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万有引力习题课超全万有引力习题课超全专题一一 万有引力定律在天文学上的万有引力定律在天文学上的应用用天体天体质量（密度）的量（密度）的计算（估算）算（估算）发现未知天体未知天体专题二二一般一般卫星与同步星与同步卫星星专题三三 稳定运行与定运行与变轨运行运行专题四四 行星上的物体和近地行星上的物体和近地卫星星与同步与同步卫星星专题五：双星及多星五：双星及多星专题六：六：天体天体圆运运动与其它运与其它运动专题七：七：连续物与小行星群物与小行星群 说明：根据地球卫星绕地球运行的参数（如周期、轨道半径），能推算出地球的质量，但不能推算卫星的质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推算太阳的质量，但不能推算行星的质量。由（1）、（2）式得月球绕地球的运动周期约为30天练习1:一一均均匀匀圆球球体体以以角角速速度度绕自自己己的的对称称轴自自转，若若维持持球球体体不不为离离心心现象象所所瓦瓦解解的的唯唯一一作作用用力力是万有引力，求是万有引力，求该球的最小密度球的最小密度应为多少？多少？解析：解析：设球体球体质量量M，半径，半径为R，设想有一想有一质点点m绕此球体表面附近近做匀速此球体表面附近近做匀速圆周运周运动（或取球体（或取球体表面的一表面的一质点，）点，）则球体的体球体的体积：球体的密球体的密度：度：由上三式可得：由上三式可得：（一）人造地球（一）人造地球卫星所受向心力及其星所受向心力及其轨道道人造地球人造地球卫星所受向心力就是地球星所受向心力就是地球对卫星的星的万有引力万有引力.r一定，一定，T、V、a均一定。均一定。速度、角速度、周期与半径速度、角速度、周期与半径R 的关系的关系 R越大、越大、v越小越小表达形式表达形式R越大，越大，越小越小R越大，越大，T越大越大两种最常两种最常见的的卫星星：近地近地卫星星 近地近地卫星的星的轨道半径道半径r r可以近似地可以近似地认为等于地球半径等于地球半径R R，可，可得其得其线速度大小速度大小为v v1 1=7.910=7.9103 3m/sm/s；可得其周期；可得其周期为T=5088sT=5088s。它它们分分别是是绕地球做匀速地球做匀速圆周运周运动的人造的人造卫星的星的最大最大线速度速度和最小周期和最小周期。神舟号神舟号飞船的运行船的运行轨道离地面的高度道离地面的高度为340km340km，线速度速度约7.6km/s7.6km/s，周期，周期约90min90min。同步同步卫星星（通信（通信卫星多星多为同步同步卫星）星）“同步同步”的含的含义就是和地球保持相就是和地球保持相对静止静止.(a)(a)其周期等于地球自其周期等于地球自转周期，即周期，即T=24hT=24h。(b)(b)轨道平面：一定是在赤道平面内。道平面：一定是在赤道平面内。(c)(c)只能位于赤道上方某一高度一定的只能位于赤道上方某一高度一定的轨道上道上,运运转方向必方向必须跟地球自跟地球自转方向一致即由西向方向一致即由西向东。(d)(d)同步同步卫星的星的线速度速度=3.0810=3.08103 3m/sm/s 通通讯卫星可以星可以实现全球的全球的电视转播，播，从从图可知，如果能可知，如果能发射三射三颗相相对地面静地面静止的止的卫星（即同步星（即同步卫星）并相互星）并相互联网，网，即可覆盖全球的每个角落。即可覆盖全球的每个角落。地球同步地球同步卫星星变轨道道发射射.同步同步卫星一般不采用普星一般不采用普通通卫星的直接星的直接发射方法射方法,而是采用而是采用变轨道道发射射(1)首先首先,利用第一利用第一级火箭将火箭将卫星送到星送到180-200只要是人造地球只要是人造地球卫星，其星，其圆心一定在地心。心一定在地心。公里的高空公里的高空,然后依靠然后依靠惯性性进入入圆停泊停泊轨道（道（A）.停泊停泊轨道道停泊停泊轨道道同步同步轨道道转移移轨道道ABC(2)当到达赤道上空当到达赤道上空时,第二、第二、三三级火箭点火，火箭点火，卫星星进入位入位于赤道平面内的于赤道平面内的椭圆转移移轨道（道（B），且），且轨道的道的远地点地点为35800km。（3）当到达）当到达远地点地点时，卫星启星启动发动机，然后改机，然后改变方向方向进入同步入同步轨道道（C）。）。（二）（二）.人造人造卫星中的超重失重星中的超重失重（1）.人造人造卫星星发射升空或返回地球射升空或返回地球时（2）.人人造造卫星星进入入轨道道做做匀匀速速圆周周运运动时卫星星做做匀匀速速圆周运周运动，卫星星处于完全失重状于完全失重状态。