第二章自动控制系统的数学模型.ppt

第二章第二章 自动控制系统自动控制系统的数学模型的数学模型u 方法：频率特性法方法：频率特性法 最小二乘法最小二乘法(曲线拟合曲线拟合)神经元网络法神经元网络法 模糊模型法模糊模型法u 模型验证：将实际输出与模型的计算输出进模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。义上的接近。黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结果）u实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。辨识出数学模型。2u解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理，化学定律列写出变量间的数学表达式，并物理，化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。实验验证。总结：总结：后种方法适用于简单，典型，通用后种方法适用于简单，典型，通用常见的系统；而前种适用于复杂，非常见常见的系统；而前种适用于复杂，非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效起来建立数学模型更为有效.3微分方程微分方程传递函数传递函数频率特性频率特性结构图结构图信号流图信号流图状态空间表达式状态空间表达式反映元件及系统反映元件及系统的特性要正确的特性要正确 实验法实验法 解析法解析法写出的数学式子写出的数学式子要简明要简明42-1 控制系统微分方程的建立q基本步骤：基本步骤：q分析各元件工作原理分析各元件工作原理,明确输入、输出量明确输入、输出量q建立输入、输出量的动态联系建立输入、输出量的动态联系q消去中间变量消去中间变量q标准化微分方程：标准化微分方程：将与输入量有关的各项放在方程的将与输入量有关的各项放在方程的右边右边，与输出量有，与输出量有关的各项放在方程的关的各项放在方程的左边左边；各导数项按各导数项按降幂降幂排列；排列；将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定物理意义的系数。理意义的系数。5列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法-化整为零，积零为整化整为零，积零为整n例1.列写如图所示RC网络的微分方程。RCuruci6解：由基尔霍夫定律得:式中:i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变 量i,可得:令（时间常数），则微分方程为：Curuci7n例例2.设有一弹簧设有一弹簧 质量质量 阻尼动力系阻尼动力系统如图所示，当外统如图所示，当外力力F(t)作用于系统作用于系统时，系统将产生运时，系统将产生运动，试写出外力动，试写出外力F(t)与质量块的位与质量块的位移移y(t)之间的动态之间的动态方程。其中弹簧的方程。其中弹簧的弹性系数为弹性系数为k，阻，阻尼器的阻尼系数为尼器的阻尼系数为B，质量块的质量，质量块的质量为为m。8解：分析质量块m受力，有外力F弹簧恢复力Ky（t）阻尼力惯性力由于m受力平衡，所以式中：Fi是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。将各力代入上等式，则得9式中：ym的位移（m）；f阻尼系数（N/m/s);K 弹簧刚度（N/m)。将（2-4）式的微分方程标准化10T称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了MKf系统的动态，它是一个二阶线性定常微分方程。令 ，即 ，则 可写成11 2-2 拉氏变换1 1 复数有关概念复数有关概念（1 1）复数、复函数）复数、复函数 复数复数复函数复函数 例例1 1 （2 2）模、相角）模、相角 （3 3）复数的共轭）复数的共轭（4 4）解析）解析若若F(s)在在 s 点的各阶导数都存在，则点的各阶导数都存在，则F(s)在在 s 点解析。点解析。模模相角相角 122 2 拉氏变换的定义拉氏变换的定义（1 1）阶跃函数）阶跃函数像像原像原像3 3 常见函数的拉氏变换常见函数的拉氏变换（2 2）指数函数）指数函数f(t)f(t)1 10 0t t13（3 3）正弦函数）正弦函数t tf(t)f(t)1 10 014（4 4）单位脉冲信号）单位脉冲信号且且 理想单位脉冲信号的数学表达式为理想单位脉冲信号的数学表达式为拉氏变换为拉氏变换为15 （5 5）单位斜坡信号）单位斜坡信号简写为简写为0 0f(t)f(t)t t单位斜坡信号的数学表达式为单位斜坡信号的数学表达式为拉氏变换为拉氏变换为16（1 1）线性性质）线性性质4 4 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理证明：证明：0 0初条件下有：初条件下有：17（3 3）积分定理）积分定理零初始条件下有：零初始条件下有：进一步有：进一步有：例例4 4 求求 Lt=?=?解解.例例5 5 求求解解.18（4 4）实位移定理）实位移定理证明：证明：例例6 6解解.令令19（5 5）复位移定理）复位移定理证明：证明：令令例例7 7例例8 8例例9 920（6 6）初值定理）初值定理证明：由微分定理证明：由微分定理例例101021（7 7）终值定理）终值定理证明：由微分定理证明：由微分定理例例1111（终值确实存在时）（终值确实存在时）例例1212225 5 拉氏反变换拉氏反变换（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）试凑法试凑法系数比较法系数比较法留数法留数法例例1 1 已知已知，求，求解解.23用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：设设I.当当 无重根时无重根时24例例2 2 已知已知，求，求解解.例例3 3 已知已知，求，求解解.25II.当当 有重根时有重根时(设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根)2627例例5 5 已知已知，求，求解解.286 线性微分方程的求解线性微分方程的求解（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。