第03章图像变换精.ppt

第03章图像变换第1页，本讲稿共129页教学目的1.了解图象变换的目的、常用方法和一般表达式；2.掌握二维离散傅里叶变换DFT、离散余弦变换DCT、沃尔什哈达玛变换WHT，K-L变换，小波变换DWT的定义和基本性质。3了解各种变换的物理含义及其在数字图像处理中的应用。本章教学安排6-9学时第2页，本讲稿共129页图像变换的预备知识图像变换的预备知识 1.数字图像处理方法分类数字图像处理方法分类 数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理法（空域法），一类是频域法（或称变换域法）。2.图像变换的目的图像变换的目的：使图像的处理简化，便于处理。比如：f(x,y)变换域(频域)变换结果 第3页，本讲稿共129页3.频域进行图像处理的优点频域进行图像处理的优点：人们可以在空域或频域中同时思考处理问题的方法，有时可以使用简单的方法来解决非常复杂的问题，图像变换可以减小计算维数，使算术运算次数大大减少，从而提高图像处理的速度。如：空域中的函数卷积是一项比较复杂的运算，但在频域中就转化为简单的函数乘法。图像很多特性在频域上表现得很清楚，图像处理与滤波相结合。图像频谱函数的统计特性表明：图像的大部分能量都是集中在低，中频段的，高频分量很弱，图像的大部分能量都是集中在低，中频段的，高频分量很弱，它仅仅体现了图像的某些细节，或边缘轮廓，图像的噪声也对它仅仅体现了图像的某些细节，或边缘轮廓，图像的噪声也对应着高频部分。应着高频部分。HPF 突出边缘轮廓和细节部分。LPF 减小噪声。去相关性好，可以通过变换编码，实现压缩。编码 减少象素的相关性 去除冗余信息。利用某些频域变换可从图像中提取图像的特征。第4页，本讲稿共129页4.变换的要求：变换的要求：可逆有好处算法不复杂5.图像变换的方法：图像变换的方法：二维傅里叶变换，沃尔什变换WT，哈达码变换HT，离散余弦变换DCT,卡胡南劳埃夫变换（K-L）,小波变换等等。6.图像变换的应用：图像变换的应用：数字图像处理的变换式需满足一定的正交条件，有时也称为酉变换，它被广泛地运用于图像特征提取，图像增强，图像复原，图像识别以及图像编码等处理中。第5页，本讲稿共129页3.1.1二维连续傅里叶变换二维连续傅里叶变换二维连续函数 f(x,y)的傅里叶变换定义如下：设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的傅里叶变换，并定义 为 的反变换。和 为傅里叶变换对。（3.1）（3.2）3.1 3.1 二维离散傅里叶变换（二维离散傅里叶变换（DFTDFT）第6页，本讲稿共129页二维函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为:式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。第7页，本讲稿共129页【例【例3.1】求图3.1所示函数 的傅里叶变换。解：解：将函数代入到(3.1)式中，得 其幅度谱为第8页，本讲稿共129页二维信号的图形表示图3.1 二维信号f(x,y)第9页，本讲稿共129页（a）信号的频谱图 （b）图（a）的灰度图图3.2 信号的频谱图 二维信号的频谱图第10页，本讲稿共129页3.1.2 3.1.2 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换l尺寸为MN的离散图像函数的DFT l反变换可以通过对F(u,v)求IDFT获得（3.3）（3.4）第11页，本讲稿共129页注意：系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数 ，只要两式系数的乘积等于1MN即可。物理含义：若把一个输入信号作傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。是一种分析与处理信号的重要手段。第12页，本讲稿共129页 二维离散DFT的傅里叶谱，能量和相位谱和连续的类似，差别为独立变量为离散的。lDFT变换进行图像处理时有如下特点：l（1）直流成分为F(0,0)。l（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。l（3）图像f(x,y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。（3.5）（3.6）第13页，本讲稿共129页3.1.3 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质二维离散傅里叶变换的性质1平移性平移性l我们首先来看一维的情况。l设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：第14页，本讲稿共129页幅度谱：（a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图 第15页，本讲稿共129页nDFT取的区间是0,N-1，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。n根据定义，有 n在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f(x)，可以在一个周期的变换中（u0，1，2，N1），求得一个完整的频谱。