（新高考）2021届高三大题优练13 导数极值点偏移 教师版.docx

导数极值点偏移大题优练13优选例题例1已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点， （i）求实数a的取值范围；（ii）求证：【答案】（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析【解析】（1），令，因为，所以当时，单调递减；所以当时，单调递增，所以，所以当时，；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）（i），要使在上有两个极值点，则在上有两个不同的零点，时，由（1）知，令，故，所以在上为增函数，所以，故，故在上无零点，舍去；当时，则在上单调递减 ，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；当时，由（1）知所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即要使，解得，综上所述，a的取值范围为（ii）由（i）知，即，故，所以，要证，只要证，就要证，由上可知在上单调递增，所以只要证，而，所以只要证，（*）令，即，所以，故在上单调递增，所以当时，即，即（*）式成立，所以得证例2已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）令，若存在，且时，证明：【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】（1）的定义域为，当时，当时，由，得；由，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增（2），由题意知，令，则，在上单调递增，不妨设，令，只需证，只需证，设，则，在递增，即成立，即模拟优练1已知函数，（1）当时，求的最大值；（2）当时，（i）判断函数的零点个数；（ii）求证：有两个极值点，且【答案】（1）；（2）两个；证明见解析【解析】定义域为，当时，令，得；令，得，故在上单调递增，在上单调递减（1）当时，在上单调递增，在上单调递减，所以（2）（i）在上单调递增，在上单调递减，至多有两个零点，在上有一个零点；由（1）可证，从而，又，在上有一个零点，综上，函数有两个零点（ii）的定义域为，由（i）知有两个零点，设为，且，且，又在上单调递增，在上单调递减当或时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故为的两个极值点，同理，欲证，即证，令，即证，即证记，在上单调递增，故，命题得证2已知函数（1）若存在极值点1，求的值；（2）若存在两个不同的零点，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以（2），当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；当时，由，得当时，所以为增函数；当时，所为减函数，所以当时，取得极小值，又因为存在两个不同零点，所以，即，整理得，作关于直线的对称曲线，令，所以在上单调递增，不妨设，则，即，又因为，且在上为减函数，故，即，又，易知成立，故3设函数，其中a为实数（1）求的单调区间；（2）若有两个零点，证明：【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析【解析】（1）由题设可知，的定义域为，令，解得当时，单调递增；当时，单调递减，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为（2）函数有两个零点等价于方程有两个不等实根，也等价于函数与的图象有两个交点由（1）可知，在递增，在递减且当时，；当时，故，所以欲证，只需证，因为，故只需证，又，故只需证明，即证，即，两边取对数可得，即只需证明设，其中，则，所以在递减，又，所以，所以4已知函数（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数n的值；（2）若时，函数恰有两个零点，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为，所以（2）当时，由题意知，得，即，令，则，且，又因为，由知，所以，要证，只需证，即证，即，令，则，所以在上单调递增且，所以当时，即5已知（1）求的单调区间；（2）设，为函数的两个零点，求证：【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1），当时，即的单调递增区间为，无减区间；当时，由，得，时，；时，时，易知的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为不妨设，由条件知，即，构造函数，与图象两交点的横坐标为，由，可得，而，知在区间上单调递减，在区间上单调递增可知，欲证，只需证，即证，考虑到在上递增，只需证，由知，只需证，令，则，即单增，又，结合，知，即成立，即成立6已知函数，（1）若恒成立，求的取值范围；（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）令，有，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则，即（2）方法一：，即，欲证：，只需证明，只需证明，只需证明设，则只需证明，即证：设，在单调递减，所以原不等式成立方法二：由（1）可知，若函数有两个零点，有，则，且，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，只需证，又，即证，即证，令，有在上单调递增，所以原不等式成立