线性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。（2）由变量s的代数方程求出系统输出输入量的拉式变换式。29 例2.3 设线性微分方程为式中，为单位阶跃函数，初始条件为 ，试求该微分方程的解。解：（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得（2.1.3）（2）将初始条件代入式（2.1.3），得30（3）对式（2.1.3）进行分解：式中对Y（S）进行拉式反变换31课程小结(1)拉氏变换的定义拉氏变换的定义（2 2）单位阶跃）单位阶跃常见函数常见函数L变换变换（5 5）指数函数）指数函数（1 1）单位脉冲）单位脉冲（3 3）单位斜坡）单位斜坡（4 4）单位加速度）单位加速度（6 6）正弦函数）正弦函数（7 7）余弦函数）余弦函数32课程小结(2)（2 2）微分定理）微分定理L变换重要定理变换重要定理（5 5）复位移定理）复位移定理（1 1）线性性质）线性性质（3 3）积分定理）积分定理（4 4）实位移定理）实位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理3323 传递函数传递函数(transfer function)u传递函数的概念与定义传递函数的概念与定义 线性定常线性定常系统在输入、输出系统在输入、输出初始条件均为初始条件均为零零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数氏变换之比，称为该系统的传递函数。34这里，“初始条件为零”有两方面意思：u一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。u二指输入信号作用于系统之前系统时静止的，即t=，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。35一一 传递函数的定义传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。传递函数的标准形式传递函数的标准形式微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏变换拉氏变换：传递函数：传递函数：首首1 1标准型：标准型：尾尾1 1标准型：标准型：36n传递函数是关于复变量传递函数是关于复变量s的的有理真分式有理真分式，它的分，它的分子，分母的阶次是：子，分母的阶次是：二、关于传递函数的几点说明二、关于传递函数的几点说明n传递函数仅适用于线性定常系统传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉，否则无法用拉氏变换导出；氏变换导出；n传递函数完全取决于系统内部的结构、参数传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而，而与输入、输出无关；与输入、输出无关；n传递函数只表明一个特定的输入、输出关系传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；37n传递函数分母多项式称为特征多项式传递函数分母多项式称为特征多项式，记为而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。这是由于实际系统的惯性所造成的。n同一系统不同观测点的输出信号对不同作用点同一系统不同观测点的输出信号对不同作用点的输入信号之间的传递函数的形式具有相同的的输入信号之间的传递函数的形式具有相同的分母，所不同的时分子。分母，所不同的时分子。n传递函数和微分方程具有相通性。传递函数和微分方程具有相通性。38n 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应对应。这将在第四章根轨迹中详述。式中p1，p2pn为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1、z2、zn为分子多项式的根，称为传递函数的零点；39n传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当 时，所以 n传递函数是在零初始条件下建立的传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。实意义，而且容易实现。40三、传递函数举例说明三、传递函数举例说明q例例1.如图所示如图所示的的RLC无源无源网络，图中电感网络，图中电感为为L（亨利），电阻亨利），电阻为为R（欧姆），电容为欧姆），电容为C（法），试求输入法），试求输入电压电压ui(t)与输出电压与输出电压uo(t)之间的传递函数。之间的传递函数。41解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。无源网络通常有电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、1Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。则传递函数为422 24 4 动态结构图动态结构图q动态结构图是一种数学模型，采用动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。件中的传递过程。43一、动态结构图的概念一、动态结构图的概念（一）系统的动态结构图由若干基本符号构（一）系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，成。构成动态结构图的基本符号有四种，即即信号线、传递方框、综合点和引出点信号线、传递方框、综合点和引出点。442.传递方框传递方框G(s)方框的两侧应为输入信号线和输出信号线，方框的两侧应为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。1.信号线：信号线：表示信号输入、输出的通道。箭头代表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。表信号传递的方向。453.综合点综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。信号需在信号线的箭头附近标以负号。省略时也表示464.引出点引出点表示同一信号传输到几个地方。从同表示同一信号传输到几个地方。从同一点引出的信号性质、大小相同。一点引出的信号性质、大小相同。475、前向通道：经、前向通道：经G（s）的通道。）的通道。G（s）称为前向通道的传递函数。称为前向通道的传递函数。6、反馈通道：经、反馈通道：经H（s）的通道。）的通道。H（s）称）称为前向通道的传递函数。为前向通道的传递函数。48（二）动态结构图的特点：（二）动态结构图的特点：形象、直观，便于研究系统的动态性能。同一系统 动态结构图不唯一，但传递函数时唯一的。49二、动态结构图的基本连接形式二、动态结构图的基本连接形式1.串联连接串联连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。这种形式的连接称为串联连接。502.并联并联连接连接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。信号，这种形式的连接称为并联连接。513.反馈连接反馈连接一个方框的输出信号，输入到另一个方框一个方框的输出信号，输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。式称为反馈连接。G(s)R(s)C(s)H(s)52三、三、系统系统动态结构图的建立动态结构图的建立n构成原则：构成原则：按照动态结构图的基本连接形式，将构按照动态结构图的基本连接形式，将构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。1、建立系统各元部件的微分方程。2、对各微分方程进行拉氏变换，做出各元部件 的方框图。3、按照信号传递的方向，依次用信号线将各 方块连接起来。53举例说明系统动态结构图的构成举例说明系统动态结构图的构成例、图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电路定律，写出其微分方程组为5455零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得56RC网络方框图各环节方框图57四四 结构图的等效变换结构图的等效变换q思路思路：1、变换的等效性，变换前后输入输出总的数学关系应保持不变。2、所得结果的唯一性；结构图的多样性。3、信号传递的单向性。4、多输入系统的叠加性。58特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。n为相串联的环节数 R(s)C(s)（a）)(1sU)(1sG)(2sG（1 1）串联连接）串联连接 59结论：并联环节的等效传递函数等于并联环节传递函数的代数和。n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。特点：输入信号是相同的，输出C(s)为各环节的输出之和.（a）R(s)C(s)(2sG)(1sG)(2sC)(1sC（2 2）并联连接）并联连接60（3 3）反馈连接）反馈连接 推导(负反馈)：右边移过来整理得 即：注：注：“”负反馈，负反馈，“”正反馈；正反馈；H(s)=1,单位反馈单位反馈61 （4）比较点的移动（前移、后移）比较点的移动（前移、后移）“前移前移”、“后移后移”的定义：按信号流向定义，也即信号从的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面前面”流向流向“后面后面”，而不是位置上的前后。，而不是位置上的前后。62（5）引出点（分支点）的移动（前移、后移）引出点（分支点）的移动（前移、后移）“前移前移”、“后移后移”的定义：按信号流向定义，也即信号从的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面前面”流向流向“后面后面”，而不是位置上的前后。，而不是位置上的前后。63（7）引出点之间互移）引出点之间互移（6）比较点之间互移）比较点之间互移（8）比较点和引出点之间不能互移）比较点和引出点之间不能互移X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)X(s)Y(s)Z(s)C(s)ababX(s)Z(S)=C(s)Y(s)C(s)X(s)Y(s)C(s)Z(S)=C(s)64补充结论：控制系统方块图简化的原则补充结论：控制系统方块图简化的原则1.利用串联、并联和反馈的结论进行简化利用串联、并联和反馈的结论进行简化2.多回路：由内向外减少回路多回路：由内向外减少回路3.有交叉点：移动法则消除交叉有交叉点：移动法则消除交叉 比较点移向比较点：比较点之间可以互移比较点移向比较点：比较点之间可以互移 引出点移向引出点：引出点之间可以互移引出点移向引出点：引出点之间可以互移注：注：比较点和引出点之间不能互移比较点和引出点之间不能互移65五、举例说明五、举例说明q例例1：系统动态结构图如下图所示，试求：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数系统传递函数C(s)/R(s)。66例例1 （例（例题分析）题分析）n本题特点：具有引出点、综合交叉点本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。的多回路结构。67例例1 1（解题思路（解题思路）q解题思路：消除交叉连接，由内向外解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简逐步化简。68例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤1）n将综合点将综合点2后移，然后与综合点后移，然后与综合点3交换。交换。69例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤2）70例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤3）71例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤4）n内反馈环节等效变换内反馈环节等效变换72例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤5）n内反馈环节等效变换结果内反馈环节等效变换结果73例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤6）n串联环节等效变换串联环节等效变换74例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤7）n串联环节等效变换结果串联环节等效变换结果75例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤8）n内反馈环节等效变换内反馈环节等效变换76例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤9）n内反馈环节等效变换结果内反馈环节等效变换结果77例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤10）n反馈环节等效变换反馈环节等效变换78例例1 1（解题方法一之步骤解题方法一之步骤11）n等效变换化简结果等效变换化简结果79例例1 1（解题方法二）解题方法二）n将综合点将综合点3前移，然后与综合点前移，然后与综合点2交换。交换。80例例1 1（解题方法三）解题方法三）n引出点引出点A后移后移81例例1 1（解题方法四）解题方法四）n引出点引出点B前移前移82结构图化简步骤小结结构图化简步骤小结q确定输入量与输出量确定输入量与输出量。如果作用在系统上的。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。个进行结构图化简，求得各自的传递函数。q若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构化为无交叉的多回路结构。q对多回路结构，可由里向外进行变换，直至对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。函数。83结构图化简结构图化简注意事项：注意事项：q有效输入信号所对应的综合点尽量不要有效输入信号所对应的综合点尽量不要移动移动；q尽量避免综合点和引出点之间的移动。尽量避免综合点和引出点之间的移动。84五、用梅逊（五、用梅逊（S.J.Mason）公式求传递函数公式求传递函数n梅逊公式的一般式为：梅逊公式的一般式为：85梅逊公式参数解释：梅逊公式参数解释：86注意事项：注意事项：n“回路传递函数回路传递函数”是指反馈回路的前向是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈极性的并且包含代表反馈极性的正、负号正、负号。87举例说明（梅逊公式）举例说明（梅逊公式）n例例1：试求如图所示系统的传递函数：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)88求解步骤之一求解步骤之一（例（例1 1）n找出前向通路数找出前向通路数n89求解步骤之一求解步骤之一（例（例1 1）n前向通路数：前向通路数：n190求解步骤之二求解步骤之二（例（例1 1）n确定系统中的反馈回路数确定系统中的反馈回路数911.1.寻找反馈回路之一寻找反馈回路之一921.1.寻找反馈回路之二寻找反馈回路之二931.1.寻找反馈回路之三寻找反馈回路之三941.1.寻找反馈回路之四寻找反馈回路之四95利用梅逊公式求传递函数利用梅逊公式求传递函数(1)96利用梅逊公式求传递函数利用梅逊公式求传递函数(1)97利用梅逊公式求传递函数利用梅逊公式求传递函数(2)98求余子式求余子式 1 1将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式 的求法，计算99求余式求余式 1 1将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故 1 1=1=1100利用梅逊公式求传递函数利用梅逊公式求传递函数(3)101例例2：用梅逊公式求传递函数：用梅逊公式求传递函数n试求如图所示的系统的传递函数。试求如图所示的系统的传递函数。102求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路103求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路104求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路105求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路106求解步骤之一：确定反馈回路求解步骤之一：确定反馈回路107求解步骤之二：确定前向通路求解步骤之二：确定前向通路108求解步骤之二：确定前向通路求解步骤之二：确定前向通路109求解步骤之三：求总传递函数求解步骤之三：求总传递函数110例例3：对例对例2做简单的修改做简单的修改1111.求反馈回路求反馈回路11121.求反馈回路求反馈回路21131.求反馈回路求反馈回路31141.求反馈回路求反馈回路41152.两两互不相关的回路两两互不相关的回路11162.两两互不相关的回路两两互不相关的回路21172.求前向通路求前向通路11182.求前向通路求前向通路21193.求系统总传递函数求系统总传递函数1202-4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数n 控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。比例环节比例环节，传递函数为121积分环节积分环节，传递函数为微分环节微分环节，传递函数为惯性环节惯性环节，传递函数为一阶微分环节一阶微分环节，传递函数为式中：,T为时间常数。122二阶振荡环节二阶振荡环节，传递函数为式中：T为时间常数，为阻尼系数。二阶微分环节二阶微分环节，传递函数为式中：为时间常数，为阻尼系数此外，还经常遇到一种延迟环节延迟环节，设延迟时间为 ，该环节的传递函数为 1231.比例环节 特点：环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)传递函数：式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。