2018高考数学（理）大一轮复习习题：第九章 解析几何 课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线 Word版含答案.doc
课时达标检测（四十九）课时达标检测（四十九） 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线 1 1已知双曲线已知双曲线x x2 21212y y2 24 41 1 的右焦点为的右焦点为F F，若过点，若过点F F的直线与双曲线的右支有且只有一个的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是交点，则该直线的斜率的取值范围是( ( ) ) A.A. 3 33 3，3 33 3 B B( ( 3 3， 3 3) ) C.C. 3 33 3，3 33 3 D D 解析：选解析：选 C C 由题意知，右焦点为由题意知，右焦点为F F(4,0)(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为，双曲线的两条渐近线方程为y y3 33 3x x. .当当过点过点F F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是直线的斜率的取值范围是 3 33 3，3 33 3，故选，故选 C.C. 2 2 已知经过点 已知经过点(0(0， 2 2) )且斜率为且斜率为k k的直线的直线l l与椭圆与椭圆x x2 22 2y y2 21 1 有两个不同的交点有两个不同的交点P P和和Q Q，则则k k的取值范围是的取值范围是( ( ) ) A.A. 2 22 2，2 22 2 B.B. ，2 22 2 2 22 2， C C( ( 2 2， 2 2) ) D D( (， 2 2) )( ( 2 2，) 解析：选解析：选 B B 由题意得，直线由题意得，直线l l的方程为的方程为y ykxkx 2 2，代入椭圆方程得，代入椭圆方程得x x2 22 2( (kxkx 2 2) )2 21 1，整理得，整理得 1 12 2k k2 2x x2 22 2 2 2kxkx1 10.0.直线直线l l与椭圆有两个不同的交点与椭圆有两个不同的交点P P和和Q Q等价于等价于8 8k k2 24 4 1 12 2k k2 24 4k k2 22020，解得，解得k k 2 22 2，即，即k k的取值范围为的取值范围为 ，2 22 2 2 22 2， . .故选故选 B.B. 3 3过抛物线过抛物线y y2 22 2x x的焦点作一条直线与抛物线交于的焦点作一条直线与抛物线交于A A，B B两点，它们的横坐标之和等两点，它们的横坐标之和等于于 2 2，则这样的直线，则这样的直线( ( ) ) A A有且只有一条有且只有一条 B B有且只有两条有且只有两条 C C有且只有三条有且只有三条 D D有且只有四条有且只有四条 解析：选解析：选 B B 通径通径 2 2p p2 2，| |ABAB| |x x1 1x x2 2p p，| |ABAB| |3232p p，故这样的直线有且只有，故这样的直线有且只有两条两条 4 4斜率为斜率为 1 1 的直线的直线l l与椭圆与椭圆x x2 24 4y y2 21 1 相交于相交于A A，B B两点，则两点，则| |ABAB| |的最大值为的最大值为( ( ) ) A A2 2 B.B.4 4 5 55 5 C.C.4 4 10105 5 D.D.8 8 10105 5 解析解析：选选 C C 设设A A，B B两点的坐标分别为两点的坐标分别为( (x x1 1，y y1 1) )，( (x x2 2，y y2 2) )，直线直线l l的方程为的方程为y yx xt t，由由 x x2 24 4y y2 21 1，y yx xt t消去消去y y， 得得 5 5x x2 28 8txtx4(4(t t2 21)1)0.0.则则x x1 1x x2 28 85 5t t，x x1 1x x2 2t t2 25 5. .| |ABAB| |1 1k k2 2| |x x1 1x x2 2| |1 1k k2 2x x1 1x x2 22 24 4x x1 1x x2 22 2 8 85 5t t2 244t t2 25 54 4 2 25 5 5 5t t2 2，故当故当t t0 0 时时，| |ABAB| |maxmax4 4 10105 5. . 5 5已知椭圆已知椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)，F F( ( 2 2，0)0)为其右焦点，过为其右焦点，过F F且垂直于且垂直于x x轴的直轴的直线与椭圆相交所得的弦长为线与椭圆相交所得的弦长为 2.2.