由牛。由牛顿第二定律：第二定律：F向向=m卫a向向即即卫星的加速度指向地球大小星的加速度指向地球大小为:假假设卫星星舱中中悬吊吊一一物物体体m，并并受受两两个个力力的的作作用用，引引力力F和拉力和拉力T，根据牛，根据牛顿第二定律有第二定律有:F引引T=ma向向因因为物物体体m的的加加速速度度与与卫星星加加速速度度相相同同，将将代代入入，得得：T=0，可可见物物体体对悬挂挂物物的的拉拉力力为零零，同同样可可得得到到物物体体在在卫星星舱中中对接接触触面面的的压力力也也为零零，物体物体处于完全失重状于完全失重状态，整个，整个卫星也星也处于完全失重状于完全失重状态.【例例】一宇宙飞船在离地面一宇宙飞船在离地面h h的轨道上做匀速圆周运的轨道上做匀速圆周运动，质量为动，质量为mm的物块用弹簧秤挂起，相对于飞船静止，的物块用弹簧秤挂起，相对于飞船静止，则此物块所受的合外力的大小则此物块所受的合外力的大小为为 .（已知地球半径为（已知地球半径为R R，地面，地面的重力加速度为的重力加速度为g g）【练习练习】月球表面重力加速度为地球表面的月球表面重力加速度为地球表面的1/61/6，一，一位在地球表面最多能举起质量为位在地球表面最多能举起质量为120kg120kg的杠铃的运动的杠铃的运动员，在月球上最多能举起（员，在月球上最多能举起（）A A120kg 120kg 的杠铃的杠铃 B B720kg 720kg 的杠铃的杠铃C C重力重力600N 600N 的杠铃的杠铃 D D重力重力720N 720N 的杠铃的杠铃B B【例例】地球上空一宇宙地球上空一宇宙飞船沿地球半径方向以船沿地球半径方向以5m/s5m/s2 2的加速度匀加速离地心而去，的加速度匀加速离地心而去，飞船中某宇航船中某宇航员质量量为4848千克，他在此千克，他在此时的的视重重为270N270N。已知地球。已知地球的半径的半径为6400km6400km，求，求飞船此船此时离地面的高度。离地面的高度。设飞船离地面的高度为设飞船离地面的高度为h h，则，则而而由上述三式解得，由上述三式解得，h=19200kmh=19200km。解解:飞船的视重为飞船的视重为【例例1 1】关于第一宇宙速度，下面说法正确的有关于第一宇宙速度，下面说法正确的有（）A A 它是人造卫星绕地球飞行的最小速度它是人造卫星绕地球飞行的最小速度 B B 它是发射人造卫星进入近地圆轨道的最小速它是发射人造卫星进入近地圆轨道的最小速度度 C C 它是人造卫星绕地球飞行的最大速度它是人造卫星绕地球飞行的最大速度 D D 它是发射人造卫星绕地球做匀速圆周运动的它是发射人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。最大速度。B DB D【例例】19901990年年3 3月，紫金山天文台将该台发现的第月，紫金山天文台将该台发现的第27522752号小行星命名为号小行星命名为“吴健雄星吴健雄星”，将其看作球形，将其看作球形，直径约直径约32km32km，密度和地球密度相近。若在此小行星上，密度和地球密度相近。若在此小行星上发射一颗环绕其表面附近运行的卫星，已知地球的半发射一颗环绕其表面附近运行的卫星，已知地球的半径为径为6400 km6400 km，则此卫星的环绕速度为，则此卫星的环绕速度为m/sm/s。19.7519.75例例1.关关于于人人造造地地球球卫星星，下下列列说法法正正确确的的是是（已已知地球半径知地球半径为6400km）A.运行的运行的轨道只能是道只能是圆周周轨道道B.运行的即运行的即时速度速度值可能等于可能等于10km/sC.运行的周期可能等于运行的周期可能等于80minD.匀速匀速圆周运周运动的的卫星中最大速度星中最大速度为7.9km/s专题二二一般一般卫星与同步星与同步卫星星BD例例2人造人造卫星在星在轨道上做匀速道上做匀速圆周运周运动时，卫星内的星内的物体：物体：A.不再受重力作用不再受重力作用B.仍受重力作用仍受重力作用C.不受重力作用而受向心力作用不受重力作用而受向心力作用D.既受重力作用又受向心力作用既受重力作用又受向心力作用B例例3.在在轨道上运行的人造道上运行的人造卫星，如果星，如果卫星上的天星上的天线突然折断，突然折断，则天天线将将:A.做自由落体运做自由落体运动B.做平抛运做平抛运动C.和和卫星在一起星在一起绕地球在同一地球在同一轨道运道运动D.由于由于惯性，沿性，沿轨道切道切线方向做直方向做直线运运动C例例4.在在绕地球作地球作圆运运动的空的空间实验站内站内,能使用下列能使用下列有关有关仪器完成的器完成的实验是：是：A.用天平用天平测物体物体质量量;B.用用弹簧秤簧秤,刻度尺等刻度尺等验证力的平行四力的平行四边形法形法则;C.用水用水银气气压计测实验站站舱内的气内的气压.D。验证阿基米德定律阿基米德定律B例例5.发射射地地球球同同步步卫星星时，先先将将卫星星发射射至至近近地地圆轨道道1，然然后后经点点火火，使使其其沿沿椭圆轨道道2运运行行，最最后后再再次次点点火火，将将卫星星送送入入同同步步轨道道3,轨道道1、2、相相切切于于Q点点，轨道道2、3相相切切于于P点点，如如图所所示示。则当当卫星星分分别在在1、2、3轨道道上上正正常运行常运行时，以下，以下说法正确的是：法正确的是：A.卫星在星在轨道道3上的速率大于在上的速率大于在轨道道1上的速率；上的速率；B.卫星在星在轨道道3上的角速度小于在上的角速度小于在轨道道1上的角速度；上的角速度；C.卫星在星在轨道道1上上经过Q点点时的加速度大于的加速度大于它在它在轨道道2上上经过Q点点时的加速度；的加速度；D.卫星在星在轨道道2上上经过P点点时的加速度等于的加速度等于它在它在轨道道3上上经过P点点时的加速度。的加速度。BD分析分析:从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度（生运动的加速度（），所以），所以卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度，卫星在轨道上经过点时上经过点时的加速度，卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度。必的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考（须注意，如果从运动学的角度思考（），由于卫星在），由于卫星在不同的轨道上经过相同点时，不但线速度、角速度不不同的轨道上经过相同点时，不但线速度、角速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。判断。答案：答案：B B、D D例例6.假假如如一一作作圆周周运运动的的人人造造地地球球卫星星的的轨道道半径增大到原来的半径增大到原来的2倍，仍作倍，仍作圆周运周运动，则：A.根根据据公公式式v=r,可可知知卫星星运运动的的线速速度度将将增增大到原来的大到原来的2倍；倍；B.根根据据公公式式F=,可可知知卫星星所所需需的的向向心心力力将将减少到原来的减少到原来的1/2；C.根根据据公公式式F=,可可知知地地球球提提供供的的向向心心力力将减小到原来的将减小到原来的1/4；D.根根据据上上述述B和和C中中给出出的的公公式式,可可知知卫星星运运动的的线速度将减小到原来的速度将减小到原来的。CDb例例7如图所示，如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形是在地球大气层外圆形轨道上的运行的三颗人造卫星，轨道上的运行的三颗人造卫星，a、b质量相同，质量相同，且都小于且都小于c的质量，则（的质量，则（）Ab、c的线速度相等，且大于的线速度相等，且大于a的线速度的线速度Bb、c的周期相等，且大于的周期相等，且大于a的周期的周期Cb、c向心加速度相等，且大于向心加速度相等，且大于a的的向心加速度向心加速度Db所需的向心力最小所需的向心力最小acBD例例8.同步同步卫星是指相星是指相对于地面不于地面不动的人造地球的人造地球卫星：星：A.它它可可以以在在地地面面上上任任一一点点的的正正上上方方，且且离离地地心心的的距离可按需要距离可按需要选择不同的不同的值；B.它它可可以以在在地地面面上上任任一一点点的的正正上上方方，但但离离地地心心的的距离是一定的；距离是一定的；C.它它只只能能在在赤赤道道的的正正上上方方，但但离离地地心心的的距距离离可可按按需要需要选择不同不同值；D.它它只只能能在在赤赤道道的的正正上上方方，且且离离地地心心的的距距离离是是一一定的。定的。D【例例9 9】用用mm表示地球通讯卫星表示地球通讯卫星(同步卫星同步卫星)的质量，的质量，h h表示它离地面的高度，表示它离地面的高度，R R0 0表示地球的半径，表示地球的半径，g g0 0表示表示地球表面处的重力加速度，地球表面处的重力加速度，0 0表示地球自转的角速表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为为()()A.A.等于等于0 0 B.B.等于等于F=mRF=mR0 0g g0 0/(R/(R0 0+h)+h)2 2 C.C.等于等于 D.D.以上结果都不对以上结果都不对BCBC【解析解析】通讯卫星所受万有引力的大小通讯卫星所受万有引力的大小 F=GMm/(RF=GMm/(R0 0+h)+h)，地球表面物体的重力可以认为等于万有引力，即地球表面物体的重力可以认为等于万有引力，即 mgmg0 0=GMm/R=GMm/R0 02 2.故故GM=gGM=g0 0R R0 02 2.由上两式可得由上两式可得 F=mgF=mg0 0R R0 0/(R/(R0 0+h)+h).显然显然B B是正确是正确由于通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度由于通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度 ，由于由于F F引引=F=F向向，得，得GMm/(RGMm/(R0 0+h)+h)2 2=m=m 0 02 2(R(R0 0+h)+h)，即即可得可得 ，即即C C也正确也正确.例例10.设地球的地球的质量量为M，半径，半径为R，其自，其自转的角速度的角速度为，则地球上空的同步地球上空的同步卫星离星离地面的高度是：地面的高度是：A.B.C.2RD.B例例11:某某一一颗人人造造地地球球同同步步卫星星距距地地面面的的高高度度为h,设地地球球半半径径为R，自自转周周期期为，地地面面处的的重重力力加加速速度度为g，则该同同步步卫星星的的线速度的大小速度的大小应该为：.C.D.BC专题三专题三稳定运行与变轨运行稳定运行与变轨运行例例1宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对宇宙飞船要与环绕地球运转的轨道空间站对接接,飞船为了加速追上轨道空间站飞船为了加速追上轨道空间站()A只能从比空间站较低的轨道只能从比空间站较低的轨道上加速上加速B只能从比空间站较高的轨道只能从比空间站较高的轨道上加速上加速C只能从与空间站同高的轨道只能从与空间站同高的轨道上加速上加速D无论在什么轨道无论在什么轨道,只要加速就行只要加速就行A例例2在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球作圆在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球作圆周运动周运动,每到太阳活动期每到太阳活动期,由于受太阳的影响由于受太阳的影响,地球地球大气层的厚度开始增加大气层的厚度开始增加,而使得部分垃圾进入大气而使得部分垃圾进入大气层层,开始做靠近地球的向心运动开始做靠近地球的向心运动,产生这一结果的原产生这一结果的原因是因是()A由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动运动B由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心由于太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动运动C由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动D地球的引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所地球的引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向心力需的向心力,故产生向心运动的结果与空气阻力无故产生向心运动的结果与空气阻力无关关C例例3对于地球的同步地球卫星的精度要求极高对于地球的同步地球卫星的精度要求极高,如果如果稍有偏差卫星就会漂移稍有偏差卫星就会漂移.如果卫星轨道如果卫星轨道周期比地球周期比地球自转周期稍大时自转周期稍大时,卫星就卫星就()A向东漂移向东漂移B向西漂移向西漂移C向南漂移向南漂移D向北漂移向北漂移B专题四四行星上的物体和近地行星上的物体和近地卫星与同步星与同步卫星星例二例二在某一星球上，宇航在某一星球上，宇航员用一用一弹簧秤称量簧秤称量一个一个质量量为m的物体其重力的物体其重力为F。乘宇宙。乘宇宙飞船船在靠近在靠近该星球表面空星球表面空间飞行，行，测得其得其环绕周周期期为T。已知万有引力恒量。已知万有引力恒量为G，试由以上数由以上数据求出据求出该星球的星球的质量。量。例三例三某一物体在地球表面且某一物体在地球表面且弹簧秤称得重簧秤称得重力力为160N，把，把该物体放在航天物体放在航天飞机中，若机中，若航天航天飞机以加速度机以加速度a=（g为地球表面地球表面的重力加速度）的重力加速度）竖直上升，某直上升，某时刻再用同刻再用同一一弹簧秤称得物体的簧秤称得物体的视重重为90N，忽略地，忽略地球自球自转影响，已知地球半径影响，已知地球半径为R，求此，求此时航天器离地面的高度航天器离地面的高度h。例四例四海王星的海王星的质量是地球的量是地球的质量的量的17倍，倍，半径是地球的半径是地球的4倍。求海王星的第一宇宙速倍。求海王星的第一宇宙速度。度。【例例五五】（2006年年江江苏高高考考14题）A是是地地球球的的同同步步卫星星，另另一一卫星星B的的圆形形轨道道位位于于赤赤道道平平面面内内，离离地地面面高高度度为h，已已知知地地球球半半径径为R，地地球球自自转角角速速度度0，地地球球表表面面的的重重力力加加速速度度为g，O为地球中心。地球中心。（1）求）求卫星星B的运的运动周期周期（2）如如卫星星B绕行行方方向向与与地地球球自自转方方向向相相同同，某某时刻刻A、B两两卫星星相相距距最最近近（O、B、A在在同同一一直直线上上）则至至少少经过多多长时间，他他们再再一一次次相相距最近？距最近？ABROh若变为至少经过多长时间，他们再一次相距最远？由万有引力定律和向心力公式得由万有引力定律和向心力公式得（2）由）由题意得意得例六例六侦察察卫星在通星在通过地球两极上空的地球两极上空的圆轨道道上运行，它的运行上运行，它的运行轨道距地面高度道距地面高度为h，要使，要使卫星在一天的星在一天的时间内将地面上赤道各内将地面上赤道各处在在日日照条件下照条件下的情况全都拍的情况全都拍摄下来，下来，卫星在通星在通过赤道上空赤道上空时，卫星上的星上的摄象机至少象机至少应拍拍摄地地面上赤道面上赤道圆周的周的长是多少？是多少？设地球的半径地球的半径为R，地面，地面处的重力加速度的重力加速度为g，地球自，地球自转的周期的周期为T。可可红外拍呢外拍呢？解：设卫星绕地球做圆周运动的周期为解：设卫星绕地球做圆周运动的周期为T，卫星质量为，卫星质量为m，则卫星，则卫星绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，有：绕地球做圆周运动时，万有引力提供向心力，有：对地球表面上的物体对地球表面上的物体m，物体所受的万有引力近似等于物体所受，物体所受的万有引力近似等于物体所受的重力，有：的重力，有：联立两式解得联立两式解得 卫星相对于地心而言在一个不变的平面内做圆周运动所以要使卫星相对于地心而言在一个不变的平面内做圆周运动所以要使卫星在一天的时间内将地面上各处在日照条件下的情况都拍摄下卫星在一天的时间内将地面上各处在日照条件下的情况都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星的摄像机至少应拍摄地面上的来，卫星在通过赤道上空时，卫星的摄像机至少应拍摄地面上的弧长为：弧长为：解得解得【例例七七】2003年年10月月15日日上上午午9时，我我国国在在酒酒泉泉卫星星发射射中中心心成成功功发射射“神神舟舟五五号号”载人人航航天天飞船船，这是是我我国国首首次次实现载人人航航天天飞行行，也也是是全全世世界界第第三三个个具具有有发射射载人人航航天天器器能能力力的的国国家家“神神舟舟五五号号”飞船船长8.86m;质量量为7990kg.飞船船在在达达到到预定定的的椭圆轨道道后后运运行行的的轨道道倾角角为42.40，近近地地点点高高度度200km，远地地点点高高度度约350km.实行行变轨后后，进入入离离地地约350km的的圆轨道道上上运运行行，飞船船运运动14圈圈后后，于于16日日凌凌晨晨在在内内蒙蒙古古成成功功着着陆（地地球球半半径径Ro=6.4106m，地球表面重力加速度，地球表面重力加速度g=10m/s2，5.48，计算算结果保留三位有效数字）求：果保留三位有效数字）求：（1)飞船船变轨后在后在轨道上正常运行道上正常运行时的速度的速度（2)飞船在船在圆轨道上运行的周期道上运行的周期解析：设飞船的质量为解析：设飞船的质量为m，地球质量为，地球质量为M.飞船在圆轨道上飞船在圆轨道上运行时：运行时：对于地面上质量为对于地面上质量为m0的物体有：的物体有：由上两式得飞船的运行速度为：由上两式得飞船的运行速度为：飞船在圆轨道上运行时的周期为：飞船在圆轨道上运行时的周期为：例例1:在天体运在天体运动中，把两中，把两颗相距很近的恒星称相距很近的恒星称为双星，双星，这两两颗星必星必须各自以一定的速率各自以一定的速率绕某一中心某一中心转动才不至于由于万才不至于由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分量分别为M1和和M2两恒星两恒星距离距离为L。