2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理数试题精编版（解析版）.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(广东卷)理科数学第卷(共40分)一.选择题：本大题共8题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合Mx|x22x0,xR,Nx|x22x0,xR,则MN().A.0 B.0,2 C.2,0 D.2,0,2【答案】D【解析】M2,0,N0,2,MN2,0,2.故选D.【考点定位】本题考查集合的中并集运算,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是一元二次方程和集合的并集运算，属于容易题解题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误2.定义域为R的四个函数yx3,y2x,yx21,y2sin x中,奇函数的个数是().A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【考点定位】本题考查函数中的奇偶性判断,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性，属于容易题解题时一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性，即奇函数：定义域关于原点对称，且；偶函数：定义域关于原点对称，且3.若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是().A.(2,4) B.(2,4) C.(4,2) D.(4,2)【答案】C【解析】由iz24i,得z42i, 故z对应点的坐标为(4,2).故选C.【考点定位】本题考查复数,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是复数的除法运算和复平面，属于容易题解题时一定注意分子和分母同时乘以的共轭复数，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是复数的除法运算和复平面，即，（，）在复平面内所对应的点4.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)().A. B.2 C. D.3【答案】A【考点定位】本题考查统计中的期望,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是数学期望，属于容易题解题时一定要看清楚是求数学期望还是求方差，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是数学期望，即若离散型随机变量的分布列为则称为随机变量的均值或数学期望5.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是().A.4 B. C. D.6【答案】B【解析】方法一：由三视图可知,原四棱台的直观图如图所示,其中上.下底面分别是边长为1,2的正方形,且DD1面ABCD,上底面面积S1121,下底面面积S2224.又DD12,V台(S1S2)h(14)×2.学科网方法二：由四棱台的三视图,可知原四棱台的直观图如图所示.在四棱台ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1都为正方形,AB2,A1B11,且D1D平面ABCD,D1D2.分别延长四棱台各个侧棱交于点O,设OD1x,因为OD1C1ODC,所以,即,解得x2.V棱锥OABCD×2×2×4×1×1×2.【考点定位】本题考查立体几何中的三视图与体积,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于中等题解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即可6.设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面.下列命题中正确的是().A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn,n,则【答案】D【考点定位】本题考查立体几何中的线,面垂直平行,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理7.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是().A. B. C. D.【答案】B【解析】由曲线C的右焦点为F(3,0),知c3.由离心率,知,则a2,故b2c2a2945,所以双曲线C的方程为.故选B.【考点定位】本题考查解析几何中双曲线的标准方程,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于容易题解题时要注意、的关系，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质，即双曲线（，）的左焦点，右焦点，其中，离心率8.设整数n4,集合X1,2,3,n,令集合S(x,y,z)|x,y,zX,且三条件xyz,yzx,zxy恰有一个成立.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是().A.(y,z,w)S,(x,y,w)S B.(y,z,w)S,(x,y,w)SC.(y,z,w)S,(x,y,w)S D.(y,z,w)S,(x,y,w)S【答案】B【解析】由(x,y,z)S,不妨取xyz,要使(z,w,x)S,则wxz或xzw.当wxz时,wxyz,故(y,z,w)S,(x,y,w)S.当xzw时,xyzw,故(y,z,w)S,(x,y,w)S.综上可知,(y,z,w)S,(x,y,w)S.故选B.【考点定位】本题考查集合与新概念,属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是新概念，属于难题在新概念的问题中抓住新概念的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决，这是解决新概念问题的一个基本方向，要注意准确理解试题中给出的新概念的含义解决新概念这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理学科网第卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.(一)必做题(913题)9.不等式x2x20的解集为_.【答案】x|2x1【解析】x2x20即(x2)(x1)0,解得2x1,故原不等式的解集为x|2x1.故填x|2x1.【考点定位】本题考查二次不等式,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式，属于容易题解题时要注意的系数是否为正数，如果的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出现错误10.若曲线ykxln x在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k_.【答案】1【考点定位】本题考查导数的应用,切线问题,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于中等题解题时一定要抓住重要字眼“在处”和“平行”，否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率11.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为_.【答案】7【考点定位】本题考查算法,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可12.在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7_.【答案】20【解析】因为数列an的等差数列,所以由等差数列的性质得a3a8a5a6a4a710.所以3a5a7a52a5a7a5a4a6a72×1020.故填.【考点定位】本题考查数列中的等差数列,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的性质，属于容易题解题时要抓住关键字眼“等差”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等差数列的性质，即等差数列中，若（、），则13.