（3.7）第16页，本讲稿共129页l推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有：lDFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。l(0,0)点的变换值为：即 f(x,y)的平均值。l如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。（3.8）（3.9）第17页，本讲稿共129页（a）原始图像 (b)中心化前的频谱图 (c)中心化后的频谱图图3.5 图像频谱的中心化 第18页，本讲稿共129页推广到一般情况，为和第19页，本讲稿共129页2.周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为N，则有F(u，v)=F(u+N，v)=F(u，v+N)=F(u+N，v+N)共轭对称性表示为所以，(1)为了完全确定F(u,v)或f(x,y),只需变换一个周期。(2)在求一个周期内的值时，只需求出半个周期。第20页，本讲稿共129页3分离性分离性l离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里l对于每个x值，当v0，1，2，N1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。（3.10）（3.11）第21页，本讲稿共129页n二维变换可以通过两次一维变换来实现。n同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。图3.6 二维DFT变换方法第22页，本讲稿共129页4离散卷积定理离散卷积定理l设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为l卷积定理卷积定理 （3.12）（3.13）第23页，本讲稿共129页说明：工程中常用卷积定理，据两函数傅立叶变换乘积之反变换来求函数的卷积。此时，被卷积函数及其频谱将都是周期函数。因此，求出的卷积将不是欲求的真实卷积而是循环卷积。一维循环卷积定理设 f(x)(x=0,1,.A-1)及g(x)(x=0,1,.,C-1)是两个有限离散函数，其线性卷积为 式中，N=A+C-1.第24页，本讲稿共129页如果利用卷积定理来计算该卷积，则相当于把f(x)和g(x)分别以A和C为周期进行周期延拓，则上式可改写成（只取一个周期），求得的结果将不是需要的Z(x)而是周期循环的。当f(x)和g(x)周期延拓成 和 以后，进入求和区的不仅是原函数本身，还有它们延拓出来的部分，从而在相乘与求和时产生虚假的周期卷积结果。第25页，本讲稿共129页为了使得循环卷积和线性卷积的结果保持一致，可以对原被卷积函数补零。由于卷积结果的长度为N=A+C-1(即求和区长度)，因此，可以把两个被卷积函数的长度扩展到N，并在原函数定义区间以外的部分补零。即取于是，在一个周期N的卷积计算中，便不会发生边缘效应，从而求得的卷积结果就等于所要求的真实卷积。第26页，本讲稿共129页同样，在利用离散卷积定理计算二维离散卷积时，也必须对被卷积函数进行延拓和补零。如果被卷积函数f(x,y)和g(x,y)的大小分别为AB和CD,则延拓后的函数应为 式中 ，欲求的卷积为 第27页，本讲稿共129页【例【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。解：解：MATLAB程序如下：A=imread(pout.tif);%读入图像 imshow(A);%显示图像 A2=fft2(A);%计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2);%将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(A2)+1),0 10);%显示变换后的频谱图第28页，本讲稿共129页 （a）原始图像 （b）图像频谱图3.7 傅里叶变换第29页，本讲稿共129页fft,fft2,fftn分别可以实现一维，二维和N维DFT算法。Ifft,ifft2,ifftn则用来计算反DFT。调用格式为：A=fft(X,N,DIM)A=fft2(X,MROWS,NCOLS)A=fftn(X,SIZE)第30页，本讲稿共129页3.1.4 3.1.4 二维离散傅里叶变换的计算量分析二维离散傅里叶变换的计算量分析 离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于 ，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长，以至于无法容忍。为此，研究离散傅立叶变换的快速算法(FFT)是非常有必要的。由于二维离散傅立叶变换具有可分离性，即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，因此，仅研究一维离散傅立叶变换的快速算法即可。计算流程简单表示如下：f(x,y)列f(x,y)=F(u,y)FT(u,y)列F(u,y)T=F(u,v)T F(u,v)第31页，本讲稿共129页二维反变换具有和正变换完全相同的计算程序，只需把被变换函数由f(x,y)改变成F(u,v).计算量为：二维DFT，乘法次数需 。二维FFT，乘法次数需2*。第32页，本讲稿共129页优点：（1）DFT在数字信号处理和数字图像处理中的应用十分广泛，它建立了离散实域和离散频域之间的联系，若直接在时域中处理卷积和相关运算，计算量将随着N的平方而增加，则计算量大，费时，很难达到实时处理的要求。（2）有快速算法FFT，这样计算量也大大减少，提高了处理速度。N较大时，计算量的节省是相当可观的。缺点：（1）需计算复数而不是实数，进行复数运算比较费事。（2）收敛速度慢。3.1.5二维二维DFT的特点的特点第33页，本讲稿共129页傅立叶变换是正交变换。离散傅立叶变换满足正交条件，即 第34页，本讲稿共129页DFT计算计算设变换为DFT变换，则有 由可分离性，,若记 其中，变形为：第35页，本讲稿共129页当MN=44时，,例：一幅数字图象为：通过DFT计算 ；解：DFT系数第36页，本讲稿共129页作业作业1：对 进行DFT，求 2.试分析如何将DFT的定义表达式用矩阵形式表达，写出各个矩阵的通式。第37页，本讲稿共129页例：例：3.2二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCT）的傅里叶变换为，从傅里叶变换的性质可知当 为偶函数时，虚 数项为零不需要计算，变换的计算只有余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，DCT是K-L变换的最好近似。因此，它是简化傅氏变换的重要方法。它克服了DFT复数变换，运算量大的缺点。保持了傅氏变换的频率特性是语音和图像变换的次佳形式（较K-L次之）主要用于图像信息压缩传输和计算机多媒体技术传输。第38页，本讲稿共129页3.2.1一维离散余弦变换一维离散余弦变换一维离散序列 若以-1/2为折点，形成一个-N-1序列，和原序列构成2N的偶函数序列，此时变换核为 离散变换的范围为 第39页，本讲稿共129页-N-10N-1NN+1f(n)图3.8 延拓示意图 x=-1/2第40页，本讲稿共129页按傅里叶变换的性质，虚数项为0，剩余弦项 令 此矩阵第一行正交向量其模 1，归一化，正交向量模值为1。第41页，本讲稿共129页相应反变换为 正变换写成向量形式 其中核矩阵 当N=4时,G可写为 第42页，本讲稿共129页首先解决如何形成二维偶函数，即为一维的推广。一幅图像水平方向，垂直方向对折镜象，形成一个2M2N偶函数图像。3.2.2 3.2.2 二维离散余弦变换二维离散余弦变换 对折镜象有两种形式 偶对称偶函数（围绕图像边界折叠 成对称形式）（a）奇对称偶函数（重叠一个图像元 素来折叠）(b)如图：(a)(b)第43页，本讲稿共129页此处只讨论偶对称偶函数的形式表示。其对折原则为：此时，2M2N新图像的对称中心（-1/2，-1/2），用 二维傅里叶变换 第44页，本讲稿共129页是偶函数，四个象限完全相同。由对称点的傅里叶变换，可得（正）余弦变换为：实用中还应把基向量归一化，归一化的变换公式为：式中 第45页，本讲稿共129页重新整理则 表示成矩阵:令 第46页，本讲稿共129页第47页，本讲稿共129页第48页，本讲稿共129页应用应用：DCT是JPEG压缩算法的基础，对于一般的图像来说，DCT系数许多都是接近于0的数值，可以丢弃这些系数而不会对图像的重建质量产生重大影响。对于一般图像，在二维DCT的变换域中，幅值较大的系数集中在低频域，图2-3-1是一幅图像上的两个88像素矩阵及其二维DCT系数矩阵。图2-3-1(a)是背景区域的一小块图像，它的系数矩阵左上角的50为DCT系数的直流分量，它标志着该像素块的亮度平均值，其余系数皆为零，说明在变换域中系数的分布是相当集中的。图2-3-1(b)为细节较多的区域里的一小块图像，其系数的分布集中的程度要差一些。第49页，本讲稿共129页 图 2-3-1 图像块的DCT变换(a)背景部分图像块的DCT；(b)细节部分图像块的DCT直流系数第50页，本讲稿共129页根据可分离性，可以采用两次一维DCT实现信号的二维DCT，流程和DFT类似：说明：1.快速DCT,由FFT的思路发展而来。2.二维DCT频谱分布与DFT的相差一倍。图 DFT和DCT的频谱分布（a）DFT频谱分布；（b）DCT频谱分布 第51页，本讲稿共129页图 2-3-2 Z字形扫描对自然景物图像的统计表明，DCT系数矩阵的能量集中在反映水平和垂直低频分量的左上角。量化以后，DCT系数矩阵变得稀疏，位于矩阵右下角的高频分量系数大部分被量化为零。图 DCT系数的Z形扫描顺序 第52页，本讲稿共129页Matlab中，dct2 表示二维DCT变换 格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dct2(A,m,n)idct2 表示二维DCT反变换 格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)B=idct2(A,m,n)dctmtx 表示计算DCT变换矩阵 格式：D=dctmtx(n)第53页，本讲稿共129页【例【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。解：解：MATLAB程序如下：A=imread(pout.tif);%读入图像 I=dct2(A);%对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A);%显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),0 5);第54页，本讲稿共129页（a）原图 （b）DCT系数图3.10 离散余弦变换第55页，本讲稿共129页应用应用：DCT是JPEG压缩算法的基础，对于一般的图像来说，DCT系数许多都是接近于0的数值，可以丢弃这些系数而不会对图像的重建质量产生重大影响。例例：以下代码计算输入图像的8*8个块的二维DCT，然后丢弃块中那些近似于0的数值，只保留64个DCT系数中的10个，最后对每一块使用二维逆DCT重新构造图像。第56页，本讲稿共129页I=imread(cameraman.tif);I1=im2double(I);T=dctmtx(8);%产生二维DCT变换矩阵B=blkproc(I1,8 8,P1*x*P2,T,T);%计算二维DCTMask=1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;%二值掩膜，用来压缩DCT系数B2=blkproc(B,8 8,P1.*x,Mask);%只保留DCT变换的10个系数I2=blkproc(B2,8 8,P1*x*P2,T,T);%DCT反变换，用来重构图像Subplot(1,2,1),imshow(I)Subplot(1,2,2),imshow(I2)第57页，本讲稿共129页比较一下压缩前和压缩后的图像质量，从图中可看出，虽然几乎85%的DCT系数被丢弃，导致重建的图像有一些质量损失，但是图像仍然是清晰可辨的。压缩前图像 压缩后图像第58页，本讲稿共129页2.对 进行DCT，求作业作业:1.DCT与DFT之间有什么关系？试推导它们之间的关系。第59页，本讲稿共129页二维二维DFT 二维二维DCT式中 第60页，本讲稿共129页3.3 3.3 二维离散沃尔什二维离散沃尔什-哈达玛变换（哈达玛变换（DHTDHT）l前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。lDFT：在快速算法中要用到复数乘法，占用的时间仍然较多；DCT:变换由正弦或余弦等三角函数为基本的正交函数基，在快速算法中需用三角函数乘法，占用时间仍然较多。在某些应用领域中，需要更为便利更为有效的变换方法。沃尔什变换就是其中的一种。第61页，本讲稿共129页l图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。l沃尔什（Walsh）变换。l沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。与傅立叶变换相比，沃尔什变换的主要优点在于存储空间少和运算速度高，这一点在大量数据需要实时处理时，具有较大的优越性。l沃尔什函数有三种排列或编号方式，(按列率排列或称沃尔什排列，佩利排列和哈达玛排列），以哈达玛排列最便于快速计算。l采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。第62页，本讲稿共129页 一维一维DWT3.3.1Walsh变换变换其中，正，反变换核只差1个常数 ，用n位二进制码表示x,u，就是二进制下x的第i位。第63页，本讲稿共129页若 则 则 N=2时1-D沃尔什变换核的值 xu0(0)1(1)0（0）+1（1）+-第1个位置(0,0)处计算值为第2个(1,0)处.第4个(1,1)处.第64页，本讲稿共129页若 则N=4时1-D沃尔什变换核的值为 xu0(00)1(01)2(10)3(11)0(00)+1(01)+-2(10)+-+-3(11)+-+计算第1个位置(0,0)处的值为：计算第1个位置(1,2)处的值为：第65页，本讲稿共129页其它依此类推，第66页，本讲稿共129页思考：若 同理可以求得 该行中信号符号改变的次数，即该行的列率。第67页，本讲稿共129页二维二维DWT.,正反变换矩阵完全一样上式中，p(u,x)Q(y,v),方法类似于一维的。第68页，本讲稿共129页例题例题：二维数字图像信号是均匀分布的，即 求此信号的二维沃尔什变换。(可编程验证)解：由于图像是44矩阵，n=2，M=N=4，因此二维DWT为：上例表明：二维沃尔什变换具有能量集中的性质，原始图像数据越是均匀分布，沃尔什变换后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，应用二维沃尔什变换可以压缩图像信息。第69页，本讲稿共129页作业作业：对一幅数字图像为 进行DWT，求 并分析变换后W矩阵有什么特点。.第70页，本讲稿共129页3.3.2.DHT（特殊排序的（特殊排序的walsh变换）变换）1.一维一维DHT。u=0,1.N-1;x=0,1N-1 注意：1)正反变换核只差一个常数 。2)表示模2加法 ，异或。3)第71页，本讲稿共129页若 则 则 N=2时1-D哈达玛变换核的值：（各点值为 ）xu0(0)1(1)0（0）+1（1）+-第1个位置(0,0)处计算值为：第2个(1,0)处.：第4个(1,1)处.：第72页，本讲稿共129页若 则 N=4时1-D哈达玛变换核的值：（各点值为：）xu0(00)1(01)2(10)3(11)0(00)+1(01)+-+-2(10)+-3(11)+-+计算位置(3,2)处的值为：第73页，本讲稿共129页其它依此类推，规律：左上三个角的重复一次，右下角的反一次符号。思考：若同理可以求得哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。第74页，本讲稿共129页Hadamard矩阵的特点：，高阶可由低阶推得。最小阶，高阶（为正整数）。如：克罗内克直积第75页，本讲稿共129页哈达玛变换的优点：哈达玛变换的优点：1)只有加，减运算，计算简单，且计算精度高。2)正，反变换相同3)不存在正，余弦函数4)哈达玛矩阵具有简单的递推关系，即高阶可由两个低阶矩阵的克罗内克直积求得。第76页，本讲稿共129页当 ，时，有克罗内克直积第77页，本讲稿共129页2.二维哈达玛变换二维哈达玛变换把一维推广到二维，又 P(u,x)Q(y,v)正反变换矩阵一样。第78页，本讲稿共129页例题例题：，求这个信号的二维DHT。解：作业：对数字图像 进行DHT,求H(u,v).第79页，本讲稿共129页常用函数：Hadamard函数格式：H=hadamard(n),返回一个n*n的hadamard矩阵。实例见书第80页，本讲稿共129页3.4 KL变换变换提出提出 K-L变换是由karhunen和loeve两人对连续随机过程作为级数展开而引出的，随机图像序列是由Hotelling首先研究出的一种主分量方法，实际上它是k-L级数展开的离散等效方法。它又称HotellingHotelling变换，特征向量变换，主成分变变换，特征向量变换，主成分变换，均方误差准则下的最佳变换换，均方误差准则下的最佳变换。以矢量信号的协方差矩阵的特征向量的正交变换；对应于随机图像而提出的。K-L变换随各批图像的统计性质不同而有不同的变换核矩阵，即变换核矩阵是由某批图像的统计性质来确定的，它的变换核不是固定不变的。第81页，本讲稿共129页 原因为：在获取，通过通讯通道传输任何一幅图像时，总是混杂有许多随机干扰因素，我们称得到的图像为随机图像随机图像。例如，我们在用摄像机向数字计算机输入一幅静止的图像时，由于摄像过程中的电压起伏，电路的热噪声，数字化过程中的量化误差等等，使得在不同时刻输入的同一幅图像，彼此不全相同。引入k-L变换。如遥感多光谱图像对同一地区有多幅光谱图像，每一幅图像是在特定光谱波长拍摄的，这样就可进行统计。又如一幅图像通过卫星传送了N次，这是由于电波传播的影响，N幅图像互有差异，这样也可进行统计。第82页，本讲稿共129页定义定义设NN的图像f(x,y)传送了M次，因受不同干扰，接收到的图像是一个样本集合 。第i次获得的图像fi(x,y),可用NN1维向量Xi表示。用Xi,j表示第i次图像中的第j行的N-1个分量。则上式变为则K-L变换正变换定义为：反变换定义为：.(由y来重建x)第83页，本讲稿共129页说明：度量随机变量之间的相关程度可用协方差矩阵表示，则X向量的协方差矩阵定义为:其中，E表示期望值，是X的平均值,在离散情况下，X向量的均值 可以用有限的M个样本的平均值来近似：Xi是 维向量。第84页，本讲稿共129页因为 是 维实对称矩阵，所以总可以找到 个正交特征向量。设 和 是 的特征向量和对应特征值，并设特征值按递减排序，即，那么A的行就是 的特征值对应的特征向量。即其中，表示第i个特征向量的第j个分量.第85页，本讲稿共129页 K-L变换的步骤：.由 求出特征值 ，特征向量 。.按由大到小顺序排列，将对应于 的 排列，.K-L变换矩阵 ，表明K-L变换是由中心化图像向量 与变换矩阵A相乘而得的变换图像向量 。第86页，本讲稿共129页性质性质 A.可以证明，y均值为0，B.C.是对角阵，各元素是互不相关的。即k-L变换解除了各个元素之间的相关性。第87页，本讲稿共129页 在图像中的应用在图像中的应用图像压缩图像压缩 在很多场合下，我们可以从 中取一部分大的特征向量，如K个，来构造A的近似矩阵 ，即压缩需满足两个方面的要求：1);2)由 重建原图像 (原图估值）与原图 具有最佳逼近。即 由 可以重建X的近似值 ，。可以证明 和X之间的均方误差为：。可通过取不同的K值来使 和X 之间的均方误差达到最小。第88页，本讲稿共129页特点特点 优点优点：K-L变换去相关性能好去相关性能好（完全不相关），使能量尽可能集中在较少的元能量尽可能集中在较少的元素素上，可用于压缩，满足同样质量，K-L变换保留的变换域元素是最少的，变换域的编码效率最高；缺点缺点：它不是变换核可分离的变换，无无快速算法快速算法；没有确定的变换矩阵没有确定的变换矩阵（它是一种和图像数据有关的变换）；计算量庞大；难以实用。第89页，本讲稿共129页思考题思考题：已知随机信号的协方差阵为，求正交变换矩阵T.第90页，本讲稿共129页3.5 小波变换简介 3.5.1小波变换的理论基础小波变换的理论基础 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是时间和频域的局部变换，能有效地从信号中提取局部信息，通过伸缩平移对信号进行逐步细化（通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度)。达到高频处作细致观察，低频处作粗略观察的目的。第91页，本讲稿共129页 1.连续小波变换（连续小波变换（CWT）像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。图3-5-1表示了正弦波和小波的区别，由此可以看出，正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的，而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0，小波趋于不规则、不对称。第92页，本讲稿共129页 图3-5-1 正弦波和小波（a）正弦波曲线；(b)小波曲线 第93页，本讲稿共129页 从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）用下式表示：(3-5-1)式（3-5-1）表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数。第94页，本讲稿共129页或将CWT表示为：设 是平方可积函数，是基本小波，则称为 的连续小波变换，简记为 。式中，为实数，且 。是尺度因子，表示基本小波的位移。常用的小波有：Haar小波小波：墨西哥帽小波：墨西哥帽小波：第95页，本讲稿共129页 基本小波函数()的缩放和平移操作含义如下：(1)缩放。简单地讲，缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小，则小波越窄，如图2-5-2所示。图2-5-2 小波的缩放操作 第96页，本讲稿共129页 (2)平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上，函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，如图2-5-3所示。图2-5-3 小波的平移操作(a)小波函数(t)；(b)位移后的小波函数(t-k)第97页，本讲稿共129页 CWT计算主要有如下五个步骤：第一步：取一个小波，将其与原始信号的开始一节进行比较。第二步：计算数值C，C表示小波与所取一节信号的相似程度，计算结果取决于所选小波的形状，如图3-5-4所示。第三步：向右移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号，如图3-5-5所示。第四步：伸展小波，重复第一步至第三步，如图3-5-6所示。第98页，本讲稿共129页图3-5-4 计算系数值C 第99页，本讲稿共129页图3-5-5 计算平移后系数值C 第100页，本讲稿共129页图3-5-6 计算尺度后系数值C 第101页，本讲稿共129页 第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。小波的缩放因子与信号频率之间的关系是：缩放因子scale越小，表示小波越窄，度量的是信号的细节变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，表示小波越宽，度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。第102页，本讲稿共129页 2.离散小波变换（离散小波变换（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。第103页，本讲稿共129页 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数字信号处理中常称为双通道子带编码。用滤波器执行离散小波变换的概念如图3-5-7所示。S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低 通 滤 波 器，通 过 该 滤 波 器 可 得 到 信 号 的 近 似 值A（Approximations），另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。第104页，本讲稿共129页图3-5-7 小波分解示意图第105页，本讲稿共129页 在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。第106页，本讲稿共129页 3.二维离散小波变换二维离散小波变换 二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广，其实质上是将二维信号在不同尺度上的分解，得到原始信号的近似值和细节值。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。分解的结果为：近似分量cA、水平细节分量cH、垂直细节分量cV和对角细节分量cD。同样也可以利用二维小波分解的结果在不同尺度上重构信号。二维小波分解和重构过程如图3-5-15所示。第107页，本讲稿共129页图3-5-15 二维小波分解和重构过程示意图（a）二维DWT；(b)二维IDWT 第108页，本讲稿共129页3.5.2离散小波变换在图像处理中的应用简介离散小波变换在图像处理中的应用简介 1.用小波变换进行图像分解用小波变换进行图像分解 使用小波变换完成图像分解的方法很多，例如，均匀分解、非均匀分解、八带分解、小波包分解等。其中八带分解是使用最广的一种分解方法，这种分解方法把低频部分分解成比较窄的频带，而对每一级分解得到的高频部分不再进一步进行分解。图3-5-16为八带分解示意图，用于分解的原始图像采用Matlab提供的预存图像文件woman2.mat，小波基函数为“haar”小波。图3-5-16（c）是用Matlab的小波工具箱编程进行分解得到的图像。第109页，本讲稿共129页图3-5-16 八带分解示意图(a)一次二维DWT；(b)两次二维DWT；(c)Woman二级分解图 水平细节对角细节垂直细节第110页，本讲稿共129页2.用小波变换进行图像处理用小波变换进行图像处理 对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT变换，将图像信息分解为高频成分H、V和D和低频成分A。对低频部分A，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法，如Huffman、DPCM等；对H、V和D部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。整个编码、解码流程如图2-5-17所示。第111页，本讲稿共129页图2-5-17 图像压缩编码、解码流程 第112页，本讲稿共129页 此外，还可以在对A、H、V和D部分编码后加上一个反馈环节，获取误差图像，并对其编码。这样压缩效果会更好。近年来，基于小波变换发展起来的图像编码有嵌入式零树小波编码EZW及在EZW算法基础上改进的层树分级编码SPIHT和最佳截断嵌入码块编码EBCOT等。ISO/IEC JTC1 SC29小组制定的JPEG2000静态图像编码标准中的图像变换技术就采用了离散小波变换，这些编码的最大特点是在不丢失重要信息的同时，能以较高的比率压缩图像数据，并且其算法计算量小。第113页，本讲稿共129页快速小波变换算法快速小波变换算法【例【例3.4】应用MATLAB实现小波变换的例子。解：解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif);%读入图像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,bior3.7);%进行二维小波变换A1=upcoef2(a,cA1,bior3.7,1);%利用多层小波分解重构近似分量或细节分量。H1=upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1=upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1=upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,192);%对索引图像的数据矩阵进行编码，192为最大编码值。title(Approximation A1)subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,192);title(Horizontal Detail H1)subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,192);title(Vertical Detail V1)subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,192);title(Diagonal Detail D1)第114页，本讲稿共129页 图3.16 小波变换结果图 第115页，本讲稿共129页load woman;subplot(2,2,1);image(X);colormap(map);title(原始图象);axis square;disp(压缩前图象大小:)whos(X);c,L=wavedec2(X,1,db1);%X代表原始信号，1表示层次数。ca1=appcoef2(c,L,db1,1);%提取二维小波变换低频系数。ch1=detcoef2(h,c,L,1);%提取分解后的水平高频系数。cv1=detcoef2(v,c,L,1);%提取分解后的垂直高频系数。cd1=detcoef2(d,c,L,1);%提取分解后的对角高频系数。a1=wrcoef2(a,c,L,db1,1);%低频重构h1=wrcoef2(h,c,L,db1,1);%水平高频系数重构v1=wrcoef2(v,c,L,db1,1);%垂直高频系数重构d1=wrcoef2(d,c,L,db1,1);%对角高频系数重构c1=a1,h1;v1,d1;%将四个图放在一个窗口显示subplot(2,2,3);image(c1);colormap(map);title(分解后的低频，高频系数重构);axis square;ca1=wcodemat(ca1,400,mat,0);%以低频系数进行单支重构subplot(2,2,4);image(ca1);colormap(map);title(压缩后的图象)axis square;disp(压缩后图象大小);whos(ca1)【例【例3.5】应用小波变换实现图像压缩的例子。第116页，本讲稿共129页运行结果运行结果：压缩前图象大小:Name Size Bytes Class X 256x256 524288 double a