则椭圆则椭圆C C的方程为的方程为_ 解析：由题意得解析：由题意得 c c 2 2，b b2 2a a1 1，a a2 2b b2 2c c2 2，解得解得 a a2 2，b b 2 2，故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为x x2 24 4y y2 22 21. 1. 答案：答案：x x2 24 4y y2 22 21 1 一、选择题一、选择题 1 1椭圆椭圆axax2 2byby2 21 1 与直线与直线y y1 1x x交于交于A A，B B两点，过原点与线段两点，过原点与线段ABAB中点的直线的中点的直线的斜率为斜率为3 32 2，则，则a ab b( ( ) ) A.A.3 32 2 B.B.2 2 3 33 3 C.C.9 9 3 32 2 D.D.2 2 3 32727 解析解析：选选 A A 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，ABAB的中点的中点M M( (x x0 0，y y0 0) )，结合题意结合题意，由点差法得由点差法得，y y2 2y y1 1x x2 2x x1 1a ab bx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2a ab bx x0 0y y0 0a ab b2 23 31 1，所以所以a ab b3 32 2. . 2 2经过椭圆经过椭圆x x2 22 2y y2 21 1 的一个焦点作倾斜角为的一个焦点作倾斜角为 4545的直线的直线l l，交椭圆于，交椭圆于A A，B B两点设两点设O O为坐标原点，则为坐标原点，则OAOB等于等于( ( ) ) A A3 3 B B1 13 3 C C1 13 3或或3 3 D D1 13 3 解析： 选解析： 选 B B 依题意， 当直线依题意， 当直线l l经过椭圆的右焦点经过椭圆的右焦点(1,0)(1,0)时， 其方程为时， 其方程为y y0 0tan 45(tan 45(x x1)1)，即，即y yx x1 1，代入椭圆方程，代入椭圆方程x x2 22 2y y2 21 1 并整理得并整理得 3 3x x2 24 4x x0 0，解得，解得x x0 0 或或x x4 43 3，所以，所以两个交点坐标分别为两个交点坐标分别为(0(0，1)1)， 4 43 3，1 13 3，OAOB1 13 3，同理，直线，同理，直线 l l经过椭圆的左经过椭圆的左焦点时，也可得焦点时，也可得OAOB1 13 3. . 3 3 已知抛物线 已知抛物线y y2 22 2pxpx的焦点的焦点F F与椭圆与椭圆 1616x x2 22525y y2 2400400 的左焦点重合， 抛物线的准线的左焦点重合， 抛物线的准线与与x x轴的交点为轴的交点为K K，点，点A A在抛物线上且在抛物线上且| |AKAK| | 2 2| |AFAF| |，则点，则点A A的的横坐标为横坐标为( ( ) ) A A2 2 B B2 2 C C3 3 D D3 3 解析：选解析：选 D D 1616x x2 22525y y2 2400400 可化为可化为x x2 22525y y2 216161 1， 则椭圆的左焦点为则椭圆的左焦点为F F( (3,0)3,0)， 又抛物线又抛物线y y2 22 2pxpx的焦点为的焦点为 p p2 2，0 0 ，准线为，准线为x xp p2 2， 所以所以p p2 23 3，即，即p p6 6，即，即y y2 21212x x，K K(3,0)(3,0) 设设A A( (x x，y y) )，则由，则由| |AKAK| | 2 2| |AFAF| |得得 ( (x x3)3)2 2y y2 22 2，即，即x x2 21818x x9 9y y2 20 0， 又又y y2 21212x x，所以，所以x x2 26 6x x9 90 0，解得，解得x x3.3. 4 4已知抛物线已知抛物线y y2 22 2pxpx( (p p0)0)，过其焦点且斜率为，过其焦点且斜率为 1 1 的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A，B B两点，若两点，若线段线段ABAB的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为 2 2，则该抛物线的准线方程为，则该抛物线的准线方程为( ( ) ) A Ax x1 1 B Bx x1 1 C Cx x2 2 D Dx x2 2 解析：选解析：选 B B 设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，两点在抛物线上，两点在抛物线上， y y2 21 12 2pxpx1 1， y y2 22 22 2pxpx2 2， 得得( (y y1 1y y2 2)()(y y1 1y y2 2) )2 2p p( (x x1 1x x2 2) )， 又线段又线段ABAB的中点的纵坐标为的中点的纵坐标为 2 2，y y1 1y y2 24 4， 又直线的斜率为又直线的斜率为 1 1，y y1 1y y2 2x x1 1x x2 21 1，2 2p p4 4，p p2 2， 抛物线的准线方程为抛物线的准线方程为x xp p2 21.1. 