第四章导热问题数值解法基础_传热学.ppt

第四章导热问题数值第四章导热问题数值解法基础解法基础_传热学传热学萌芽阶段萌芽阶段萌芽阶段萌芽阶段开始走向工业应用阶段开始走向工业应用阶段开始走向工业应用阶段开始走向工业应用阶段近代发展近代发展近代发展近代发展4-1 4-1 4-1 4-1 计算传热学的发展简史计算传热学的发展简史计算传热学的发展简史计算传热学的发展简史萌芽阶段（萌芽阶段（萌芽阶段（萌芽阶段（1965-19741965-19741965-19741965-1974年）年）年）年）1933193319331933年英国科学家年英国科学家年英国科学家年英国科学家ThomThomThomThom应用手摇计算机应用手摇计算机应用手摇计算机应用手摇计算机 解决解决解决解决了外掠圆柱流动的数值计算了外掠圆柱流动的数值计算了外掠圆柱流动的数值计算了外掠圆柱流动的数值计算始于始于始于始于1960196019601960年年年年1966196619661966年，世界上第一本介绍计算传热学的杂志年，世界上第一本介绍计算传热学的杂志年，世界上第一本介绍计算传热学的杂志年，世界上第一本介绍计算传热学的杂志Jounal of Computational PhysicsJounal of Computational PhysicsJounal of Computational PhysicsJounal of Computational Physics创刊创刊创刊创刊1969196919691969年，年，年，年，Spadling Spadling Spadling Spadling 在英国帝国理工学院创建在英国帝国理工学院创建在英国帝国理工学院创建在英国帝国理工学院创建了了了了CHAMCHAMCHAMCHAM（Concentration Heat and Mass Concentration Heat and Mass Concentration Heat and Mass Concentration Heat and Mass,Limited),Limited),Limited),Limited)1972197219721972年，年，年，年，SIMPLESIMPLESIMPLESIMPLE算法问世算法问世算法问世算法问世走向工业应用阶段（走向工业应用阶段（走向工业应用阶段（走向工业应用阶段（1975-19841975-19841975-19841975-1984年）年）年）年）1979197919791979年，国际杂志年，国际杂志年，国际杂志年，国际杂志Numerical Heat Transfer Numerical Heat Transfer Numerical Heat Transfer Numerical Heat Transfer 创刊，分为创刊，分为创刊，分为创刊，分为Application Application Application Application 和和和和 Fundamentals Fundamentals Fundamentals Fundamentals1979197919791979年，大型通用软件年，大型通用软件年，大型通用软件年，大型通用软件PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Numerical Integration Code Series)Numerical Integration Code Series)Numerical Integration Code Series)Numerical Integration Code Series)问世问世问世问世1979197919791979年，年，年，年，LconardLconardLconardLconard创建了优于中心差分格式的创建了优于中心差分格式的创建了优于中心差分格式的创建了优于中心差分格式的QUICKQUICKQUICKQUICK格式格式格式格式(精度高和稳定性好精度高和稳定性好精度高和稳定性好精度高和稳定性好 ）1980198019801980年，年，年，年，PatankerPatankerPatankerPatanker教授的名著教授的名著教授的名著教授的名著“Numerical“Numerical“Numerical“Numerical Heat Transfer and Fluid Flow”Heat Transfer and Fluid Flow”Heat Transfer and Fluid Flow”Heat Transfer and Fluid Flow”出版出版出版出版随后，许多商用软件如随后，许多商用软件如随后，许多商用软件如随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD,CFXFLUENT,Star-CD,CFXFLUENT,Star-CD,CFXFLUENT,Star-CD,CFX问问问问世世世世近代发展（近代发展（近代发展（近代发展（1985198519851985年年年年-至今）至今）至今）至今）Singhal Singhal Singhal Singhal 在在在在“Numerical Heat Transfer“Numerical Heat Transfer“Numerical Heat Transfer“Numerical Heat Transfer“撰撰撰撰文指出了促使数值传热学应用于实际应解决的文指出了促使数值传热学应用于实际应解决的文指出了促使数值传热学应用于实际应解决的文指出了促使数值传热学应用于实际应解决的问题问题问题问题前后处理软件的快速发展前后处理软件的快速发展前后处理软件的快速发展前后处理软件的快速发展巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接数值模拟（数值模拟（数值模拟（数值模拟（DNS)DNS)DNS)DNS)和大涡模拟（和大涡模拟（和大涡模拟（和大涡模拟（LES)LES)LES)LES)的发展的发展的发展的发展大型商业软件投放市场大型商业软件投放市场大型商业软件投放市场大型商业软件投放市场1993199319931993年，年，年，年，PHOENICS PHOENICS PHOENICS PHOENICS对中国的禁运被解除，中国对中国的禁运被解除，中国对中国的禁运被解除，中国对中国的禁运被解除，中国科技大学火灾实验室首先买进了使用权科技大学火灾实验室首先买进了使用权科技大学火灾实验室首先买进了使用权科技大学火灾实验室首先买进了使用权4-2 4-2 导热问题数值解概述导热问题数值解概述分析解法与数值解法各自的优缺点分析解法与数值解法各自的优缺点分析解法与数值解法各自的优缺点分析解法与数值解法各自的优缺点数值解法的基本思路数值解法的基本思路数值解法的基本思路数值解法的基本思路有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想分析解法与数值解法各自的优缺点分析解法与数值解法各自的优缺点分析解法与数值解法各自的优缺点分析解法与数值解法各自的优缺点求解过程中的数学分析求解过程中的数学分析较严谨较严谨求求解解结结果果以以函函数数形形式式表表示示，能能清清楚楚地地显显示示各各种种因素对温度分布的影响因素对温度分布的影响只能求解一些非常简单只能求解一些非常简单的问题的问题可以求解许多复杂导热可以求解许多复杂导热问题，如多维、复杂边问题，如多维、复杂边界条件界条件 、复杂几何形状、复杂几何形状和物性不均匀的问题和物性不均匀的问题具有一定精度具有一定精度只能求解离散点上的温只能求解离散点上的温度场，无法获得连续的度场，无法获得连续的温度场温度场近似的方法近似的方法分分分分析析析析解解解解法法法法数数数数值值值值解解解解法法法法数值解法的基本思路数值解法的基本思路数值解法的基本思路数值解法的基本思路数学描写（方程及边界条件，初始条件）数学描写（方程及边界条件，初始条件）区域离散化或区域区域离散化或区域-时间离散化时间离散化建立节点离散方程（节点代数方程）建立节点离散方程（节点代数方程）代数方程求解代数方程求解问题的解及解的讨论问题的解及解的讨论物理问题物理问题分析解分析解有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想有限差分法的基本思想基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：把原来在时间和空间坐标中连续变化的物把原来在时间和空间坐标中连续变化的物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散理量（如温度、压力、速度和热流等），用有限个离散点上的数值集合来近似表示点上的数值集合来近似表示数学基础：数学基础：数学基础：数学基础：用差商代替微商（导数）用差商代替微商（导数）几何意义：几何意义：几何意义：几何意义：用函数在某区域内的平均变化率代替函数用函数在某区域内的平均变化率代替函数的真实变化率的真实变化率差分格式差分格式差分格式差分格式：向后差分格式向后差分格式 、向前差分格式、向前差分格式 、中心差、中心差分格式分格式 举例说明举例说明举例说明举例说明xx1 1xx2 2xx3 3xx0 0 x xT TT T3 3T T2 2T T1 1T T0 0 b b d d c c a a图中用图中用T T0 0、T T1 1、T T2 2表示连续的表示连续的温度场温度场T T；xx为步长，它将区域为步长，它将区域的的x x方向划分为有限个数的区域，方向划分为有限个数的区域，xx0 0、xx1 1、xx2 2，它们可以，它们可以相等，也可以不相等。当相等，也可以不相等。当xx相相等时，等时，T T1 1处的真实变化率处的真实变化率a a可以可以用平均变化率用平均变化率b b、c c或或d d来表示，来表示，其中其中b b、c c和和d d分别表示三种不同分别表示三种不同差分格式下的温度随时间的变化差分格式下的温度随时间的变化率。率。