求：。求：(1)两恒星两恒星转动中心的位置；中心的位置；(2)转动的角速度。的角速度。分分析析：如如图所所示示，两两颗恒恒星星分分别以以转动中中心心O作作匀匀速速圆周周运运动，角角速速度度相相同同，设M1的的转动半半径径为r1，M2的的转动半半径径为r2=L-r1；它它们之之间的的万万有引力是各自的向心力。有引力是各自的向心力。解答：（1）对M1，有对M2，有专题五：双星及多星五：双星及多星故M12r1=M22(L-r1)（2）将r1值代入式m1m2OL/2O例例2：根根据据对对某某一一双双星星系系统统的的光光度度学学测测量量确确定定，该该双双星星系系统统中中每每个个星星体体的的质质量量都都是是m，两两者者的的距距离离是是L。（1）试试根根据据动动力力学学理理论论计计算该双星系统的运动周期算该双星系统的运动周期T。（2）若若实实际际观观测测到到该该双双星星系系统统的的周周期期为为，且且。为为了了解解释释与与T之之间间的的差差异异，目目前前有有一一种种理理论论认认为为，在在两两者者连连线线的的中中点点存存在在体体积积很很小小、质质量量很很大大的的一一个个黑黑洞洞，若若不不考考虑虑其其他他物物质质的的影影响响，试试根根据据这这一一模型和上述观测结果确定黑洞的质量模型和上述观测结果确定黑洞的质量M。变变2：如如图图为为宇宇宙宙中中有有一一个个恒恒星星系系的的示示意意图图。A为为星星系系的的一一颗颗行行星星，它它绕绕中中央央恒恒星星O运运行行的的轨轨道道近近似似为为圆圆。天天文文学学家家观观测测得得到到A行行星星运运动动的的轨轨道道半半径径为为R0、周周期期为为T0。经经长长期期观观测测发发现现，A行行星星实实际际运运动动的的轨轨道道与与圆圆轨轨道道总总存存在在一一些些偏偏离离，且且周周期期性性地地每每隔隔t0时时间间发发生生一一次次最最大大的的偏偏离离。天天文文学学家家认认为为形形成成这这种种现现象象的的原原因因可可能能是是A行行星星内内侧侧还还存存在在着着一一颗颗未未知知的的行行星星B（假假设设其其运运行行轨轨道道与与A在在同同一一水水平平面面内内，且且与与A的的绕绕行行方方向向相相同同），它它对对A行行星星的的万万有有引引力力引引起起A轨轨道道的的偏偏离离。根根据据上上述述现现象象及及假假设设，你你能能否否求求出出未未知知行星行星B的运动周期和轨道半径的运动周期和轨道半径AO换一种问法：换一种问法：对未知行星对未知行星B B的运的运动得到哪些定量动得到哪些定量的预测？的预测？ABROh【例例3】宇宇宙宙中中存存在在一一些些离离其其他他恒恒星星较远的的、由由质量量相相等等的的三三颗星星组成成的的三三星星系系统，通通常常可可忽忽略略其其他他星星体体对它它们的的引引力力作作用用.已已观测到到稳定定的的三三星星系系统存存在在两两种种基基本本的的构构成成形形式式：一一种种是是三三颗星星位位于于同同一一直直线上上，两两颗星星围绕中中央央星星在在同同一一半半径径为R的的圆轨道道上上运运行行；另另一一种种形形式式是是三三颗星星位位于于等等边三三角角形形的的三三个个顶点点上上，并并沿沿外外接接于于等等边三三角角形形的的圆形形轨道道运运行行.设每个星体的每个星体的质量均量均为m.(1)试试求求第第一一种种形形式式下下，星星体体运运动动的的线线速速度度和和周周期期.(2)假假设设两两种种形形式式星星体体的的运运动动周周期期相相同同，第第二二种种形式下星体之间的距离应为多少？形式下星体之间的距离应为多少？【解析】(1)第一种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：(2)第二种形式下，由万有引力定律和牛顿第二定律，得：星体之间的距离为：Om1m2OL/2O例例4（2015高考安徽高考安徽）由三颗星体构成的系统，忽由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为星体质量为2m，B、C两星体的质量均为两星体的质量均为m，三角形的边长为，三角形的边长为a，求：，求：（1）A星体所受合力大小星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期）三星体做圆周运动的周期T。