2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理数试题精编版（解析版）.doc

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2014福建，理1】复数的共轭复数等于（ ） 【答案】C 2.【2014福建，理2】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）圆柱 圆锥 四面体 三棱柱【答案】A【解析】试题分析：由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A.考点：三视图.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键，本题可用逐个排除的方法，由圆柱的三视图不可能是三角形，可知该几何体不可能是圆柱.3.【2014福建，理3】等差数列的前项和，若，则( ) 【答案】C【解析】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及简单的计算问题，等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4.【2014福建,理4】若函数的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）【答案】B 5.【2014福建,理5】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ） 6.【2014福建,理6】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形的面积及充分条件与必要条件等基础知识，意在考查转化划归能力及运算能力，充分条件与必要条件多以客观题形式出现.相关结论是：若 ,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.7.【2014福建,理7】已知函数则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数 B. 是增函数 C.是周期函数 D.的值域为【答案】D 8.【2014福建,理8】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A. B . C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由于平面向量的基本定理可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B.来源:Z&xx&k.Com考点：平面向量的基本定理.【名师点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及共面向量的基本定理，向量的坐标运算大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要结论是：若,则共线的充要条件是.9.【2014福建,理9】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）A. B. C. D.【答案】D 10.【2014福建,理10】用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：依题意所有的篮球都取出或都不取出.所以要有或不含的式子.所以符合.故选A.来源:Z.xx.k.Com考点：1.新定义.2.二项式展开式.【名师点睛】解决本题的关键是读懂题意，盯住关键字眼，就可以快速破解，如5个无区别的篮球都取出或都不取出，有种不同取法，看选项没有这一项的，直接排除，由此可排除B，C，D，故选A.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.11.【2014福建,理11】若变量满足约束条件则的最小值为_ 12.【2014福建,理12】在中，,则的面积等于_【答案】【解析】试题分析：由正弦定理可得.所以的面积等于.考点：1.正弦定理.2.三角形的面积.【名师点睛】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式，是基础题，掌握公式是解决此类问题的关键.本题用到的正弦定理是 ，若给出两边与一边所对的角，求另一边所对的角，可利用此公式.13.【2014福建,理13】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_（单位：元）【答案】88 14.【2014福建,理14】如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为_.【答案】【解析】试题分析：由对数函数与指数函数的对称性,可得两块阴影部分的面积相同. .所以落到阴影部分的概率为.考点：1.几何概型.2.定积分.【名师点睛】本题主要考查几何概型及定积分，几何概型试题多以客观题形式出现,难度不大.求与面积有关的几何概型的概率计算方法是把题中所表示的几何模型转化为封闭图形的面积,然后求解，注意曲边多边形的面积常通过定积分来求.15.【2014福建,理15】若集合且下列四个关系：；有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_.【答案】6三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.【2014福建,理16】（本小题满分13分）已知函数.（1） 若，且，求的值；（2） 求函数的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1) ;(2) ,【解析】试题分析：(1)由，且,求出角的余弦值,再根据函数 17.【2014福建,理17】（本小题满分12分）在平行四边形中，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1） 求证： ；（2） 若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)参考解析;(2) 即直线与平面所成角的正弦值为.考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.【名师点睛】本题第一问是垂直问题的证明，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. 第二问是角度的计算问题,可用空间向量解决,利用向量求线面角的方法是求出平面的法向量及直线的方向向量,两向量所夹锐角的余角就是所求线面角.18.【2014福建,理18】（本小题满分13分） 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从 一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【答案】(1) ,参考解析;(2)参考解析 X2060P0.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为,则的分布列为2060100的期望为,的方差为.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为,则的分布列为406080来源:学+科+网Z+X+X+K的期望为, 的方差为.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.【名师点睛】本题以生活中常见的抽奖活动为背景，结合随机变量的概率、分布列、期望与方差，有很强的现实意义与时代气息.求解此题的关键是：先利用两个原题、排列与组合以及古典概型的概率求随机变量的概率，然后求出X的所有值，列出分布列，最后利用期望与方差的定义进行计算与判断.19.已知双曲线的两条渐近线分别为. （1）求双曲线的离心率； （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一， 四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.考点：1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.【名师点睛】本题第一问是求双曲线的离心率，椭圆与双曲线与离心率的计算问题,一直是高考中的热点问题,要求离心率的值,关键是列出关于a,b,c的等式,再转化为关于a,c的齐次方程,然后除以a的最高次幂,就可以得到一个关于e的方程,通过解方程即可求出e的值.第二问考查直线与双曲线的位置关系，要注意判别式的应用.20.【2014福建,理20】（本小题满分14分）已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.【答案】（I）,极值参考解析;（II）参考解析;（III）参考解析 解法二: （I）同解法一.（II）同解法一.（III）对任意给定的正数,取由（II）知,当时, ,所以当时, ,因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.解法三: （I）同解法一.（II）同解法一.（III）首先证明当时,恒有.证明如下:令则.由（II）知,当时, .从而在单调递减,所以即.取,当时,有.因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.注:对c的分类不同有不同的方式，只要解法正确，均相应给分.考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题把导数的几何意义、极值、不等式证明结合在一起考查，综合性强，难度大，后两问涉及到不等式证明，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.21.【2014福建,理21】本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换 已知矩阵的逆矩阵. （I）求矩阵； （II）求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.来源:学.科.网Z.X.X.K【答案】（I）参考解析;（II）参考解析阵的属于特征值的一个特征向量.考点：1.逆矩阵.2.特征至于特征向量.【名师点睛】本题主要考查逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查学生的运算求解能力，属基础题，理解相关定义是解决问题的关键. （2）（本小题满分7分）选修44：极坐标与参数方程 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ，（为常数）. （I）求直线和圆的普通方程； （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（I）,;（II）（3）（本小题满分7分）选修45：不等式选将 已知定义在R上的函数的最小值为. （I）求的值； （II）若为正实数，且，求证：.【答案】（I）;（II）参考解析来源:Zxxk.Com学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp