式的解集为 (1、4)留意: 本例分段函数的单调区间可以并.（四）已知单调性求参数的值或取值范畴例 1.(1)名师一号 P17特色专题典例(3)a2x、 x2xf ( x1)f ( x2 )已知函数 fx11、x2满意对任意的实数x1x2，都有20x1x2成立，就实数 a 的取值范畴为 () ，1313A ( ， 2)B.8C ( ，2D.8 ， 2【规范解答】 函数 f (x)为 R 上的减函数，a2<0，于为有1由此解得 a13 ，a2×22 21， 88即实数 a 的取值范畴为，13 .例 2.(1)（补充） 假如函数 f ( x) ax2 2x3 在区间( ，4) 上单调递增，就实数a 的取值范畴为 1答案 ， 04解析(1)当 a0 时，f(x) 2x3，在定义域 R 上单调递增，故在 (，4)上单调递增；，a(2)当 a0时，二次函数 f (x)的对称轴为直线x 1由于 f (x)在( ，4)上单调递增，所以 a<0，且 14，解得 1a<0.1 a 0.a4综上所述 4例 2.(2)（ 补充）如 f ( x) x3 6ax 的单调递减区间为 ( 2、2) ，就 a 的取值范畴为 () A ( ， 0B 2、2C2D 2， ) 答案C 解析f x()3x26a，如 a0，就 f x() 0， f(x)单调增，排除 A ；第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -如 a>0，就由 f x()0 得 x ± 2a，当 x<2a和 x>2a时， f x()>0，f(x)单调增，当2a<x<2a时， f (x)单调减，f (x)的单调减区间为 ( 2a， 2a)，从而 2a2，a 2.变式： 如 f ( x) x36ax 在区间 ( 2、2) 单调递减， 就 a 的取值范畴为？ 点评f(x)的单调递减区间为 (2、2)和 f(x)在(2， 2)上单调递减为不同的，应加以区分 本例亦可用 x±2 为方程 f x()3x26a 0 的两根解得 a2.例 2.(3)（补充）如函数f ( x)log 12(x 3ax)在(3、2)上单调递减，就实数 a 的取值范畴为（）A9 ，12B 4 ，12C4 ，27D 9 ， 27答案： A温故知新 P23 第 9 题如函数 fxlog 1xax223a在区间2、上单调递减，就实数a 的取值范畴为计时双基练 P217基础 7计时双基练 P217基础 8.108.设函数 fxax1x 2a在区间2、上为增函数 、那么 a 的取值范畴为答案 :1、10.设函数 fxxxa xa（ 2）如 a0且 fx在区间 1、内单调递减 、求 a 的取值范畴 .答案 :1、（五）抽象函数的单调性例 1. （补充） 已知 f ( x) 为 R 上的减函数，那么满意1f (|)< f (1) 的实数 x 的取值范畴为 ()xA ( 1、1)B(0、1)C ( 1、0)(0、1)D (， 1)(1， )答案： C解析：由于 f(x)为减函数，f(| 1x1|)<f (1)，所以|x|>1，就|x|<1 且 x0，即 x(1、0)(0、1)第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -练习：y f ( x ) 为定义在1、1 上的增函数，解不等式答案：0、1f (1x)f (1x 2 )温故知新 P12第 8 题留意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例 2.计时双基练 P216培优 4函数 f( x )的定义域为0、，且对一切 x0、 y0都有 f( x ) yf ( x )fy，当 x1时，有f ( x )0 ；（1） 求f (1) 的值；（2） 判定f ( x )的单调性并加以证明；（3） 如f (4)2 ，求f ( x )在 1、16 上的值域 .答案: 单调增 ;0、4留意： 有关抽象函数单调性的证明通常立足定义练习:计时双基练 P218培优 4函数 f( x )的定义域为0、，且对一切 x 、 yR2都有 f ( x )fyf ( xy) ，当 x0 时，有f ( x)0、 f1.3(1) 求证:f ( x ) 在 R 上为减函数；(2) 求f ( x ) 在3、3 上的最大值与最小值 .答案:2;2课后作业一.计时双基练 P217 基础 1-10课本 P16-17 变式摸索 1.2；二.计时双基练 P217 基础 11.培优 1-4课本 P18 对应训练 1.2.3预习 其次章第四节函数的奇偶性与周期性补充：练习 1：函数 f (x) x 3a，x<0ax，x 0(a>0 且 a1)为 R 上的减函数，就a 的取值范畴为 ()A (0、1)B1，1)C(0， 3123D(0， 3分析： f (x)在 R 上为减函数，故f (x) ax(x0)为减函数，可知0<a<1，又由 f(x)在 R上为减函数可知， f(x)在 x<0 时的值恒大于 f (x)在 x 0 时的值，从而 3a 1.解析： f(x)在 R 上单调递减，第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -0<a<1，3a1.1 a<1.3答案： B练习 2：已知 f (x)为()3 ax4a x<1 logaxx1为(， )上的增函数，那么a 的取值范畴A (1， )B (， 3) 3C， 3)D (1、3)5 答案D 解析解法 1：由 f (x)在 R 上为增函数， f(x)在1，)上单增，由对数函数单调性知 a>1，又由 f(x)在( ，1)上单增，3 a>0，a<3，又由于 f(x)在 R上为增函数，为了满意单调区间的定义，f(x)在(，1上的最大值 35a 要小于等于5f(x)在1， )上的最小值 0，才能保证单调区间的要求， 3 5a0，即 a3，由可得 1<a<3.解法 2：令 a 分别等于35.0.1，即可排除 A .B.C，应选 D. 点评f(x)在 R 上为增函数， a 的取值不仅要保证f(x)在( ，1)上和1， )上都为增函数，仍要保证x1<1，x21 时，有 f(x1)<f(x2)练习 3：如函数 f(x)2x2 lnx 在其定义域内的一个子区间(k 1，k1)内不为单调函数，就实数 k 的取值范畴为 ()A 1， )B 1， 3 2C 1、2)D 答案B3，2) 2，由解析由于 f(x)定义域为 (0， )， f (x) 4x 1xf (x) 0，12得 x .<k 1<1k 1据题意，2，k 103练习 4:解得 1k<2，选 B.第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -已知函数 y2x 33ax212x(1) 如函数在 R上为单调增函数，就a 的取值范畴为.解析: 如函数在 R 上为单调增函数由于 y6 x 26ax12开口方向向上，所以0、即 36a 2420、 即22a22 时条件成立；（ 2）已知函数y为.2x 33ax212x ，如函数的单调递减区间为1、2，就 a 的值解析: 如函数的单调递减区间为2所以1、2 为方程 6 x6ax120 的两个实数根 、 由韦达定理， 12a、a3(3) 如函数在 2、) 上为单调增函数，就a 的取值范畴为.解析: 如函数在 2、) 上为单调增函数分类争论： 当0、 即 36 a2420、 即22a22条件成立；0 当a22a22或a22a4，f (2)0a3即3a22 或 a22 条件成立；综上， a3 条件成立， a3 为所求 .第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -