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第三章动量与角动量第三章动量与角动量 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理3.2 质点系动量定理质点系动量定理 3.3 动量守恒定律动量守恒定律3.4 变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理3.5 质心质心3.6 质心运动定理质心运动定理 3.7 质点的角动量质点的角动量 3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律前言前言本章目录本章目录2前言前言我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，在有些问题中，如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射3 3.1 冲量，动量，质点动量定理冲量，动量，质点动量定理定义：定义：力的力的冲量冲量（impulse）作用力与作用作用力与作用时间的乘积时间的乘积质点的质点的动量动量（momentum）4质点动量定理：质点动量定理：（theorem of momentum of a particle）（微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式）质点在运动过程中，所受合外力的冲量质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。等于质点动量的增量。56平均冲力平均冲力 例例已知：已知：一篮球质量一篮球质量m=0.58kg，求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率从从h=2.0m的高度下落，的高度下落，到达地面后，到达地面后，接触地面时间接触地面时间 t=0.019s。FFto t速率反弹，速率反弹，以同样以同样7船行船行“八面风八面风”8逆风行舟逆风行舟帆帆v1 v2v1 v2v风风 F风对帆风对帆 F横横 F进进 F横横 F阻阻龙骨龙骨F帆对风帆对风v9例例1 1 力力 ，沿沿z z方方向向，计计算算t=0t=0至至t=1st=1s内，力对物体的冲量。内，力对物体的冲量。解解：10例例2 2（03710371）一一颗颗子子弹弹在在枪枪筒筒里里前前进进时时所所受受的的合合力力为为F=4004F=4004 10105 5t t/3/3(SI)(SI)，子子弹弹从从枪枪口口射射出出时时的的速速率率为为300m/s,300m/s,假假设设子子弹弹离离开开枪口处合力刚好为零，则枪口处合力刚好为零，则 （1)1)子弹走完枪筒全长所用的时间子弹走完枪筒全长所用的时间t=?t=?(2)(2)子弹在枪筒中所受力的冲量子弹在枪筒中所受力的冲量I=?I=?(3)(3)子弹的质量子弹的质量m=?m=?11（1)1)子弹走完枪筒全长所用的时间子弹走完枪筒全长所用的时间t t=?=?F=400 4 105t/3子弹离开枪口处子弹离开枪口处合力合力刚好为零刚好为零子弹走完枪筒全长子弹走完枪筒全长12(2)(2)子弹在枪筒中所受力的冲量子弹在枪筒中所受力的冲量(3)(3)子弹的质量子弹的质量m=?13例例3 3（04270427）一一质质量量均均匀匀分分布布的的柔柔软软细细绳绳铅铅 直直地地悬悬挂挂着着，绳绳的的下下端端刚刚好好触触到到桌桌面面 上上。如如果果把把绳绳的的上上端端放放开开，绳绳将将落落在在桌桌 面面上上。试试证证明明：在在绳绳下下落落的的过过程程中中，任任 意意时时刻刻作作用用于于桌桌面面的的压压力力等等于于已已落落到到桌桌 面上的绳的重量的三倍。面上的绳的重量的三倍。解：解：取刚刚落到桌面的质量元取刚刚落到桌面的质量元 为研究对象为研究对象受力：受力：方向方向向上向上方向方向向下向下14动量定理动量定理:作用于桌面的压力作用于桌面的压力:+（忽略）（忽略）15 3.2 质点系动量定理质点系动量定理 （theorem of momentum of particle system）Fipi fj i fi j为质点为质点 i 受的受的合外力，合外力，i j质点系质点系 为质点为质点 i 受质点受质点 j 的的内力，内力，为质点为质点 i 的动量。的动量。对质点对质点 i：对质点系：对质点系：由牛顿第三定律有：由牛顿第三定律有：16所以有：所以有：令令则有：则有：或或质点系动量定理质点系动量定理（微分形式）（微分形式）质质点点系系动动量量定定理（积分形式）理（积分形式）系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。17例子：见书例子：见书P137例例3.3用质点系动量定理处理问题可避开内力。用质点系动量定理处理问题可避开内力。任意一段时间间隔内任意一段时间间隔内质点系质点系所受所受合外力合外力的的冲冲量量等于在同一时间间隔内质点系内等于在同一时间间隔内质点系内所有质点所有质点的动量矢量和的增量。的动量矢量和的增量。18 3.3动量守恒定律动量守恒定律这就是这就是质点系的动量守恒定律。质点系的动量守恒定律。