x1x2x3x0 xTT3T2T1T0 b d c ab b为向后差分格式为向后差分格式 c c为向前差分格式为向前差分格式 d d为中心差分格式为中心差分格式 对于二阶微商的差分格式对于二阶微商的差分格式 4-3 4-3 建立离散方程的方法建立离散方程的方法区域与时间的离散化区域与时间的离散化区域与时间的离散化区域与时间的离散化建立离散方程的方法建立离散方程的方法建立离散方程的方法建立离散方程的方法区域与时间的离散化区域与时间的离散化区域与时间的离散化区域与时间的离散化K-1时刻时刻SWENPSWENPSWENPxyK时刻时刻K+1时刻时刻xy1.1.区域与时间的分割：区域与时间的分割：区域与时间的分割：区域与时间的分割：在所研究的时间和空间区在所研究的时间和空间区域内把时间和空间分割成域内把时间和空间分割成为有限大小的小区域为有限大小的小区域1.1.步长和节点步长和节点步长和节点步长和节点:2.2.节点控制体：节点控制体：节点控制体：节点控制体：以节点为以节点为中心，在两个节点的中心中心，在两个节点的中心处划分界限，定出节点的处划分界限，定出节点的控制面积，对于三维情况控制面积，对于三维情况则为控制体积或控制容积则为控制体积或控制容积建立离散方程的建立离散方程的建立离散方程的建立离散方程的方法一方法一方法一方法一：泰勒级数展开泰勒级数展开泰勒级数展开泰勒级数展开泰勒级数：泰勒级数：举例举例举例举例：常物性、无内热源二维稳态导热：常物性、无内热源二维稳态导热：常物性、无内热源二维稳态导热：常物性、无内热源二维稳态导热建立离散方程的建立离散方程的建立离散方程的建立离散方程的方法二方法二方法二方法二：控制体热平衡法：控制体热平衡法：控制体热平衡法：控制体热平衡法控制体热平衡法建立节点方程的过程控制体热平衡法建立节点方程的过程控制体热平衡法建立节点方程的过程控制体热平衡法建立节点方程的过程：可以解决导热系数是温度的函数及内热源分布非均匀的可以解决导热系数是温度的函数及内热源分布非均匀的情况；情况；适用于推导内节点和边界节点并具有明确的物理意义适用于推导内节点和边界节点并具有明确的物理意义控制体热平衡法的优点：控制体热平衡法的优点：控制体热平衡法的优点：控制体热平衡法的优点：将能量守恒方程应用于控制体，建立该节点与周围节点将能量守恒方程应用于控制体，建立该节点与周围节点之间的能量平衡关系式，再利用傅立叶的导热定律，最之间的能量平衡关系式，再利用傅立叶的导热定律，最后获得控制体节点温度与周围节点温度之间的关系式后获得控制体节点温度与周围节点温度之间的关系式 1 1 1 1 控制体的内节点方程控制体的内节点方程控制体的内节点方程控制体的内节点方程 (i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S(i,j+1)NP x x y y考察图中的节点考察图中的节点P P及及其控制体，由能量平其控制体，由能量平衡关系应有衡关系应有:式中，式中，Q QW W、Q QE E、Q QS S和和Q QN N分别为邻近节点分别为邻近节点W W、E E、S S和和N N通过传导方式传通过传导方式传给节点给节点P P的热流量；的热流量；Q QV V为单位时间控制体内热源为单位时间控制体内热源的发热量；的发热量；为控制体单为控制体单位时间内热能的增加量。位时间内热能的增加量。(i,j)oyx(i-1,j)W(i+1,j)E(i,j-1)S(i,j+1)NP x x y y控制体的发热量控制体的发热量 q qV V为为单位时间单位体积的内热源发热量。单位时间单位体积的内热源发热量。由导热傅立叶定律由导热傅立叶定律 前者为时间上的前者为时间上的向前差分向前差分，而后者为时间上，而后者为时间上向后向后差分差分。控制体单位时间的内能增加量为控制体单位时间的内能增加量为 ：显式差分格式（采用时间的向前差分）显式差分格式（采用时间的向前差分）隐式差分格式（采用时间的向后差分）隐式差分格式（采用时间的向后差分）显式差分格式显式差分格式显式差分格式显式差分格式：最突出的优点是节点温度表达式最突出的优点是节点温度表达式的右边只涉及的右边只涉及K K时刻的节点温度值，那么只要知道时刻的节点温度值，那么只要知道这一时刻周围节点的温度值就可以求出该节点的这一时刻周围节点的温度值就可以求出该节点的下一时刻的温度值；下一时刻的温度值；隐式差分格式隐式差分格式隐式差分格式隐式差分格式：温度表达式的两端都是同一温度表达式的两端都是同一K K时刻时刻的节点温度值，这就意味着必须同时计算同一时的节点温度值，这就意味着必须同时计算同一时刻所有节点的温度值，即必须联立求解刻所有节点的温度值，即必须联立求解K K时刻所有时刻所有节点的差分方程组节点的差分方程组2 2 2 2 控制体的边界节点方程控制体的边界节点方程控制体的边界节点方程控制体的边界节点方程SNWPTyyxx1 1 1 1）对流换热边界条件下的节）对流换热边界条件下的节）对流换热边界条件下的节）对流换热边界条件下的节点方程点方程点方程点方程 边界节点边界节点P P，其控制体的热平衡，其控制体的热平衡关系式为关系式为 SNWPTyyxxh hx=ySNWPTyyxxh h显式差分格式显式差分格式x=ySNWPTyyxxh h隐式差分格式隐式差分格式2 2 2 2）绝热边界条件下的节点方程）绝热边界条件下的节点方程）绝热边界条件下的节点方程）绝热边界条件下的节点方程。