5 5抛物线抛物线y y2 24 4x x的焦点为的焦点为F F，准线为，准线为l l，经过，经过F F且斜率为且斜率为 3 3的直线与抛物线在的直线与抛物线在x x轴上轴上方的部分相交于点方的部分相交于点A A，AKAKl l，垂足为，垂足为K K，则，则AKFAKF的面积是的面积是( ( ) ) A A4 4 B B3 3 3 3 C C4 4 3 3 D D8 8 解析解析：选选 C C y y2 24 4x x，F F(1,0)(1,0)，准线准线l l：x x1 1，过焦点过焦点F F且斜率为且斜率为 3 3的直线的直线l l1 1：y y 3 3( (x x1)1)，与与y y2 24 4x x联立联立，解得解得A A(3,2(3,2 3 3) )，AKAK4 4，S SAKFAKF1 12 24242 3 34 4 3 3. . 6 6若椭圆若椭圆x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1 的焦点在的焦点在x x轴上，过点轴上，过点 1 1，1 12 2作圆作圆x x2 2y y2 21 1 的切线，切点分别为的切线，切点分别为A A，B B，直线，直线ABAB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是( ( ) ) A.A.x x2 24 4y y2 23 31 1 B.B.x x2 23 3y y2 22 21 1 C.C.x x2 25 5y y2 24 41 1 D.D.x x2 28 8y y2 25 51 1 解析：选解析：选 C C 由题可设斜率存在的切线的方程为由题可设斜率存在的切线的方程为y y1 12 2k k( (x x1)(1)(k k为切线的斜率为切线的斜率) )，即，即2 2kxkx2 2y y2 2k k1 10 0，由，由| |2 2k k1|1|4 4k k2 24 41 1，解得，解得k k3 34 4，所以圆，所以圆x x2 2y y2 21 1 的一条切线的方程的一条切线的方程为为 3 3x x4 4y y5 50 0，可求得切点的坐标为，可求得切点的坐标为 3 35 5，4 45 5，易知另一切点的坐标为，易知另一切点的坐标为(1,0)(1,0)，则直线，则直线ABAB的方程为的方程为y y2 2x x2 2，令，令y y0 0 得右焦点为得右焦点为(1,0)(1,0)，令，令x x0 0 得上顶点为得上顶点为(0,2)(0,2)，故，故a a2 2b b2 2c c2 25 5，所以所求椭圆的方程为，所以所求椭圆的方程为x x2 25 5y y2 24 41.1. 二、填空题二、填空题 7 7设双曲线设双曲线x x2 29 9y y2 216161 1 的右顶点为的右顶点为A A，右焦点为，右焦点为F F. .过点过点F F平行于双曲线的一条渐近线平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点的直线与双曲线交于点B B，则，则AFBAFB的面积为的面积为_ 解析：解析：c c5 5，设过点，设过点F F平行于一条渐近线的直线方程为平行于一条渐近线的直线方程为y y4 43 3( (x x5)5)，即，即 4 4x x3 3y y20200 0，联立直线与双曲线方程，求得，联立直线与双曲线方程，求得y yB B32321515，则，则S S1 12 2(5(53)3)3232151532321515. . 答案：答案：32321515 8 8在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，过中，过y y轴正方向上一点轴正方向上一点C C(0(0，c c) )任作一条直线，与抛物线任作一条直线，与抛物线y yx x2 2相交于相交于A A，B B两点，若两点，若OAOB2 2，则，则c c的值为的值为_ 解析：设过点解析：设过点C C的直线为的直线为y ykxkxc c( (c c0)0)，代入，代入y yx x2 2得得x x2 2kxkxc c，即，即x x2 2kxkxc c0 0，设设A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，则，则x x1 1x x2 2k k，x x1 1x x2 2c c，OA( (x x1 1，y y1 1) )，OB( (x x2 2，y y2 2) )，因为，因为OAOB2 2，所以，所以x x1 1x x2 2y y1 1y y2 22 2，即，即x x1 1x x2 2( (kxkx1 1c c)()(kxkx2 2c c) )2 2，即，即x x1 1x x2 2k k2 2x x1 1x x2 2kckc( (x x1 1x x2 2) )c c2 22 2，所以，所以c ck k2 2c ckckck kc c2 22 2，即，即c c2 2c c2 20 0，所以，所以c c2 2 或或c c1(1(舍去舍去) ) 答案：答案：2 2 9 9中心为原点，一个焦点为中心为原点，一个焦点为F F(0,5(0,5 2 2) )的椭圆，截直线的椭圆，截直线y y3 3x x2 2 所得弦中所得弦中点的横坐标点的横坐标为为1 12 2，则该椭圆方程为，则该椭圆方程为_ 解析： 由已知得解析： 由已知得c c5 5 2 2， 设椭圆的方程为， 设椭圆的方程为x x2 2a a2 25050y y2 2a a2 21 1， 联立得， 联立得 x x2 2a a2 25050y y2 2a a2 21 1，y y3 3x x2 2消去消去y y得得(10(10a a2 2450)450)x x2 212(12(a a2 250)50)x x4(4(a a2 250)50)a a2 2( (a a2 250)50)0 0，设直线，设直线y y3 3x x2 2 与椭与椭圆的交点坐标分别为圆的交点坐标分别为( (x x1 1，y y1 1) )，( (x x2 2，y y2 2) )，由根与，由根与系数关系得系数关系得x x1 1x x2 2a a2 21010a a2 2450450，由题意，由题意知知x x1 1x x2 21 1，即，即a a2 21010a a2 24504501 1，解得，解得a a2 27575，所以该椭圆方程为，所以该椭圆方程为y y2 27575x x2 225251.1. 答案：答案：y y2 27575x x2 225251 1 1010已知抛物线已知抛物线C C：y y2 28 8x x与点与点M M( (2,2)2,2)，过，过C C的焦点且斜率为的焦点且斜率为k k的直线与的直线与C C交于交于A A，B B两点若两点若MAMB0 0，则，则k k_._. 解析：解析：如图所示，设如图所示，设F F为焦点，易知为焦点，易知F F(2(2，0)0)，取，取ABAB的中点的中点P P，过，过A A，B B分别作准线的分别作准线的垂线，垂足分别为垂线，垂足分别为G G，H H，连接，连接MFMF，MPMP，由，由MAMB0 0，知，知MAMAMBMB，则，则| |MPMP| |1 12 2| |ABAB| |1 12 2(|(|AFAF| | |BFBF|)|)1 12 2(|(|AGAG| | |BHBH|)|)，所以，所以MPMP为直为直角梯形角梯形BHGABHGA的中位线，所以的中位线，所以MPMPAGAGB BH H，由，由| |MPMP| | |APAP| |，得，得GAMGAMAMPAMPMAPMAP，又，又| |AGAG| | |AFAF| |，AMAM为公共边，所以为公共边，所以AMGAMGAMFAMF，所，所以以AFMAFMAGMAGM9090，则，则MFMFABAB，所以，所以k k1 1k kMFMF2.2. 答案：答案：2 2 三、解答题三、解答题 1111已知椭圆已知椭圆C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a ab b0)0)的两个焦点分别为的两个焦点分别为F F1 1( (2 2，0)0)，F F2 2(2,0)(2,0)，离心率，离心率为为6 63 3. .过点过点F F2 2的直线的直线l l( (斜率不为斜率不为 0)0)与椭圆与椭圆C C交于交于A A，B B两点，线段两点，线段ABAB的中点为的中点为D D，O O为坐为坐标原点，直线标原点，直线O OD D交椭圆于交椭圆于M M，N N两点两点 (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程； (2)(2)当四边形当四边形MFMF1 1NFNF2 2为矩形时，求直线为矩形时，求直线l l的方程的方程 解：解：(1)(1)由题意可知由题意可知 c c2 2，c ca a6 63 3，a a2 2b b2 2c c2 2， 解得解得a a 6 6，b b 2 2. . 故椭圆故椭圆C C的方程为的方程为x x2 26 6y y2 22 21.1. (2)(2)由题意可知直线由题意可知直线l l的斜率存在设其方程为的斜率存在设其方程为y yk k( (x x2)2)， 点点A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) )，M M( (x x3 3，y y3 3) )，N N( (x x3 3，y y3 3) )， 由由 x x2 26 6y y2 22 21 1，y yk kx x得得(1(13 3k k2 2) )x x2 21212k k2 2x x1212k k2 26 60 0， 所以所以x x1 1x x2 21212k k2 21 13 3k k2 2， 则则y y1 1y y2 2k k( (x x1 1x x2 24)4)4 4k k1 13 3k k2 2， 所以所以ABAB的中点的中点D D的坐标为的坐标为 6 6k k2 21 13 3k k2 2，2 2k k1 13 3k k2 2， 因此直线因此直线ODOD的方的方程为程为x x3 3kyky0(0(k k0)0) 由由 x x3 3kyky0 0，x x2 26 6y y2 22 21 1 解得解得y y2 23 32 21 13 3k k2 2，x x3 33 3kyky3 3. . 因为四边形因为四边形MFMF1 1NFNF2 2为矩形，为矩形， 所以所以F F2 2M M F F2 2N N 0 0， 即即( (x x3 32 2，y y3 3)()(x x3 32 2，y y3 3) )0 0， 所以所以 4 4x x2 23 3y y2 23 30.0.所以所以 4 42 29 9k k2 21 11 13 3k k2 20.0. 解得解得k k3 33 3. .故直线故直线l l的方程为的方程为 3 3x x3 3y y2 2 3 30 0 或或 3 3x x3 3y y2 2 3 30.0. 1212(2016(2016大连双基测试大连双基测试) )已知过点已知过点(2,0)(2,0)的直线的直线l l1 1交抛物线交抛物线C C：y y2 22 2pxpx( (p p0)0)于于A A，B B两点，直线两点，直线l l2 2：x x2 2 交交x x轴于点轴于点Q Q. . (1)(1)设直线设直线QAQA，QBQB的斜率分别为的斜率分别为k k1 1，k k2 2，求，求k k1 1k k2 2的值；的值； (2)(2)点点P P为抛物线为抛物线C C上异于上异于A A，B B的任意一点，直线的任意一点，直线PAPA，PBPB交直线交直线l l2 2于于M M，N N两点，两点，OMON2 2，求抛物线，求抛物线C C的方程的方程 解：解：(1)(1)设直线设直线l l1 1的方程为的方程为x xmymy2 2，点，点A A( (x x1 1，y y1 1) )，B B( (x x2 2，y y2 2) ) 联立方程联立方程 x xmymy2 2，y y2 22 2pxpx，得得y y2 22 2pmypmy4 4p p0 0， 则则y y1 1y y2 22 2pmpm，y y1 1y y2 24 4p p. . k k1 1k k2 2y y1 1x x1 12 2y y2 2x x2 22 2 y y1 1mymy1 14 4y y2 2mymy2 24 4 2 2mymy1 1y y2 2y y1 1y y2 2mymy1 1mymy2 2 8 8mpmp8 8mpmpmymy1 1mymy2 2 0.0. (2)(2)设点设点P P( (x x0 0，y y0 0) )，直线，直线PAPA：y yy y1 1y y1 1y y0 0 x x1 1x x0 0( (x xx x1 1) )， 当当x x2 2 时，时，y yM M4 4p py y1 1y y0 0y y1 1y y0 0， 同理同理y yN N4 4p py y2 2y y0 0y y2 2y y0 0. . 因为因为OMON2 2， 所以所以 4 4y yN Ny yM M2 2， 即即4 4p py y2 2y y0 0y y2 2y y0 04 4p py y1 1y y0 0y y1 1y y0 0 1616p p2 24 4pypy0 0y y2 2y y1 1y y2 20 0y y1 1y y2 2y y2 2y y1 1y y0 0y y2 2y y1 1y y2 20 0 1616p p2 28 8p p2 2mymy0 04 4pypy2 20 04 4p p2 2pmypmy0 0y y2 20 0 4 4p p4 4p p2 2pmypmy0 0y y2 20 04 4p p2 2pmypmy0 0y y2 20 02 2， 故故p p1 12 2，所以抛物线所以抛物线C C的方程为的方程为y y2 2x x. .