即即几点说明：几点说明：1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点系所受合外力为零时，质点系所受合外力为零时，质点系的总动量质点系的总动量不随时间改变。不随时间改变。（law of conservation of momentum）19 4.若某个方向上合外力为零，若某个方向上合外力为零，5.当外力当外力内力，内力，6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本则该方向上动则该方向上动尽管总动量可能并不守恒。尽管总动量可能并不守恒。量守恒，量守恒，且作用时间极短时且作用时间极短时（如碰撞），（如碰撞），可认为动量近似守恒。可认为动量近似守恒。的定律，的定律，它在宏观和微观领域均适用。它在宏观和微观领域均适用。7.用守恒定律作题，应注意分析用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统过程、系统 切惯性系中均守恒。切惯性系中均守恒。3.动量若在某一惯性系中守恒，动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一则在其它一和条件。和条件。20在直角坐标系中的分量式可表示为：在直角坐标系中的分量式可表示为：21例例4 4（07110711）粒子粒子B的质量是粒子的质量是粒子A的质量的的质量的 4倍，倍，开始时粒子开始时粒子A的速度的速度 粒子粒子B的速度的速度 ，在无外力，在无外力 作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子 A的速度变为的速度变为 ，则此后粒，则此后粒 子子B的速度的速度=?解：解：（A+B）粒子动量守恒）粒子动量守恒 粒子粒子B的速度的速度见书见书P139141：冲击摆、：冲击摆、粒子散射粒子散射22 粘附粘附 主体的质量增加（如滚雪球）主体的质量增加（如滚雪球）抛射抛射 主体的质量减少（如火箭发射）主体的质量减少（如火箭发射）低速（低速（v c）情况下的两类变质量问题：）情况下的两类变质量问题：下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。3.4变质量系统、火箭飞行原理变质量系统、火箭飞行原理 这是相对论情形，这是相对论情形，不在本节讨论之列。不在本节讨论之列。以随速度改变以随速度改变 m=m(v)，情况下，情况下，还有另一类变质量问题是在高速（还有另一类变质量问题是在高速（v c）这时即使没有粘附和抛射，质量也可这时即使没有粘附和抛射，质量也可23条件：条件：燃料相对箭体以恒速燃料相对箭体以恒速u喷出喷出初态：初态：系统质量系统质量 M，速度，速度v(对地对地)，动量，动量 M v火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空间飞行）（在自由空间飞行）1.火箭的速度火箭的速度系统：系统：火箭壳体火箭壳体+尚存燃料尚存燃料总体过程：总体过程：i(点火点火)f(燃料烧尽燃料烧尽)先分析一先分析一微过程：微过程：t t+dt末态：末态：喷出燃料后喷出燃料后喷出燃料的质量：喷出燃料的质量：dm=-dM，喷出燃料速度喷出燃料速度(对地对地)：v-uvu24火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的质量：尚存燃料的质量：M-dm系统动量：系统动量：(M-dm)(v+d v)+-dM(v-u)火箭壳体火箭壳体+尚存燃料的速度尚存燃料的速度(对地对地)：v+d v 由动量守恒，有由动量守恒，有 M v=-dM(v-u)+(M-dm)(v+d v)经整理得：经整理得：Mdv =-udM速度公式：速度公式：25引入引入火箭质量比：火箭质量比：得得讨论：讨论：提高提高 vf 的途径的途径 (1)提高提高 u（现可达（现可达 u=4.1 km/s）(2)增大增大 N（受一定限制）（受一定限制）为提高为提高N，采用多级火箭（一般为三级），采用多级火箭（一般为三级）v=u1ln N1+u2ln N2+u3ln N326t+dt时刻：时刻：速度速度 v-u，动量动量dm(v-u)由动量定理，由动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v(和主体速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为27rc3.5质心质心（center of mass）一一.质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定Cmizri yx0定义定义质心质心 C 的位矢为：的位矢为：质心位置是质心位置是质点位置以质点位置以质量为质量为权重权重的平均值。的平均值。为便于研究质点系总体运动，引入为便于研究质点系总体运动，引入质心质心概念。概念。28二二.几种系统的质心几种系统的质心 两质点系统两质点系统m2m1r1r2C m1 r1=m2 r2 连续体连续体rrcdmC0m zx y29R“小线度小线度”物体的质心和重心是重合的。物体的质心和重心是重合的。例例如图示，如图示，CxC Or Orddx y O均质圆盘均质圆盘求求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。挖掉小圆盘后系统的质心坐标。由对称性分析，质心由对称性分析，质心C应在应在x轴上。轴上。解：解：令令 为质量的面密度，为质量的面密度，则则质心坐标为：质心坐标为：挖空挖空 均匀杆、圆盘、均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。圆环、球，质心为其几何中心。30 3.6质心运动定理质心运动定理（theorem of motion of center of mass）一一.质心运动定理质心运动定理rcCvcmizri yx0vi即质点系的总动量即质点系的总动量 是质点系的是质点系的“平均平均”速度速度31由由 质心运动定理质心运动定理有有拉力拉力纸纸C球往哪边球往哪边移动？移动？该质点集中了整个质点系的质量和所受该质点集中了整个质点系的质量和所受质心的运动如同一个在质心位置处的质点的质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，运动，的外力。的外力。实际上是物体质心的运动。实际上是物体质心的运动。在质点力学中所谓在质点力学中所谓“物体物体”的运动，的运动，思考思考32 系统系统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动，在光滑水平面上滑动在光滑水平面上滑动的扳手，的扳手，做跳马落地动作的运做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但动员尽管在翻转，但 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：例如：其质心做匀其质心做匀速直线运动速直线运动33若合外力为零，若合外力为零，二二.动量守恒与质心的运动动量守恒与质心的运动质点系动量守恒质点系动量守恒若合外力分量为若合外力分量为0，质点系分动量守恒质点系分动量守恒质点系动量守恒和质心匀速运动等价质点系动量守恒和质心匀速运动等价！则则则则相应的质心分速度不变相应的质心分速度不变34 1.质心系质心系质心系质心系是固结在质心上的是固结在质心上的平动平动参考系。参考系。质心系不一定是惯性系。质心系不一定是惯性系。质点系的复杂运动通常可分解为：质点系的复杂运动通常可分解为：在质心系中考察质点系的运动。在质心系中考察质点系的运动。讨论天体运动及碰撞等问题时常用到讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。质心系。质点系整体随质心的运动；质点系整体随质心的运动；各质点相对于质心的运动各质点相对于质心的运动 三三.质心（参考）系质心（参考）系（frame of center of mass）352.质心系的基本特征质心系的基本特征质心系是零动量参考系。质心系是零动量参考系。m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 质心系中看两粒子碰撞质心系中看两粒子碰撞等值、反向等值、反向的动量。的动量。两质点系统在其两质点系统在其质心系中，质心系中，总是具有总是具有36 3.7 质点的角动量质点的角动量（angular momentum of a particle）一一.质点的角动量质点的角动量角动量是质点运动中的一个重要的物理量，角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。LmO pr 质点质点m对惯性系中的固对惯性系中的固定点定点O的的角动量角动量定义为：定义为：单位：单位：kg m2/s大小：大小：方向：方向：决定的平面（右螺旋）决定的平面（右螺旋）37LRv mO 质点作匀速率圆周运动时，质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为对圆心的角动量的大小为方向方向 圆面圆面不变。不变。L=mvR，同一质点的同一运动，其角动量却可以随固同一质点的同一运动，其角动量却可以随固定点的不同而改变。定点的不同而改变。例如：例如：方向变化方向变化方向竖直向上不变方向竖直向上不变OlO 锥摆锥摆m38例例5 5（09900990）A A和和B B是是两两个个滑滑冰冰者者，质质量量都都是是 m m，且且都都以以速速度度V V沿沿着着互互相相平平行行的的直直线线相相对对滑滑行行，两两条条平平行行直直线线间间距距为为L L。第第三三个个滑滑冰冰者者C C，在在与与A A、B B滑滑行行的的直直线线平平行行的的另另一一直直线线上上，以以V V的的速速度度滑滑行行。C C的的滑滑行行直直线线与与B B的的滑滑行行直直线线相相距距为为d d，三三条条滑滑行行直直线线在在同同一一平平面面内内，如如图图。当当A A、B B、C C三三人人在在垂垂直直三三条条滑滑行行线线的的同同一一直直线线上上时，时，（1 1）若若C C与与B B同同方方向向运运动动，如如图图（a a）所所示示，A A和和B B相对相对C C的总角动量（动量矩）大小为多少？的总角动量（动量矩）大小为多少？（2 2）若若C C与与B B反反方方向向运运动动如如图图（b b）所所示示，A A和和B B相相对对C C的总角动量（动量矩）大小为？的总角动量（动量矩）大小为？39A和和B相对相对C的总角动量（动量矩）大小的总角动量（动量矩）大小解：解：方向：方向：方向：方向：40二二.质点的角动量定理，力矩质点的角动量定理，力矩由由有：有：定义力定义力对定点对定点 O 的的力矩力矩(moment of force)为：为：FM rOm 称称力臂力臂r041于是有于是有质点角动量定理质点角动量定理或或积分积分质点角动量定理质点角动量定理称称冲量矩冲量矩力矩对时间的积累作用。力矩对时间的积累作用。（积分形式）（积分形式）（微分形式）（微分形式）42力矩力矩 的计算的计算 集中力集中力（力集中在一点）（力集中在一点）方法一：方法一：43大小：方向：与与 相同相同元力矩元力矩总力矩总力矩方法二：方法二：分散力分散力（力分散在一区域内）（力分散在一区域内）44例例 6 6（07240724）一一 质质 量量 为为 M M的的 质质 点点 沿沿 着着 一一 条条 空空 间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为 其其中中a a、b b、皆皆为为常常数数，则则此此质质点点所所受受的的对对原原点点的的力力矩矩 ；该质点对原点的角动量；该质点对原点的角动量解：解：质点所受的对原点的力矩质点所受的对原点的力矩4546 质点对原点的角动量质点对原点的角动量47例例7 7（P P287287 5.15 5.15）唱机的转盘绕着通过盘心唱机的转盘绕着通过盘心 的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受 转盘的摩擦力作用而随转盘转动。设唱转盘的摩擦力作用而随转盘转动。设唱 片可以看成是半径为片可以看成是半径为R的均匀圆盘，质的均匀圆盘，质 量为量为 ，唱片和转盘之间的滑动摩擦，唱片和转盘之间的滑动摩擦 系数为系数为 。问唱片受到的摩擦力矩有。问唱片受到的摩擦力矩有 多大？多大？解：解：注意注意 摩擦力分布在整个圆盘上，因此摩擦力分布在整个圆盘上，因此48第一步：第一步：方向：49第二步：第二步：方向：方向：沿轴沿轴50（54625462）一根质量为一根质量为 、长为、长为 、的均匀、的均匀 细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖 直固定轴转动，已知细杆与桌面的滑动摩直固定轴转动，已知细杆与桌面的滑动摩 擦系数为擦系数为 ，则杆转动时受的摩擦力矩的，则杆转动时受的摩擦力矩的 大小等于？大小等于？5152是变量是变量53zFrO平面平面 z轴轴F F/MMzr/r r r sin 三三.质点对轴的角动量质点对轴的角动量 1.力对轴的力矩力对轴的力矩 把对把对O点的点的力矩向过力矩向过O点的点的轴（如轴（如 z 轴）投影：轴）投影：力对轴的力矩。力对轴的力矩。542.质点对轴的角动量质点对轴的角动量质点对轴的角动量质点对轴的角动量3.对轴的角动量定理对轴的角动量定理 即即 质点对轴的质点对轴的 角动量定理角动量定理 r sin p r rOz55质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律（law of conservation of angular momentum）OmvFL（中心力）（中心力）r（1）mv r sin=const.，（2）轨道在同一平面内。）轨道在同一平面内。56 角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：（书（书161页例页例3.16）质点对轴的角质点对轴的角 动量守恒定律动量守恒定律 角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。而且在高速低速范围均适用。rLv S m57 例例 锥摆的角动量锥摆的角动量对对O点：点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O 点：点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（合力不为零，动量改变！）（合力不为零，动量改变！）OlO 锥摆锥摆m58 星云具有盘形结构：星云具有盘形结构：pc 秒差距，秒差距，1pc=3.086 1016m旋旋转转的的星星云云591020 是普遍规律，宏观、微观都适用。是普遍规律，宏观、微观都适用。30 有心力有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心力心特征：特征：质点对力心的质点对力心的角动量永远守恒！角动量永远守恒！40 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。50 角动量守恒，不见得动量守恒。角动量守恒，不见得动量守恒。讨论讨论60 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩61比较比较 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 形式形式上完全相同，所以记忆上就可上完全相同，所以记忆上就可简化简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。的量变换一下，名称上改变一下。62作业：作业：3.1 3.7 3.25 3.26 3.293.1 3.7 3.25 3.26 3.2963