给定区域D：令点集T(x0,y0)D|x0,y0Z,(x0,y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点,则T中的点共确定_条不同的直线.【答案】6【解析】由区域D：画出可行域如图所示.满足条件的(x0,y0)有(0,1),(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故T中的点共确定6条不同的直线.【考点定位】本题考查线性规划,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中等题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误学科网 (二)选做题(1415题,考生从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_.【答案】【考点定位】本题考查参数方程与极坐标,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程和圆的切线，属于容易题解决此类问题的关键是参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可15. (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB6,ED2,则BC_.【答案】【考点定位】本题考查几何证明中的直角三角形的射影定理,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是直径所对的圆周角、切线的性质、弦切角和直角三角形的射影定理，属于中等题解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识三.解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)已知函数,xR.(1)求的值；(2)若cos ,求.【答案】(1) (2) 【考点定位】本题考查三角函数中的化简求值,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是特殊角的三角函数值、两角和的余弦公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于中等题解题时要注意角的范围，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是两角和的余弦公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系，即，17. (本小题满分12分)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)样本均值为.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间12名工人中有12×4名优秀工人.(3)设事件A：从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则P(A).【考点定位】本题考查概率与统计,属于基础题【名师点晴】本题主要考查的是茎叶图、样本的数字特征（平均数）和古典概型，属于中等题解题时一定要抓住重要字眼“恰有”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是样本的数字特征（平均数）和古典概型，即平均数：，学科网18. (本小题满分14分)如图(1),在等腰直角三角形ABC中,A90°,BC6,D,E分别是AC,AB上的点,CDBE,O为BC的中点.将ADE沿DE折起,得到如图(2)所示的四棱锥ABCDE,其中AO.图(1)图(2)(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)详见解析 (2) 所以AO2OD2AD2,所以AOOD.同理可证AOOE,又ODOEO,所以AO平面BCDE.(2)传统法：过O作OHCD交CD的延长线于H,连结AH,因为AO平面BCDE,所以AHCD.所以AHO为二面角的平面角.结合题图(1)可知,H为AC中点,故OH,从而AH,所以cosAHO.所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.向量法：以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz如图所示.则A(0,0,),C(0,3,0),D(1,2,0),所以(0,3,),(1,2,).设n(x,y,z)为平面ACD的法向量,则即解得令x1,得n(1,1,).由(1)知,(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cosn,即二面角ACDB的平面角的余弦值为.【考点定位】本题考查立体几何中的线面垂直与二面角,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线19.(本小题满分14分)设数列an的前n项和为Sn.已知a11,nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有.【答案】(1) (2) (3)详见解析【考点定位】本题考查数列中的等差数列与裂项求和,属于能力题【名师点晴】本题主要考查的是数列的通项公式、数列的裂项求和和不等式的证明，属于难题本题通过将的递推关系式转化为的递推关系式，利用等差数列的定义可得通项公式，再根据不等式的通项的特点进行放缩，利用裂项相消法可证不等式解题时一定要抓住重要字眼“正整数”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是等差数列的定义、等差数列的通项公式，即，等差数列的定义：（常数），等差数列的通项公式：学科网20. (本小题满分14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l：xy20的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.【答案】(1) (2) x0x2y2y00 (3) (3)由抛物线定义可知|AF|y11,|BF|y21,所以|AF|·|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1.联立方程消去x整理得y2(2y0x02)yy020.由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x022y0,y1y2y02,所以|AF|·|BF|y1y2(y1y2)1y02x022y01.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0y02.所以y02x022y012y022y05.所以当y0时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.【考点定位】本题考查解析几何中的抛物线,属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的标准方程、抛物线的定义、直线的方程、导数的几何意义和二次函数的性质，属于难题解题时一定要注意关键条件“”，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是抛物线的标准方程抛物线的定义、直线的方程、导数的几何意义，即抛物线的标准方程为（），若点在抛物线上，为焦点，则（为点到准线的距离），直线的方程为（），函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率21. (本小题满分14分)设函数f(x)(x1)exkx2(kR).(1)当k1时,求函数f(x)的单调区间；(2)当k时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【考点定位】本题考查导数的应用,属于拔高题【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“单调区间”，否则很容易出现错误利用导数求函数的单调区间的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间，令，解不等式得的范围就是递减区间求函数在上的最大值与最小值的步骤：求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp