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理论力学教程第九章现在学习的是第1页，共72页引引 言言一、动力学的任务一、动力学的任务：研究物体的机械运动与作用力之间的关系二、力学模型：二、力学模型：1.质点质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。例如：研究卫星的轨道时，卫星 质点；刚体作平动时,刚体 质点。现在学习的是第2页，共72页2.质点系质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的 系统。刚体刚体:-是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。自由质点系自由质点系：-质点系中各质点的运动不受约束的限制。非自由质点系非自由质点系：-质点系中的质点的运动受到约束的限制。质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。现在学习的是第3页，共72页三、动力学分类三、动力学分类:质点动力学质点系动力学质点动力学是质点系动力学的基础。四、四、.动力学的基本问题动力学的基本问题：大体上可分为两类：第一类：已知物体的运动情况，求作用力；第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。现在学习的是第4页，共72页第三篇第三篇 动力学动力学第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程第十章第十章 动量定理动量定理第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理第十二章第十二章 动能定理动能定理第十三章第十三章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理现在学习的是第5页，共72页第第 九九 章章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程9-1 动力学的基本定律9-2 质点的运动微分方程9-3 质点动力学的两类基本问题现在学习的是第6页，共72页一、牛顿定律：一、牛顿定律：第一定律 不受力作用的任何质点，将永远保持其静止或匀速直线运动状态。该定律表明：任何物体都具有惯性，而力是改变物体运动状态的原因。通常亦称作惯性定律。第二定律 质点受力作用时将产生加速度，加速度的方向与作用力方向相同，其大小则与力的大小成正比，与质点的质量成反比。该定律表明：质量是质点惯性大小的度量；物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体上的力，同时也与物体的惯性有关。它定量地描述了质点运动状态的改变与作用力之间的关系。第一定律可视为第二定律的特殊情况。第二定律重力重力力的单位力的单位:牛牛 顿顿,9-1 动力学的基本定律现在学习的是第7页，共72页由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式为为动力学基本方程动力学基本方程。当质点同时受几个力的作用时上式中的当质点同时受几个力的作用时上式中的 应理解为这应理解为这些力的合力。些力的合力。该定律表明：该定律表明：1、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。向。2、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点上，则质、若相等的两个力作用在质量不同的两个质点上，则质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。现在学习的是第8页，共72页 这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越强，这说明：质量越大，保持其原来运动状态的能力越强，即质量越大，惯性也越大。因此，即质量越大，惯性也越大。因此，质量是质点惯性大小的质量是质点惯性大小的度量度量。在重力场中，物体均受重力作用。物体在重力作用在重力场中，物体均受重力作用。物体在重力作用下自由下落所获得的加速度称为下自由下落所获得的加速度称为重力加速度重力加速度，用，用 表示。表示。由第二定律有由第二定律有式中式中 是物体所受重力的大小，称为物体的重量，是物体所受重力的大小，称为物体的重量，是是重力加速度的大小。通常取重力加速度的大小。通常取 。必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐惯性坐标系标系。反之为。反之为非惯性坐标系非惯性坐标系。现在学习的是第9页，共72页二、惯性参考系二、惯性参考系牛顿定律仅适用于惯性参考系，所以，在应用牛顿定律时，可以选择日心参考系、地心参考系和地球参考系（地面参考系）为惯性参考系，具体选用哪一种，需要根据研究对象、问题的特点、实际要求的精度来确定。三、三、单位制单位制国际单位制(SI)。长度、质量、时间为基本量，对应的基本单位是米(m)、千克(kg)、秒(s)，力是导出量，力的导出单位是牛顿(N)。1N=1kg1m/s2=1kgm/s2工程单位制(EU)。长度、力、时间为基本量，对应的基本单位是米(m)、千克力(kgf)、秒(s)。第三定律 任何两个质点间的相互作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且分别作用在这两个质点上。该定律也称为作用与反作用定律。该定律表明：两物体间相互作用力的关系；它不仅对物体处于平衡状态时适用，对物体作任何运动也适用；该定律是研究解决质点系动力学问题的依据。现在学习的是第10页，共72页四、量纲量纲 在国际单位制中，长度、质量、时间是基本量，它们的量纲分别用L、M、T表示。加速度、力是导出量，它们的量纲分别是aLT-2、FMLT-2。任何一个力学方程，它的等号两侧的量纲应该是相同的。这一结论，常用来校核力学方程正确与否，在科学计算中非常重要。在我国，重力加速度一般选取g=9.80m/s2。在工程单位制和国际单位制中，力的换算关系为1kgf=9.80kgm/s2 即 1kgf=9.80N现在学习的是第11页，共72页 将将质点质点动力学基本方程动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。二、直角坐标形式二、直角坐标形式9-2 质点的运动微分方程)(trr 为质点矢径形式的运动方程）式中=一、矢径形式的质点运动微分方程一、矢径形式的质点运动微分方程 由动力学基本方程：由动力学基本方程：由运动学可知：由运动学可知：于是可得：于是可得：或或 )tzztyytxx 运动方程为质点直角坐标形式的式中=)()()(Zdtydm=22Ydtydm=22Xdtxdm=22现在学习的是第12页，共72页 三、自然形式自然形式 质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式,柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。现在学习的是第13页，共72页9-3 质点动力学的两类基本问题第一类问题：第一类问题：已知运动求力，已知运动求力，求作用在质点上的力求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。第二类问题：第二类问题：已知力求运动，已知力求运动，求质点的运动求质点的运动。这类问题。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合。第一类与第二类问题的混合。现在学习的是第14页，共72页 设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度设电梯以不变的加速度a a 上升上升上升上升,求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重求放在电梯地板上重W W 的物的物的物的物块块块块MM 对地板的压力。对地板的压力。对地板的压力。对地板的压力。解:将物体将物体将物体将物体 MM 看成为自由质点看成为自由质点看成为自由质点看成为自由质点,它受它受它受它受重力重力重力重力 WW 和地板约束力和地板约束力和地板约束力和地板约束力 F FN 的作用。的作用。的作用。的作用。ma ma=F FN N W W注意到注意到注意到注意到 m=W/gm=W/g,则由上式解得则由上式解得则由上式解得则由上式解得MM给地板的压力给地板的压力给地板的压力给地板的压力F F N N与地板约束力与地板约束力与地板约束力与地板约束力F FN等值而反向。等值而反向。等值而反向。等值而反向。MaMFNWx&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第15页，共72页上式第一部分称为上式第一部分称为静压力静压力静压力静压力，第二部分，第二部分称为附加称为附加动压力动压力动压力动压力，F F N N称为称为动压力动压力动压力动压力。令令则则n n1 1,动压力大于静力，这种现象称为动压力大于静力，这种现象称为超重超重超重超重。n n1,1,动压力小于静力，这种现象称为动压力小于静力，这种现象称为失重失重失重失重。MaMFNWx&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第16页，共72页第一类问题解题步骤和要点：第一类问题解题步骤和要点：正确选择研究对象正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析正确进行受力分析,画出受力图画出受力图(应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量求解未知量。现在学习的是第17页，共72页 单单单单摆摆摆摆 MM 的的的的摆摆摆摆锤锤锤锤重重重重 WW ,绳绳绳绳长长长长 l l ,悬悬悬悬于于于于固固固固定定定定点点点点 O O ,绳绳绳绳的的的的质质质质量量量量不不不不计计计计。设设设设开开开开始始始始时时时时绳绳绳绳与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线成成成成偏偏偏偏角角角角 0 0 /2/2 ,并并并并被被被被无无无无初初初初速速速速释释释释放放放放，求求求求绳绳绳绳中中中中拉力的最大值。