例如：运算放大器，电位器，减速齿轮等。1242.惯性环节(非周期环节)惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程传递函数：式中T惯性环节的时间常数 K惯性环节的增益或放大系数特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不 能立即复现，输出无振荡。实例：RC网络，一阶水槽(流水)，直流伺服电动机 的传递函数也包含这一环节。125当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为单位阶跃响应曲线1262.积分环节传递函数：式中Ti为积分时间常数。特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能记忆功能。动态方程为：实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。127积分环节的单位阶跃响应为它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。1284.微分环节传递函数：式中Td称微分时间常数特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势。动态方程为：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为理想微分环节或一阶微分环节。二阶微分环节是构成物理系统的伴随产物，一般不单独存在。129如图所示，理想微分环节实际上难以实现，因此我们常采用带有惯性的微分环节，其传递函数其单位阶跃响应为1305.二阶振荡环节(二阶惯性环节)传递函数：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进 行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。可控硅直流闭环调速系统也是一个二阶振荡环节。1316.延时（滞后）环节特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固 定的时间间隔。实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的 控制，其数学模型就包含有延迟环节。式中延迟时间常数实际控制系统都含有滞后环节，只是延迟时间常数大小问题（小忽略不计）。1327、一阶微分环节8、二阶微分环节133需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。13425 典型反馈系统传递函数典型反馈系统传递函数输输 入：入：控制输入控制输入干扰输入干扰输入输输 出：出：由控制作用产生的输出由控制作用产生的输出由干扰作用产生的输出由干扰作用产生的输出135一、系统开环传递函数一、系统开环传递函数不含极性不含极性闭环系统闭环系统的开环传递函数为：的开环传递函数为：它是当主反馈回路断开时反馈信号B(s)和输入信号之间的传递函数。136二、系统在二、系统在r(t)作用作用下的传递函数下的传递函数n令令n(t)0137注：该系统为负负反馈系统，系统传函中分母为1+开环传函，反之，若主反馈为正正反馈时，则系统传函为1开环传函138三、系统在三、系统在n(t)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数n令令r(t)0139四、系统总输出四、系统总输出线性系统满足叠加原理线性系统满足叠加原理系统总输出的拉氏变换式为：系统总输出的拉氏变换式为：140五、闭环系统的误差传递函数五、闭环系统的误差传递函数n按上图规定误差为：按上图规定误差为：e(t)=r(t)-b(t)E(s)=R(s)-B(s)141u 1.r(t)作用下的系统误差传函作用下的系统误差传函 此时令n(t)=0，则结构图如下所示142此时令n(t)=0，则结构图如下所示u 2.n(t)作用下的系统误差传函作用下的系统误差传函 143u 3.系统总误差系统总误差 144六、闭环系统的特征方程式六、闭环系统的特征方程式q无论是系统传递函数还是误差传递函无论是系统传递函数还是误差传递函数，它们都有一个共同的特点，拥有数，它们都有一个共同的特点，拥有相同的分母相同的分母，这就是闭环系统的本质，这就是闭环系统的本质特征，我们将闭环传递函数的分母多特征，我们将闭环传递函数的分母多项式称为项式称为闭环系统的特征方程式闭环系统的特征方程式。它它与输入无关，仅与系统本身的结构和与输入无关，仅与系统本身的结构和参数有关。参数有关。145传递函数概念与后几章的关系可用下图来表示。传递函数单位脉冲响应函数第三章时域分析第四章根轨迹法第五章频率域分析拉氏反变换146基本要求基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。1476.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和梅逊公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。1482.6 在MATLAB中数学模型的表示 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的,在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(LinearTimeInvariant简记为LTI)。1492.6.1传递函数 单输入单输出线性连续系统的传递函数为其中mn。