S SN NE Exx绝绝热热边边界界yyP P 绝热边界节点绝热边界节点P P，其控制体，其控制体的热平衡关系式为的热平衡关系式为 S SN NE Exx绝绝热热边边界界yyP P x=ySNExx绝绝热热边边界界yyP 显式差显式差分格式分格式x=ySNExx绝绝热热边边界界yyP 隐式差隐式差分格式分格式4-4 4-4 节点离散方程组的求解节点离散方程组的求解离散方程的形式离散方程的形式离散方程的形式离散方程的形式离散方程的求解方法离散方程的求解方法离散方程的求解方法离散方程的求解方法迭代法求解代数方程组的过程迭代法求解代数方程组的过程迭代法求解代数方程组的过程迭代法求解代数方程组的过程求解注意事项求解注意事项求解注意事项求解注意事项离散方程的形式离散方程的形式离散方程的形式离散方程的形式 对应于离散温度场的每一个节点均可以列出相对应于离散温度场的每一个节点均可以列出相应的差分方程，这样就可以得出与节点数目相同的应的差分方程，这样就可以得出与节点数目相同的一组代数方程组。当联立求解这个代数方程组时，一组代数方程组。当联立求解这个代数方程组时，最后就可以得出每一个节点的温度值。最后就可以得出每一个节点的温度值。离散方程的求解方法离散方程的求解方法离散方程的求解方法离散方程的求解方法1 1 直接求解直接求解:高斯消元法、列主元素消去法高斯消元法、列主元素消去法和矩阵求逆法和矩阵求逆法）当未知数个时，运算次数）当未知数个时，运算次数相当可观相当可观2 2 迭代法迭代法:高斯赛德尔迭代和超（欠）松高斯赛德尔迭代和超（欠）松弛迭代）弛迭代）依据节点方程组不断采用节点温度依据节点方程组不断采用节点温度之最新值，代替原来的值，直到其相对偏差之最新值，代替原来的值，直到其相对偏差小于允许值为止小于允许值为止 迭代法求解代数方程组的过程迭代法求解代数方程组的过程 1 1 1 1 迭代求解该方程组的思路迭代求解该方程组的思路迭代求解该方程组的思路迭代求解该方程组的思路：寻找一个由（寻找一个由（T T1 1，T T2 2，T Tn n）组成的列向量，）组成的列向量，使其收敛于某一个极限向量（使其收敛于某一个极限向量（T T1 1*,T,T2 2*,，T Tn n*）,且该极限向量就是该方程的精确解。且该极限向量就是该方程的精确解。2 2 2 2 收敛判断标准（非稳态导热）收敛判断标准（非稳态导热）收敛判断标准（非稳态导热）收敛判断标准（非稳态导热）确定节点确定节点(区域离散化区域离散化)建立节点离散方程（节点代数方程）建立节点离散方程（节点代数方程）求解代数方程求解代数方程解的分析解的分析建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值是否收敛是否收敛改进初场改进初场YesNoNo初场：采用迭代法初场：采用迭代法求解需要对被求解求解需要对被求解的温度场预先假定的温度场预先假定一个解，并在求解一个解，并在求解过程中不断改进过程中不断改进求解注意事项求解注意事项求解注意事项求解注意事项1.1.差分格式的稳定性：差分格式的稳定性：不稳定性：指差分方程的解出现忽高忽低的现象，甚至会不稳定性：指差分方程的解出现忽高忽低的现象，甚至会出现从某一时刻起热量会自发地从低温节点向高温节点传递的出现从某一时刻起热量会自发地从低温节点向高温节点传递的现象。现象。2.2.计算区域的划分或步长的选取：计算区域的划分或步长的选取：直观与经验直观与经验3.3.迭代初值：迭代初值：4.4.收敛性：收敛性：将时间格子逐步分细使近似计算解接近于精确解将时间格子逐步分细使近似计算解接近于精确解5.5.误差分析：误差分析：截断误差与数值（舍入）误差，前者由于有限截断误差与数值（舍入）误差，前者由于有限差分代替导数所造成差分代替导数所造成,取决于初始给定的温度分布、边界条件、取决于初始给定的温度分布、边界条件、有限差分格式的选择、在计算中有限差分格式的选择、在计算中FoFo的选择；后者是任何一种计的选择；后者是任何一种计算中对有效数字的限制造成的算中对有效数字的限制造成的 思考题思考题1.1.节点的概念节点的概念2.2.向前差分向前差分,向后差分向后差分,中心差分的概念中心差分的概念.3.3.利用能量守恒定律和傅立叶定律利用能量守恒定律和傅立叶定律,推导内点和边界点离散推导内点和边界点离散方程的基本方法方程的基本方法.4.4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起,不计接触热阻不计接触热阻,如如何推导接触面上节点离散方程何推导接触面上节点离散方程.5.5.显式差分方程及稳定性判据显式差分方程及稳定性判据6.6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别.