拉力的最大值。拉力的最大值。拉力的最大值。例例例例 题题题题 2 2OMM00&例题例题第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第18页，共72页解解:采用自然形式的运动微分方程。采用自然形式的运动微分方程。采用自然形式的运动微分方程。采用自然形式的运动微分方程。任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程 考虑到考虑到考虑到考虑到则式则式则式则式(1)(1)(1)(1)化成化成化成化成OMM00enetanatOMM00FWanat&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第19页，共72页对上式采用定积分对上式采用定积分对上式采用定积分对上式采用定积分,把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限把初条件作为积分下限从而得从而得从而得从而得F F=WW(3cos(3cos 2cos 2cos 0 0)显然显然显然显然,当质点当质点当质点当质点 M M 到达最低位置到达最低位置到达最低位置到达最低位置 =0=0时时时时,有最大值。故有最大值。故有最大值。故有最大值。故 F Fmaxmax=WW(3(3 2cos 2cos 0 0)把式把式把式把式把式把式(4)(4)(4)代入式代入式代入式代入式代入式代入式 ，有，有，有，有，有，有&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第20页，共72页例例例例 题题题题 3 3 小小小小球球球球质质质质量量量量为为为为 m m，悬悬悬悬挂挂挂挂于于于于长长长长为为为为l l的的的的细细细细绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳重重重重不不不不计计计计。小小小小球球球球在在在在铅铅铅铅垂垂垂垂面面面面内内内内摆摆摆摆动动动动时时时时，在在在在最最最最低低低低处处处处的的的的速速速速度度度度为为为为v v；摆摆摆摆到到到到最最最最高高高高处处处处时时时时，绳绳绳绳与与与与铅铅铅铅垂垂垂垂线线线线夹夹夹夹角角角角为为为为，如如如如图图图图所所所所示示示示，此此此此时时时时小小小小球球球球速速速速度度度度为为为为零零零零。试试试试分分分分别别别别计计计计算算算算小球在最低和最高位置时绳的拉力。小球在最低和最高位置时绳的拉力。小球在最低和最高位置时绳的拉力。小球在最低和最高位置时绳的拉力。Ovv=0&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第21页，共72页 小小小小球球球球作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，受受受受有有有有重重重重力力力力WW=m=mg g和和和和绳绳绳绳拉拉拉拉力力力力F F1 1。在在在在最最最最低低低低处处处处有有有有法法法法向向向向加加加加速速速速度度度度 ，由由由由质质质质点点点点运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程沿法向的投影式，有沿法向的投影式，有沿法向的投影式，有沿法向的投影式，有 则绳拉力则绳拉力则绳拉力则绳拉力 小小小小球球球球在在在在最最最最高高高高处处处处 角角角角时时时时，速速速速度度度度为为为为零零零零，法法法法向向向向加加加加速速速速度度度度为为为为零，则其运动微分方程沿法向投影式为零，则其运动微分方程沿法向投影式为零，则其运动微分方程沿法向投影式为零，则其运动微分方程沿法向投影式为 则绳拉力则绳拉力则绳拉力则绳拉力 解解:Ovv=0mgmgF1F2&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第22页，共72页 曲曲曲曲柄柄柄柄连连连连杆杆杆杆机机机机构构构构如如如如图图图图所所所所示示示示。曲曲曲曲柄柄柄柄OAOA以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 转转转转动动动动，OA=rOA=r，AB=lAB=l，当当当当=r/l=r/l比比比比较较较较小小小小时时时时，以以以以O O为为为为坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点，滑滑滑滑块块块块B B的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为的运动方程可近似写为 如滑块的质量为如滑块的质量为如滑块的质量为如滑块的质量为m m，忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆，忽略摩擦及连杆ABAB的质量，试求当的质量，试求当的质量，试求当的质量，试求当 和和和和 时，时，时，时，连杆连杆连杆连杆ABAB所受的力。所受的力。所受的力。所受的力。xyOAB例例例例 题题题题4&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第23页，共72页 以以以以滑滑滑滑块块块块B B为为为为研研研研究究究究对对对对象象象象，当当当当=tt 时时时时，受受受受力力力力如如如如图图图图。连连连连杆杆杆杆应应应应受受受受平平平平衡衡衡衡力力力力系系系系作作作作用用用用，由由由由于于于于不不不不计计计计连连连连杆杆杆杆质质质质量量量量，ABAB 为二力杆，它对滑块为二力杆，它对滑块为二力杆，它对滑块为二力杆，它对滑块B B的拉力的拉力的拉力的拉力F F沿沿沿沿ABAB方向。方向。方向。方向。由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得由题设的运动方程，可以求得 当当当当 时，时，时，时，且且且且 ，得，得，得，得ABAB杆受的拉力杆受的拉力杆受的拉力杆受的拉力x xB Bm mg gF FN NF F 解：解：写出滑块沿写出滑块沿写出滑块沿写出滑块沿x x轴的运动微分方程轴的运动微分方程轴的运动微分方程轴的运动微分方程xyOAB&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第24页，共72页得得得得 时，时，时，时，而而而而 ，ABAB杆受压力。杆受压力。杆受压力。杆受压力。x xB Bm mg gF FN NF F 则有则有则有则有xyOAB&例题例题 第一类问题：第一类问题：已知运动求力已知运动求力.现在学习的是第25页，共72页 质质质质量量量量是是是是 m m 的的的的物物物物体体体体 MM 在在在在均均均均匀匀匀匀重重重重力力力力场场场场中中中中沿沿沿沿铅铅铅铅直直直直线线线线由由由由静静静静止止止止下下下下落落落落，受受受受到到到到空空空空气气气气阻阻阻阻力力力力的的的的作作作作用用用用。假假假假定定定定阻阻阻阻力力力力F FR R 与与与与速速速速度度度度平平平平方方方方成成成成比比比比例例例例，即即即即 F FR R=cvcv2 2 ，阻阻阻阻力力力力系系系系数数数数 c c 单单单单位位位位取取取取 kgmkgm1 1 ，数数数数值值值值由由由由试试试试验验验验测测测测定定定定，试试试试求求求求物物物物体体体体的的的的运运运运动动动动规规规规律。律。律。律。例例例例 题题题题 5 5xxFRmgvM&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.1、力是速度函数的情形、力是速度函数的情形现在学习的是第26页，共72页解：解：取坐标轴取坐标轴取坐标轴取坐标轴OxOx铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 M M 的运动微的运动微的运动微的运动微分方程。分方程。分方程。分方程。以以以以 m m 除式除式除式除式(1)(1)两端两端两端两端,并代入并代入并代入并代入 v v0 0 的值的值的值的值,得得得得xxFRmgv当当当当 时，时，时，时，加速度为零。这个加速度为零。这个加速度为零。这个加速度为零。这个v v1 1就是物就是物就是物就是物体的极限速度。体的极限速度。体的极限速度。体的极限速度。M&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第27页，共72页分离变量分离变量分离变量分离变量,并取定积分并取定积分并取定积分并取定积分,有有有有 由上式求解由上式求解由上式求解由上式求解v v，得，得，得，得于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为th th th th 是双曲正切。是双曲正切。是双曲正切。是双曲正切。&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第28页，共72页于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律，只需把为了求出物体的运动规律，只需把为了求出物体的运动规律，只需把为了求出物体的运动规律，只需把(3)(3)再积分一次，有再积分一次，有再积分一次，有再积分一次，有&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第29页，共72页第二类问题解题步骤如下：第二类问题解题步骤如下：正确选择研究对象正确选择研究对象。正确进行受力分析，画出受力图正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。正确进行运动分析。正确进行运动分析。除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件。现在学习的是第30页，共72页选择并列出适当的质点运动微分方程。选择并列出适当的质点运动微分方程。如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量 。求解未知量。求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。如力是位置的函数，需进行变量置换现在学习的是第31页，共72页 质质质质量量量量为为为为m m的的的的小小小小球球球球以以以以水水水水平平平平速速速速度度度度v v0 0 射射射射入入入入静静静静水水水水之之之之中中中中，如如如如图图图图所所所所示示示示。如如如如水水水水对对对对小小小小球球球球的的的的阻阻阻阻力力力力F F与与与与小小小小球球球球速速速速度度度度v v的的的的方方方方向向向向相相相相反反反反，而而而而大大大大小小小小成成成成正正正正比比比比，即即即即F F=-c-cv v。c c为为为为阻阻阻阻力力力力系系系系数数数数。忽忽忽忽略略略略水水水水对对对对小小小小球球球球的的的的浮浮浮浮力力力力，试试试试分分分分析析析析小小小小球球球球在在在在重重重重力力力力和和和和阻阻阻阻力力力力作作作作用下的运动。用下的运动。用下的运动。用下的运动。x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例例例 题题题题 6&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.1、力是速度函数的情形、力是速度函数的情形现在学习的是第32页，共72页 小球在任意位置小球在任意位置小球在任意位置小球在任意位置MM处，受力有重力处，受力有重力处，受力有重力处，受力有重力m mg g和阻力和阻力和阻力和阻力F F=cvcvx x i i cvcvy y j j。为求为求为求为求v vx x，v vy y将上两式分离变量，得将上两式分离变量，得将上两式分离变量，得将上两式分离变量，得 解：解：小球沿小球沿小球沿小球沿x x，y y轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第33页，共72页上两式的不定积分为上两式的不定积分为上两式的不定积分为上两式的不定积分为 按题意，按题意，按题意，按题意，t t=0=0时，时，时，时，v vx x=v=v0 0，v vy y=0 0 。代入上两式求得。代入上两式求得。代入上两式求得。代入上两式求得两个定分积常数两个定分积常数两个定分积常数两个定分积常数 将将将将C C1 1值代入式值代入式值代入式值代入式 改写为改写为改写为改写为 可得可得可得可得x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第34页，共72页整理为整理为整理为整理为 或或或或 可得可得可得可得 将将将将D D1 1值代入式值代入式值代入式值代入式可得可得可得可得可得可得可得可得 x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第35页，共72页取初始位置为坐标原点，即取初始位置为坐标原点，即取初始位置为坐标原点，即取初始位置为坐标原点，即t t=0=0时时时时，x x=y y=0=0 。代入上两式，求得常数代入上两式，求得常数代入上两式，求得常数代入上两式，求得常数 再积分再积分再积分再积分得得得得x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM例例 题题 6 6&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第36页，共72页则质点的运动方程为则质点的运动方程为则质点的运动方程为则质点的运动方程为 如忽略介质阻力，应有如忽略介质阻力，应有如忽略介质阻力，应有如忽略介质阻力，应有=0=0。当。当。当。当 00时，质点的运动方程为时，质点的运动方程为时，质点的运动方程为时，质点的运动方程为x xy yx xmaxmaxv v0 0v vF Fm mg gO OMM&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第37页，共72页例例例例 题题题题 7 7 质质质质量量量量为为为为m m的的的的质质质质点点点点带带带带有有有有电电电电荷荷荷荷e e，以以以以 速速速速 度度度度 v v0 0进进进进 入入入入 强强强强 度度度度 按按按按E E=A Acos cos kt kt 变变变变化化化化的的的的均均均均匀匀匀匀电电电电场场场场中中中中，初初初初速速速速度度度度方方方方向向向向与与与与电电电电场场场场强强强强度度度度垂垂垂垂直直直直，如如如如图图图图所所所所示示示示。质质质质点点点点在在在在电电电电场场场场中中中中受受受受力力力力F F=-=-e eE E作作作作用用用用。已已已已知知知知常常常常数数数数A A，k k，忽忽忽忽略略略略质质质质点点点点的的的的重重重重力力力力，试试试试求求求求质质质质点的运动轨迹。点的运动轨迹。点的运动轨迹。点的运动轨迹。交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.2、力是时间函数的情形、力是时间函数的情形现在学习的是第38页，共72页 取取取取质质质质点点点点的的的的初初初初始始始始位位位位置置置置O O为为为为坐坐坐坐标标标标原原原原点点点点，取取取取x x，y y轴轴轴轴如如如如图图图图所所所所示示示示，而而而而z z轴轴轴轴与与与与x x ，y y轴轴轴轴垂垂垂垂直直直直。于于于于是力在三轴上投影为是力在三轴上投影为是力在三轴上投影为是力在三轴上投影为 F Fx x=F=Fz z=0=0 因因因因为为为为力力力力和和和和初初初初速速速速度度度度在在在在z z轴轴轴轴上上上上的的的的投投投投影影影影均均均均等等等等于于于于零零零零，质质质质心心心心的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹必必必必定定定定在在在在OxyOxy平平平平面面面面内内内内。写写写写出出出出质心运动微分方程在质心运动微分方程在质心运动微分方程在质心运动微分方程在x x轴和轴和轴和轴和y y轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式轴上的投影式 解：解：交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第39页，共72页得得得得 按按按按题题题题意意意意，时时时时，以以以以此此此此为下限，式为下限，式为下限，式为下限，式 和和和和交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E的定积分分别为的定积分分别为的定积分分别为的定积分分别为&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第40页，共72页从以上两式中消去时间从以上两式中消去时间从以上两式中消去时间从以上两式中消去时间t t，得轨迹方程，得轨迹方程，得轨迹方程，得轨迹方程 轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。轨迹为余弦曲线，如图所示。对以上两式分离变量，并以对以上两式分离变量，并以对以上两式分离变量，并以对以上两式分离变量，并以t t=0=0时，时，时，时，x x=y y=0=0为下限，为下限，为下限，为下限，做定积分做定积分做定积分做定积分 交流交流电源电源平板电容器平板电容器x xy yO Om mv v0 0v vF F质点运质点运动轨迹动轨迹E E得质点运动方程得质点运动方程得质点运动方程得质点运动方程&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第41页，共72页 物物物物块块块块在在在在光光光光滑滑滑滑水水水水平平平平面面面面上上上上与与与与弹弹弹弹簧簧簧簧相相相相连连连连，如如如如图图图图所所所所示示示示。物物物物块块块块质质质质量量量量为为为为m m，弹弹弹弹簧簧簧簧刚刚刚刚度度度度系系系系数数数数为为为为k k。在在在在弹弹弹弹簧簧簧簧拉拉拉拉长长长长变变变变形形形形量量量量为为为为a a时时时时，释释释释放放放放物物物物块。求物块的运动规律。块。求物块的运动规律。块。求物块的运动规律。块。求物块的运动规律。mOxFx例例例例 题题题题 8&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.3、力是坐标函数的情形、力是坐标函数的情形现在学习的是第42页，共72页或或或或上式化为自由振动微分方程的标准形式上式化为自由振动微分方程的标准形式上式化为自由振动微分方程的标准形式上式化为自由振动微分方程的标准形式解：解：以弹簧未变形处为坐标原点以弹簧未变形处为坐标原点以弹簧未变形处为坐标原点以弹簧未变形处为坐标原点O O，物块，物块，物块，物块在任意坐标在任意坐标在任意坐标在任意坐标x x处弹簧变形量为处弹簧变形量为处弹簧变形量为处弹簧变形量为 x x ，弹簧，弹簧，弹簧，弹簧力大小为力大小为力大小为力大小为 ，并指向点，并指向点，并指向点，并指向点O O，如图所，如图所，如图所，如图所示。示。示。示。则此物块沿则此物块沿则此物块沿则此物块沿x x轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为轴的运动微分方程为令令令令mOxFx&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第43页，共72页此微分方程的解可写为此微分方程的解可写为此微分方程的解可写为此微分方程的解可写为 由此解出由此解出由此解出由此解出 mOxFx其其其其中中中中A A，为为为为任任任任意意意意常常常常数数数数，应应应应由由由由运运运运动动动动的的的的初初初初始始始始条条条条件件件件决决决决定定定定。由由由由题题题题意意意意，取取取取x=ax=a处处处处的的的的时时时时间间间间为为为为t=t=0 0，且此时有且此时有且此时有且此时有 。代入上式，有。代入上式，有。代入上式，有。代入上式，有 例例例例 题题题题 11-811-8&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第44页，共72页 代入代入代入代入 则则则则此物块的运动方程为此物块的运动方程为此物块的运动方程为此物块的运动方程为 可可可可见见见见此此此此物物物物块块块块做做做做简简简简谐谐谐谐振振振振动动动动，振振振振动动动动中中中中心心心心为为为为O O，振振振振幅幅幅幅为为为为a a，周周周周期期期期 。称称称称 为为为为 圆圆圆圆 频频频频 率率率率，应应应应 由由由由 其其其其 标标标标 准准准准 形形形形 式式式式 的的的的 运运运运 动动动动 微微微微 分分分分 方方方方 程程程程 直接确定。直接确定。直接确定。直接确定。将将将将 mOxFx&例题例题 第二类问题：第二类问题：已知力求运动已知力求运动.现在学习的是第45页，共72页 一一一一圆圆圆圆锥锥锥锥摆摆摆摆，如如如如图图图图所所所所示示示示 。质质质质量量量量m m=0.1=0.1 kgkg的的的的小小小小球球球球系系系系于于于于长长长长l l=0.3=0.3 mm的的的的绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端系系系系在在在在固固固固定定定定点点点点O O，并并并并与与与与铅铅铅铅直直直直线线线线成成成成=60=60 角角角角。如如如如小小小小球球球球在在在在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v v与绳的张力与绳的张力与绳的张力与绳的张力F F的大小。的大小。的大小。的大小。Ol例例例例 题题题题 9 9&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.现在学习的是第46页，共72页Ol 以小球为研究的质点，作用于质点的力有重以小球为研究的质点，作用于质点的力有重以小球为研究的质点，作用于质点的力有重以小球为研究的质点，作用于质点的力有重力力力力m mg g和绳的拉力和绳的拉力和绳的拉力和绳的拉力F F。因因因因 ，于是解得，于是解得，于是解得，于是解得绳的张力与拉力绳的张力与拉力绳的张力与拉力绳的张力与拉力F F的大小相等。的大小相等。的大小相等。的大小相等。enetebmgF解：解：选取在自然轴上投影的运动微分方程，得选取在自然轴上投影的运动微分方程，得选取在自然轴上投影的运动微分方程，得选取在自然轴上投影的运动微分方程，得&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.现在学习的是第47页，共72页 粉粉粉粉碎碎碎碎机机机机滚滚滚滚筒筒筒筒半半半半径径径径为为为为R R，绕绕绕绕通通通通过过过过中中中中心心心心的的的的水水水水平平平平轴轴轴轴匀匀匀匀速速速速转转转转动动动动，筒筒筒筒内内内内铁铁铁铁球球球球由由由由筒筒筒筒壁壁壁壁上上上上的的的的凸凸凸凸棱棱棱棱带带带带着着着着上上上上升升升升。为为为为了了了了使使使使铁铁铁铁球球球球获获获获得得得得粉粉粉粉碎碎碎碎矿矿矿矿石石石石的的的的能能能能量量量量，铁铁铁铁球球球球应应应应在在在在=0 0 时时时时（如如如如图图图图）才才才才掉掉掉掉下下下下来来来来。求求求求滚滚滚滚筒筒筒筒每每每每分分分分钟钟钟钟的转数的转数的转数的转数n n。0 0n n例例例例 题题题题 1010&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.现在学习的是第48页，共72页 视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而上向运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。沿抛物线下落。沿抛物线下落。沿抛物线下落。质质质质点点点点在在在在上上上上升升升升过过过过程程程程中中中中，受受受受到到到到重重重重力力力力m mg g，筒筒筒筒壁的法向力壁的法向力壁的法向力壁的法向力F FN N和切向力和切向力和切向力和切向力F F的作用。的作用。的作用。的作用。m mg gF FN NF F解：解：列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式 质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度。即即即即 n n&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.现在学习的是第49页，共72页于是解得于是解得于是解得于是解得 当当当当=0 0时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时时，铁球将落下，这时F FN N=0 0，于是得，于是得，于是得，于是得 显然，显然，显然，显然，越小，要求越小，要求越小，要求越小，要求n n 越大。当越大。当越大。当越大。当 时，时，时，时，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。碎矿石的作用。碎矿石的作用。碎矿石的作用。m mg gF FN NF F&例题例题 混合问题混合问题：第一类与第二类问题的混合第一类与第二类问题的混合.现在学习的是第50页，共72页 如图所示单摆，摆长为如图所示单摆，摆长为如图所示单摆，摆长为如图所示单摆，摆长为l l，小球质量为，小球质量为，小球质量为，小球质量为m m，其悬挂点，其悬挂点，其悬挂点，其悬挂点O O以加速以加速以加速以加速度度度度a a0 0向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。向上运动，求此时单摆作微振动的周期。a0Om例例例例 题题题题 1111&例题例题 混合问题混合问题：第一