解：（解：（1）由万有引力定律，）由万有引力定律，A星受到星受到B、C的引力的大小：的引力的大小：方向如方向如图，则合力的大小合力的大小为：（2）同上，）同上，B星受到的引力分星受到的引力分别为：，方向如图；，方向如图；沿沿x方向：方向：沿沿y方向：方向：可得：可得：=（3）通）通过对于于B的受力分析可知，由于：的受力分析可知，由于：合力的方向合力的方向经过BC的中垂的中垂线AD的中点，的中点，所以所以圆心心O一定在一定在BC的中垂的中垂线AD的中点的中点处所以：所以：（4）由）由题可知可知C的受力大小与的受力大小与B的受力相同，的受力相同，对C星：星：整理得：整理得：例例5：宇宇宙宙中中存存在在一一些些离离其其它它恒恒星星较较远远的的、由由质质量量相相等等的的四四颗颗星星组组成成的的四四星星系系统统，设设其其它它星星体体对对它它们们的的引引力力作作用用可可忽忽略略。请请设设计计出出四四星星系系统统可可能能存存在在的的两两种种稳稳定定的的构构成成形形式式。若若每每颗颗星星体体的的质质量量均均为为m，它它们们做做圆圆周周运运动动的的半半径径为为R，试试分分别别求求出出两两种种情情况况下下四四星星系系统的运动周期。统的运动周期。【解析解析】对三绕一模式，三对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为颗绕行星轨道半径均为，所受合力等于向心力，所受合力等于向心力，因此有因此有a O O r 解得解得对正方形模式，四星正方形模式，四星轨道半径均道半径均为，同理有，同理有解得解得系统 可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视星体构成的双星系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力专题六：六：天体天体圆运运动与其它运与其它运动例一例一2000年年1月月26日我国日我国发射了一射了一颗同步同步卫星，其星，其定点位置与定点位置与东经980的的经线在同一平面上。若把甘省在同一平面上。若把甘省嘉峪关嘉峪关处的的经度和度和纬度近似取度近似取为东经980和北和北纬=400，已知地球半径，已知地球半径为R，地球自，地球自转周期周期T，地球表，地球表面重力加速度面重力加速度g（视为常量）和光速常量）和光速c，试求求该同步同步卫星星发出的微波信号出的微波信号传到嘉峪关到嘉峪关处的接收站所需的接收站所需所需的所需的时间（要求用（要求用题给的已知量的符号表示）。的已知量的符号表示）。例题二 宇航员在一星球表面上的某高度，沿水平方向宇航员在一星球表面上的某高度，沿水平方向抛出一小球，经过时间抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出的初速度增。若抛出的初速度增大到大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为倍，则抛出点与落地点之间的距离为，已，已知两落地点都在同一水平面上，该星球的半径为知两落地点都在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为万有引力常数为G，求该星球的质量。，求该星球的质量。解析解析:hLS2S七：七：连续物与小行星群物与小行星群例一例一据据观察，在土星外察，在土星外围有一个模糊不有一个模糊不清的清的圆环，为了判断了判断该环是与土星相是与土星相连的的连续物，物，还是是绕土星运土星运转的小的小卫星群，星群，测出了出了环中各中各层的的线速度速度v以及以及该层到土星到土星中心的距离中心的距离R，进而得出而得出v与与R的关系。下的关系。下列判断正确的是；列判断正确的是；A若若v与与R成正比，成正比，则此此环是是连续物物B若若v与与R成反比，成反比，则此此环是小行星群是小行星群C若若v2与与R成反比，成反比，则此此环是小行星群是小行星群D若若v2与与R成反比，成反比，则此此环是是连续物物AC【例例】同步地球同步地球卫星离地心的距离星离地心的距离为r r，运行速率，运行速率为V V1 1，加速度加速度为a a1 1，在地球赤道上某物体随地球自，在地球赤道上某物体随地球自转的向的向心加速度心加速度为a a2 2，第一宇宙速度，第一宇宙速度为V V2 2，地球半径，地球半径为R R，则有：有：AD 万有引力定律在天文学上的应用万有引力定律在天文学上的应用万有引力定律的万有引力定律的发现，第一次揭示了自然界中，第一次揭示了自然界中一种基本相互作用的一种基本相互作用的规律，律，对天文学的天文学的发展起到了展起到了巨大的推巨大的推动作用作用.（一）天体（一）天体质量（密度）的量（密度）的计算（估算）：算（估算）：1.计算算天天体体质量量：把把卫星星（或或行行星星）绕中中心心天天体体的的运运动看看成成是是匀匀速速圆周周运运动，由由中中心心天天体体对卫星星（或或行星）的引力作行星）的引力作为它它绕中心天体的向心力，根据：中心天体的向心力，根据：得：得：固固此此，只只需需测出出卫星星（或或行行星星）的的运运动半半径径r和和周期周期T，即可算出中心天体的，即可算出中心天体的质量量M。例例2:如如果果把把地地球球绕太太阳阳公公转看看作作是是匀匀速速圆周周运运动，轨道道平平均均半半径径约1.5108km,已已知知万万有有引引力力常常量量G=6.6710-11N.m2/kg2,则可可估估算算出出太太阳阳的的质量量大大约是是kg。（。（结果取一位有效数字）果取一位有效数字）类题：根据月球：根据月球绕地球运地球运转的的轨道半径和周期，道半径和周期，可以可以计算出地球的算出地球的质量是量是5.8921024kg.例例1:某某行行星星一一颗小小卫星星在在半半径径为r的的圆轨道道上上绕该行行星星运运行行，运运动的的周周期期是是T，已已知知万万有有引引力力恒恒量量G，这个行星的个行星的质量是多少？量是多少？21030kg例例3:在在某某星星球球上上，宇宇航航员用用弹簧簧秤秤称称得得质量量m的的砝砝码重重量量为F，乘乘宇宇宙宙飞船船在在靠靠近近该星星球球表表面面空空间飞行行，测得得其其环绕周周期期是是T.根根据据上上述述数数据据，试求求该星星球球的的质量量.例例4:登月密封登月密封舱在离月球表面在离月球表面112km的空中的空中绕月球做匀速月球做匀速圆周运周运动，线速度速度为1.6km/s，已知月球半径，已知月球半径为1740km，根据，根据这些数据些数据计算月球的算月球的质量。量。提示：由提示：由求解求解.7.11022kg例例5.太太阳阳光光经8min20s到到达达地地球球，试估估计太太阳的阳的质量量.（取一位有效数字）（取一位有效数字）解：解：设地球地球绕太阳做匀速太阳做匀速圆周运周运动由由F向向=ma向向，【练习练习】地球和月球中心的距离是地球和月球中心的距离是3.84103.84108 8mm，月，月球绕地球一周所用的时间是球绕地球一周所用的时间是2.3102.3108 8s s。求：地球。求：地球的质量。的质量。分分析析:月月球球绕绕地地球球的的运运动动可可以以近近似似地地当当作作匀匀速速圆圆周周运运动动。设设月月球球的的质质量量为为m m月月，它它作作圆圆周周运运动动所所需需要要的的向向心心力力就就是是地地球对月球的万有引力球对月球的万有引力月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是解答：解答：地球对月球的万有引力地球对月球的万有引力 说说明明：根根据据地地球球卫卫星星绕绕地地球球运运行行的的参参数数（如如周周期期、轨轨道道半半径径），能能推推算算出出地地球球的的质质量量，但但不不能能推推算算卫卫星星的的质质量量；根根据据行行星星绕绕太太阳阳运运行行的的参参数数，能能推推算算太太阳阳的的质质量量，但但不不能能推推算算行行星星的质量。的质量。由（由（1 1）、（）、（2 2）式得）式得月球绕地球的运动周期约为月球绕地球的运动周期约为3030天天2.计算天体的密度算天体的密度当当卫星沿天体表面星沿天体表面绕天体运天体运动时，R=R0，则:把把卫星（或行星）星（或行星）绕中心天体的运中心天体的运动看成是匀看成是匀速速圆周运周运动，由中心天体，由中心天体对卫星（或行星）的引力星（或行星）的引力作作为它它绕中心天体的向心力，根据：中心天体的向心力，根据：得：得：例例6.某某行行星星的的卫星星，在在靠靠近近行行星星的的轨道道上上运运转。若若引引力力恒恒量量G为已已知知，则计算算该行行星星的的密度，唯一需要密度，唯一需要测出的物理量是出的物理量是:A、行星的半径、行星的半径B、卫星星轨道的半径道的半径C、卫星运行的星运行的线速度速度D、卫星运行的周期星运行的周期D类题:某行星的一某行星的一颗卫星星贴其表面其表面飞行，行，测得其运得其运行周期行周期为T，则可求得可求得该行星的密度行星的密度为=3/GT2.例例7.一一物物体体在在某某星星球球表表面面时受受到到的的吸吸引引力力是是在在同同地地球球表表面面所所受受吸吸引引力力的的n倍倍，该星星球球半半径径是是地地球球半半径径的的m倍倍，若若该星星球球和和地地球球的的质量量分分布布都都是是均均匀匀的的，则该星星球球的的密密度是地球密度的度是地球密度的倍。倍。n/m【例例】(1997-20)已知地球半径约为6.4106m，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m。(结果只保