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程:D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0150 因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示,行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式P(s)=s3+2s+4,其输入为P=1024注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为C=conv(A,B)151例 如 给 定 两 个 多 项 式 A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv()函数来求C(s)A=1,3;B=10,20,3；C=conv(A,B)C=1050639即得出的C(s)多项式为10s3+50s2+63s+9152MATLAB提供的conv()函数的调用允许多级嵌套,例如G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的语句来输入G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)153 有 了 多 项 式 的 输 入,系 统 的 传 递 函 数 在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为sys=tf(num,den)其中num为分子多项式，den为分母多项式num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；154对于其它复杂的表达式,如可由下列语句来输入num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den)Transferfunction:1552.6.2传递函数的特征根及零极点图 传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为roots(p)其中p为多项式。156例如,多项式p(s)=s3+3s2+4p=1,3,0,4;%p(s)=s3+3s2+4r=roots(p)%p(s)=0的根r=-3.35330.1777+1.0773i0.1777-1.0773i 反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly()函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例poly(r)p=1.00003.00000.00004.0000157 而polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调用格式为polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5时值：n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5)value=66158p,z=pzmap(num,den)其中,p传递函数G(s)=numden的极点z传递函数G(s)=numden的零点例如,传递函数传递函数在复平面上的零极点图,采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“”表示。其调用格式为159 用MATLAB求出G(s)的零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)z=0+0.4082i00.4082i%G(s)的零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i1.0000+0.0000i%G(s)的极点1.0000+0.0000i160n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i;d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表达式pzmap(num,den)%零极点图title(pole-zeroMap)161零极点图如图所示：1622.6.3 控制系统的方框图模型 若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。1.串联串联如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：1632.并联并联如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：1643.反馈反馈反 馈 连 接 如 图 所 示。使 用 MATLAB中 的feedback()函数来实现反馈连接,其调用格式为num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为1或缺省。165例如G(s)=,H(s)=,负反馈连接。numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1);printsys(num,den)num/den=166MATLAB中 的 函 数 series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式为num,den=cloop(num1,den1,sign)1672.6.4 控制系统的零极点模型 传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式,零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。168例如G(s)=用MATLAB语句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den)z=1.92940.03530.9287i0.03530.9287i169p=0.95671.2272i0.95671.2272i0.04330.6412i0.04330.6412ik=6即变换后的零极点模型为G(s)=170 可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。num,den=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010.0000den=1.00002.00003.00001.00001.0000即1712.6.5状态空间表达式 状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)式中x(t)Rn称为状态向量,n为系统阶次;ARnn称为系统矩阵;BRnp称为控制矩阵,p为输入量个数;CR